著眼空間觀念培養(yǎng) 提升解決問題能力

王紅妙

【摘 要】立體圖形的學(xué)習(xí)是小學(xué)階段“圖形與幾何”知識的重要組成部分。學(xué)生能否熟練靈活運用相關(guān)知識解決實際問題，較大程度上取決于空間觀念的積累。以“長方體和正方體”的教學(xué)為例，要有效培養(yǎng)學(xué)生的空間意識，可以通過以下策略展開：在“豐富感知”中，喚醒空間意識；在“虛實相生”中，發(fā)展空間想象力；在“縱橫思辨”中，深化空間觀念。只要教師堅持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡不斷循環(huán)往復(fù)，空間觀念就會不斷走向清晰，學(xué)生的想象力也會由單一走向復(fù)雜，得以不斷提升。

【關(guān)鍵詞】長方體 正方體 立體圖形 空間觀念

小學(xué)階段“圖形與幾何”知識的教學(xué)主要包括“空間和平面圖形的知識和計算”“圖形的位置與變換”等，立體圖形的學(xué)習(xí)是其重要內(nèi)容，作為這一內(nèi)容的重要部分“長方體和正方體” ，它是建立在學(xué)生認(rèn)識了平面圖形的特征和相關(guān)計算的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。這是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識由平面擴展到立體的開始，更是學(xué)生空間觀念發(fā)展中的一次飛躍，對培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生初步的空間想象能力和后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的影響。

在實際教學(xué)中，教師往往存在“重結(jié)果，輕過程；重形式，輕思維”的教學(xué)意識，導(dǎo)致學(xué)生“知其然，卻不知其所以然”。以下是筆者在教學(xué)中由若干問題引發(fā)的一系列思考與實踐，及找尋到的一些耐人尋味的知識共性。

【思考一】“體”變“形”，僅僅是口誤嗎？

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生總將“長方體”“正方體”說成“長方形”“正方形”，糾正多次還是改不了，這僅是口誤嗎？深入思考，不難發(fā)現(xiàn)這是學(xué)生受到之前所學(xué)的平面圖形的影響，對于初步接觸的立體圖形又沒有真正建構(gòu)起清晰的表象而產(chǎn)生的“口誤”。

【對策一】 在“豐富感知”中，喚醒空間意識

小學(xué)生的思維以形象為主，逐步向抽象過渡。表象是由感知到概念間的“階梯”，具有直覺性和概括性。筆者認(rèn)為教師應(yīng)以直觀形象的教學(xué)手段為基點，在點、線、面、體間的溝通聯(lián)系中，在形態(tài)萬千的現(xiàn)實世界里，通過多種途徑豐富學(xué)生的感知，幫助學(xué)生建立清晰、深刻的“體”的表象，喚醒、激活學(xué)生的空間意識，從而成功實現(xiàn)由一維空間到二維空間再到三維空間的飛躍，助其順利過渡。

（一）關(guān)注“體”的飛躍

立體圖形的學(xué)習(xí)側(cè)重于幫助學(xué)生建立三維空間觀念，而空間觀念的形成需要經(jīng)歷一個不斷補充、延伸、完善的學(xué)習(xí)過程。教師不僅要注重學(xué)生對立體圖形的觀察研究，還要關(guān)注從面到體的過渡，體會面與體的差異，理清它的縱向發(fā)展脈絡(luò)。如教學(xué)“長方體的認(rèn)識”課始，筆者利用多媒體設(shè)計了一個運動情境導(dǎo)入新課。屏幕上先出現(xiàn)一個點，有很多的點從左往右整齊而緊密地排列，運動的軌跡形成了線段；很多條相同的線段從下往上整齊而緊密地排列，運動的軌跡形成了長方形；很多個相同的長方形從前往后整齊而緊密地排列，運動的軌跡形成長方體，從而引出“長方體”。

伴隨著“點→線→面→體”的形成，讓學(xué)生不斷展開想象，并在現(xiàn)實中得到驗證，形象地感受到點、線、面、體的聯(lián)系與區(qū)別，巧妙地實現(xiàn)“長方形”向“長方體”的過渡，幫助學(xué)生實現(xiàn)從一維空間、二維空間向三維空間的轉(zhuǎn)化。一個富有匠心的細(xì)小環(huán)節(jié)，讓學(xué)生印象深刻，“體”與“形”雖是一字之差，卻是截然不同的兩種表象，就不會輕易地將“長方體”說成“長方形”了。同樣，立體圖形很多都可以看成由平面圖形經(jīng)過疊加或旋轉(zhuǎn)運動形成的，教師始終要重視這方面的聯(lián)系。

