Neuman平均的算術(shù)與二次平均的最佳凸組合界*

張 帆

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

對p∈,u,v>0且u≠v，則幾何平均G(u,v)、算術(shù)平均A(u,v)、二次平均Q(u,v)、第一類Yang平均U(u,v)[1]1-27和p階冪平均Ap(u,v)[2]1-12 [3]1-7分別定義為：

(1)

(2)

我們知道,冪平均Ap(u,v) 對固定的u,v>0且u≠v，關(guān)于p∈是連續(xù)和嚴(yán)格單調(diào)遞增的，則有熟知不等式

G(u,v)=A0(u,v)

(3)

對所有u,v>0且u≠v成立.

沈林昌等介紹的Neuman平均如下[4]139-148：

(4)

并且還發(fā)現(xiàn)了最佳參數(shù)α1,α2,α3,β1,β2,β3∈(0,1)，使得雙向不等式

α2Q(u,v)+(1-α2)G(u,v)

α3Q(u,v)+(1-α3)U(u,v)

對所有u,v>0且u≠v成立.

何曉紅等證明了雙向不等式[5]801-809

A2lg2/(5lg2-2lgπ)(u,v)

(5)

對所有u,v>0且u≠v成立.

從不等式(3)和(5)可以清楚地看到

A(a,b)

(6)

對所有u,v>0且u≠v成立.

根據(jù)不等式(6)，本文主要探究其是否存在最佳參數(shù)，使得α,β∈(0,1)的雙向不等式

αQ(u,v)+(1-α)A(u,v)

對所有u,v>0且u≠v成立.

二、引理和主要結(jié)果

為證明本文的主要結(jié)論，需要以下2個引理：

也在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).如果f′(x)/g′(x)的單調(diào)性是嚴(yán)格的，則結(jié)論中的單調(diào)性也是嚴(yán)格的[6]10.

引理2函數(shù)

簡單計算可得：

f1(0+)=f2(0)=0,f(x)=f1(x)/f2(x),

(7)

(8)

(9)

其中,

(10)

g(0)=0,

(11)

(12)

對x∈(0,π/2)成立.

(13)

(14)

下面證明本文的主要結(jié)果:

定理1雙向不等式

αQ(u,v)+(1-α)A(u,v)

(15)

(16)

等式(15)和(16)使得

(17)

所以，定理1容易從引理2和等式(17)得到.

根據(jù)等式(1)(2)(4)和定理1可以得到如下2個推論：

推論1雙向不等式

推論2雙向不等式