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    算術(shù)與Toader平均凸組合的單參數(shù)平均確界*

    2021-01-15 12:06:14馬春琳徐會(huì)作
    關(guān)鍵詞:昌吉值域等式

    馬春琳, 徐會(huì)作

    (1.昌吉廣播電視大學(xué) 教務(wù)處, 新疆 昌吉 831100; 2.溫州廣播電視大學(xué) 教師教學(xué)發(fā)展中心, 浙江 溫州 325000)

    一、研究背景

    設(shè)a,b>0且a≠b,p∈(0,1),q∈,M(a,b)是一個(gè)二元平均,則單參數(shù)平均M(a,b;p) 、q階冪平均Mq(a,b) 、算術(shù)平均A(a,b) 、反調(diào)和平均C(a,b) 、形心平均E(a,b) 、二次平均Q(a,b)、Toader平均TD(a,b)[1]358-368分別定義如下:

    M(a,b;p)=M[pa+(1-p)b,pb+(1-p)a],

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    近年來(lái),國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)工作者得到了許多關(guān)于Toader平均與其他二元平均的重要不等式.

    Barnard和Pearce等證明了λ=3/2,μ=log 2/log(π/2)=1.534 9L是使得雙向不等式

    Mλ(a,b)

    對(duì)所有a,b>0且a≠b成立的最佳參數(shù)[2]693-699[3]289-312.

    褚玉明等證明了雙向不等式

    C(a,b;λ)

    (5)

    華云等證明了雙向不等式

    E(a,b;α)

    (6)

    姜衛(wèi)東等找到了最大值λ和最小值μ使得雙向不等式

    C(a,b;λ)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

    對(duì)所有a,b>0且a≠b和所有α∈(0,1)成立[7]237-242.

    E(a,b;1/2)=A(a,b)

    (7)

    Q(a,b;1/2)=A(a,b)

    (8)

    對(duì)所有a,b>0且a≠b成立.

    根據(jù)不等式(7)和(8)可以發(fā)現(xiàn)最大值λ1,λ2∈[1/2,1]和最小值μ1,μ2∈[1/2,1]使得雙向不等式

    E(a,b;λ1)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

    Q(a,b;λ2)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

    對(duì)a,b>0且a≠b和所有α∈(0,1)成立.

    二、基礎(chǔ)知識(shí)與引理

    為證明本文的主要結(jié)果,需要給出相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)與幾個(gè)引理.

    對(duì)r∈(0,1),第一類和第二類橢圓積分分別定義為:

    并有:

    κ(r)和ε(r)滿足以下等式[8]474-475:

    也是單調(diào)遞增(遞減)的.如果f′(x)/g′(x)是嚴(yán)格單調(diào)的,那么上述兩式也是嚴(yán)格單調(diào)的[8]10.

    引理3函數(shù)

    在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增且值域是(1/4,4/π-1).

    f2(r)=r2,f(r)=f1(r)/f2(r).

    有:

    f1(0+)=f2(0)=0,

    (9)

    (10)

    簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

    (11)

    (12)

    引理4函數(shù)

    在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增且值域是(0,(4/π-1)2).

    g2(r)=r2和g(r)=g1(r)/g2(r).

    有:

    g1(0+)=g2(0)=0,

    (13)

    (14)

    簡(jiǎn)單計(jì)算可得:

    (15)

    (16)

    三、主要結(jié)果

    定理1設(shè)α∈(0,1)和λ1,μ1∈[1/2,1],則雙向不等式

    E(a,b;λ1)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

    證明根據(jù)二元平均A(a,b),E(a,b) 和TD(a,b) 是對(duì)稱且一階齊次的,不失一般性,設(shè)a>b>0.

    令r=(a-b)/(a+b)∈(0,1),p∈[1/2,1],則由式(1)(2)(4)可得:

    (17)

    (18)

    由等式(17)和(18)得:

    [αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)]-E(a,b;p)=

    (19)

    其中,函數(shù)f(r)定義在引理3.因此,定理1可由引理3和等式(19)得到.

    定理2設(shè)α∈(0,1)和λ2,μ2∈[1/2,1],則雙向不等式

    Q(a,b;λ2)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

    對(duì)a,b>0且a≠b成立,當(dāng)且僅當(dāng)

    證明根據(jù)二元平均A(a,b),Q(a,b)和TD(a,b)是對(duì)稱且一階齊次的,不失一般性,設(shè)a>b>0.

    令r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)p∈[1/2,1],則由等式(1)和(3)可得:

    (20)

    由等式(18)和(20)可得:

    [αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)]-Q(a,b;p)=

    [2(1-α)f(r)+(1-α)2g(r)-(1-2p)2],

    (21)

    其中,函數(shù)g(r)定義在引理4.因此,定理2可由引理4和等式(21)得到.

    注:不等式(5)和(6)是定理1和定理2在α=0時(shí)的特殊情況.

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