（二）重視“體”的建構(gòu)

“體積”首次亮相于本單元中，因此對這個新概念的建構(gòu)尤顯重要。在體積教學(xué)中，教師應(yīng)充分借助實物讓學(xué)生充分理解“空間”“空間大小”的實際意義，進而理解體積。如讓學(xué)生觀察在一塊空地上放置的由一個個面圍成的紙箱，發(fā)現(xiàn)箱子占據(jù)了一定位置，它所占的位置就是空間。再在箱子的旁邊放一個大的長方形紙片，讓學(xué)生走一走。使學(xué)生知道由于箱子占據(jù)空間，需繞道，而長方形紙片不占據(jù)空間，無須繞道，讓他們從對比中獲得空間知覺。再選擇不同的物體放在空地上，觀察比較這些物體也會占據(jù)一定的空間，不同的物體占據(jù)的空間有大有小，從而建立體積概念。

同樣，體積的計算教學(xué)也需精心設(shè)計，讓學(xué)生經(jīng)歷動手、動腦、表述等多種感官體驗，有助于體積概念的進一步深化。如在教學(xué)“長方體的體積”時，首先讓學(xué)生在擺放物體中感悟體積，懂得“長方體所含體積單位的數(shù)量，就是長方體的體積”；再通過引導(dǎo)學(xué)生“有序數(shù)”理解“一行→一層→幾層”與長、寬、高的內(nèi)在聯(lián)系，從而充分理解“長方體的體積=長×寬×高或長方體的體積=底面積×高”。

（三）充盈“體”的經(jīng)驗

學(xué)生的空間觀念來自豐富的生活原型，但學(xué)生對立體圖形的生活原型顯然了解不夠。如在表面積教學(xué)中，學(xué)生在解決占地面積、側(cè)面積等問題時往往找不到對應(yīng)的數(shù)據(jù)。細(xì)觀教材，它是通過研究長方體的展開圖幫助學(xué)生理解的，但立體圖形與它的展開圖表象又需要一定的轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要想象出每個面的長、寬與長方體的長、寬、高的對應(yīng)關(guān)系。因而需要教師利用生活原型架設(shè)橋梁，助其學(xué)習(xí)，如可利用學(xué)生身處其中的熟悉場所教室，借助真實直觀的長方體參照物，讓長方體表象在頭腦中扎根，幫助學(xué)生清晰地建立起對應(yīng)關(guān)系。

又如在解決表面積問題時，教師可以讓學(xué)生通過搜集發(fā)現(xiàn)、歸納整理、自編習(xí)題等形式去解決生活中哪些情況只需要求側(cè)面積的實例：落水管、通風(fēng)管、煙囪……哪些需要求4個面……也可以借助多媒體呈現(xiàn)生活情境，如讓學(xué)生觀察等積變形的實例：求不規(guī)則物體的體積過程、一堆圓錐形沙子鋪路…… 通過教師長期有意識的引導(dǎo)，學(xué)生才能學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光去觀察生活，發(fā)現(xiàn)與之相關(guān)的生活素材，積累經(jīng)驗，豐富表象，有效地培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念。

【思考二】解決問題一定需要動手操作嗎？

教材第36頁題2（見下圖），至少50%的學(xué)生只是胡亂猜測，不能正確分析。通常教師會向?qū)W生傳授“秘訣”：“動手折，一切迎刃而解?！贝挚催@個“秘訣”簡單有效，學(xué)生動手操作，符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；再細(xì)思，解決問題一定需要動手操作嗎？動手操作是培養(yǎng)空間觀念的最佳手段？解讀課標(biāo)和教材，筆者認(rèn)為動手操作是必要的，它是學(xué)生發(fā)展空間觀念的一座橋梁，學(xué)生借助它可以建立初步的表象。但如果過多或一味地讓學(xué)生動手操作，在某種意義上會折斷學(xué)生想象的翅膀，弱化學(xué)生的想象能力。

【對策二】 在“虛實相生”中，發(fā)展空間想象力

初步的空間觀念培養(yǎng)需要以動手操作為基礎(chǔ)，但當(dāng)學(xué)生通過大量的觀察、操作，積累了一定的感性經(jīng)驗后，教師就要學(xué)會逐步放手，引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮想象，開展想著畫、想著折、想完整等空間思維活動，并不斷輔助實踐檢驗，增加其思維的準(zhǔn)確性，豐富“體”的表象。這樣學(xué)生在“虛實相生”“循環(huán)往復(fù)”的過程中，加深了對立體圖形的本質(zhì)理解，培養(yǎng)了抽象思維，發(fā)展了空間觀念，空間想象能力也在這樣的一次次想象中得到發(fā)展！

（一）想著畫，搭建立體框架

《六年級學(xué)生空間想象能力測試及問卷調(diào)查的分析與對策》（游瓊英，《小學(xué)教學(xué)》2010.2 ）一文中指出：在空間想象能力測試中，有55%的學(xué)生不會畫立體圖，只有38%的學(xué)生能從文字聯(lián)想到平面圖形或立體圖形。說明我們的教學(xué)更需要對這方面進行關(guān)注。

小學(xué)階段對學(xué)生畫圖的要求不高，一些較簡單的圖形，可以讓學(xué)生在觀察實物后，根據(jù)圖形的相關(guān)知識嘗試著畫，這是一個由實物到圖形的順向思維過程。如在畫長方體三維圖時，可根據(jù)“從不同角度觀察一個長方體，最多能同時看到3個面”去畫。三個面用實線表示，其余三個面由于看不見，用虛線表示，相對的面大小相等，畫出相對面。方法有二。

方法1：先畫正面，再畫兩個相鄰的不同的面（由于透視關(guān)系，畫出的是平行四邊形）；另外三個面注意兩兩相對且相等。

方法2：也可用畫棱的方法，先畫出一個頂點上的長、寬、高，再畫出其余對應(yīng)的面。

（二）想完整，增添思維含量

教師還可以利用圖形的一些基本元素讓學(xué)生將前后知識融會貫通，想象加工、拼擺、組合， 讓虛擬圖形的完整框架或豐富的組合圖形表象在學(xué)生的頭腦中清晰顯示，增加思維含量。如在該單元教學(xué)時，筆者一直都非常關(guān)注這樣的訓(xùn)練，如根據(jù)長方體的長、寬、高想象出它的三維圖（見下圖），根據(jù)想象的三維圖解決問題：如后面的面積，左右兩個面的面積之和，棱長之和，哪個面的面積是15平方厘米，猜測這個長方體可能是什么盒子等。 讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識及積累的想象力進行解決，在解決的過程中進一步發(fā)展空間觀念?；蛘叱鍪疽粋€長方體的左面和前面（見下圖），分別計算底面積和體積。

這種教學(xué)方式將前后知識融會貫通，通過想完整，脫離實物，自覺搭建虛擬的立體圖形模型，并借助這個立體圖形，解決實際問題，這樣既培養(yǎng)了空間想象能力，又學(xué)以致用。

（三）想著折，突破教學(xué)難點

能進行立體圖形與其展開圖之間的轉(zhuǎn)化，不僅有助于學(xué)生認(rèn)識圖形的特征，同時還是解決實際問題的關(guān)鍵，是建立空間觀念的要點之一。但平時學(xué)生建構(gòu)的往往是立體圖形表象，展開圖及動態(tài)的轉(zhuǎn)化對學(xué)生而言比較困難。因而教師應(yīng)讓學(xué)生充分借助已有的動手操作經(jīng)驗，想著折，突破學(xué)習(xí)難點。學(xué)會想著折，就是引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中折疊操作，由于脫離了具體的操作，起初會有些困難，但只有在持續(xù)的想象活動中，才能培養(yǎng)他們的空間想象力。

諸如上題，在學(xué)習(xí)了正方體的認(rèn)識，了解了它的展開圖后，可引導(dǎo)學(xué)生通過“想象折、標(biāo)注”來完成。如讓學(xué)生先確定一個面作為下底面，寫上“下”，然后想象折疊的過程，每折疊一面就確定它是哪面，在此面標(biāo)上相應(yīng)的文字，最后若能不重復(fù)、不遺漏地在六個面上分別標(biāo)上“上”“下”“前”“后”“左”“右”（見下圖），那么這個展開圖就能折成正方體，反之，則不能折成正方體。

教師還可以通過電腦操作驗證學(xué)生的想象，不斷完善學(xué)生的想象。同時教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探尋展開圖的分布規(guī)律，獲得解題方法與策略。

【思考三】錯誤百出，僅僅是“看錯了”嗎？

在本單元教學(xué)中，由于概念較多，作業(yè)錯誤百出。究其原因，學(xué)生往往是一拍腦袋，恍然大悟地說聲“看錯了”。僅僅是看錯嗎？細(xì)細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)知識回歸生活時，更具有現(xiàn)實性和綜合性，現(xiàn)實問題的解決無疑對學(xué)生是一種挑戰(zhàn)。

【對策三】在“縱橫思辨”中，深化空間觀念

學(xué)生的空間觀念，需要以生活經(jīng)驗積累為基點，用想象來豐盈，更需要回歸生活。因此，教師一定要注重習(xí)題的設(shè)計，以學(xué)生熟悉的具體情境為載體，恰當(dāng)改變題目，把握習(xí)題的寬度、深度、靈活度和對比度；同時數(shù)學(xué)知識又具有一定的邏輯性、抽象性、概括性和層次性，教師還需要將各種知識和思想方法連串成網(wǎng)，形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。讓學(xué)生在縱橫思辨中同中求異，異中存同，觸類旁通，尋找共性，深化學(xué)生的空間觀念，提高解決問題的能力。而學(xué)生良好的空間觀念有助于發(fā)展他們的幾何直觀思想，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于學(xué)生進一步的學(xué)習(xí)和運用。

（一）橫向梳理，明晰概念

如“長方體和正方體的整理與復(fù)習(xí)”中的練習(xí)設(shè)計。

這種練習(xí)題以一個開放性的情境為載體，讓學(xué)生利用相關(guān)信息提出問題，把看似不同的知識聯(lián)系起來。不僅幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理知識，同時通過分析比較，理清知識的聯(lián)系與區(qū)別，提高概念的清晰度與區(qū)分度，構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提升思維的廣度和靈活度。

（二）縱向深入，融會貫通

教材第48頁安排了這樣一道習(xí)題（見下圖）：

（問題情境：體積小于容積，對應(yīng)的長、寬、高也小，裝得下）教師在充分解讀教材的前提下，進一步挖掘習(xí)題的思維含量，二度開發(fā)教材，讓看似簡單的習(xí)題發(fā)揮更大的價值。調(diào)整如右上表 。

此練習(xí)題同樣是利用一個情境，把相似的知識放在一起，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、概括的過程，打破思維定勢，學(xué)會從多角度思考問題，并獲得一些解決問題的策略。習(xí)題的教學(xué)價值在引領(lǐng)和重組下，獲得了豐富和拓展，提升了學(xué)生的空間觀念。

（三）凸顯思想，連串成網(wǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識不可分割的有機組成部分。立體圖形的教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，更要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，看到知識背后負(fù)載的方法、蘊含的數(shù)學(xué)思想才能對所學(xué)知識的理解更深刻，數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到提升。其主要數(shù)學(xué)思想包含數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、有序、類比、分類等，當(dāng)然我們所強調(diào)的是“凸顯”，著重在“滲透”，是讓學(xué)生能夠在初步體驗、感悟基礎(chǔ)上有所理解，用無痕的、潤物細(xì)無聲的方式讓學(xué)生認(rèn)識或理解某種具體的數(shù)學(xué)思想方法。

如從學(xué)生開始接觸空間與圖形板塊，“比較”就以不同的形式出現(xiàn)，從線段的長短到面積的大小再到體積的比較。列舉比較的數(shù)學(xué)思想方法，其實長度、面積和體積在比較的思想方法上它們表現(xiàn)出共同的特征?！氨容^”有兩法，即觀察法和重疊法，而重疊法是較為精確的比法。一維空間的比較：點對齊，重疊一條邊；二維空間：重疊兩個方向的邊；三維：重疊三個方向的邊。如果教師在每個學(xué)段都能適當(dāng)?shù)剡M行回顧與發(fā)展，那么我們的學(xué)生不再是舉步維艱，他們更多是利用一些數(shù)學(xué)思想和方法進行舉一反三的學(xué)習(xí)，教學(xué)也就成功。又如，“在數(shù)長方體的頂點、棱、面的數(shù)量”時，滲透有序的思想方法；再如，“用排水法求不規(guī)則物體的體積”“把正方體鋼坯鍛造成鋼條”等，都是利用等積變形的數(shù)學(xué)思想，包括在后續(xù)學(xué)習(xí)將圓柱轉(zhuǎn)化成圓錐等問題時都可利用這種思想方法。

學(xué)生的空間觀念是以豐富的空間經(jīng)驗為起點，在活動體驗的過程中逐步建立、形成、強化和發(fā)展起來的，而非一朝一夕之事。只要教師堅持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡不斷循環(huán)往復(fù)，空間觀念就會由無到有，由少增多，由模糊走向清晰，學(xué)生的想象力也會由弱到強，由低到高，由單一到復(fù)雜不斷提升。

參考文獻：

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[2]孔新偉 .數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間觀念三步曲[J].湖北教育（教育教學(xué)），2011（9）.

（浙江省新昌縣七星小學(xué) 312500）