一個特殊擬算術(shù)平均的兩個精確不等式*

錢 偉 茂

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 繼續(xù)教育學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

設(shè)r∈(0,1)，第一類和第二類完全橢圓積分κ(r)和ε(r)分別定義為：

一直以來，完全橢圓積分得到了比較深入的研究.關(guān)于特殊情形，國內(nèi)外學(xué)者證明了許多關(guān)于第一類和第二類完全橢圓積分的重要性質(zhì)和不等式.

1998年，Toader介紹了一個關(guān)于兩個正數(shù)a和b的經(jīng)典擬算術(shù)平均Mp,n(a,b)[2]358-368：

其中，rn(θ)=(ancos2θ+bnsin2θ)1/n.當n≠0和r0(θ)=acos2θbsin2θ時，p是一個嚴格單調(diào)函數(shù).

(1)

兩個正數(shù)a和b的幾何平均G(a,b)、算術(shù)平均A(a,b) 和反調(diào)和平均C(a,b) 分別定義如下：

(2)

并且有熟知不等式

G(a,b)

(3)

對所有a,b>0且a≠b成立.

關(guān)于特殊的擬算術(shù)平均E(a,b)的其他二元平均和其組合的比較研究，目前已取得了一定進展.錢偉茂等證明了雙向不等式[3]1-10

Gp[λa+(1-λ)b,λb+(1-λ)a]A1-p(a,b)

袁琴等證明了雙向不等式[4]12-16

Cα1(a,b)H1-α1(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當α1≤7/16，β1=1，α2≤4/π2，β2≥7/16，其中H(a,b)=2ab/(a+b)是兩個正數(shù)a和b的調(diào)和平均.

趙鐵洪等證明了雙向不等式[5]1-12

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當α1≤3/16，β1≥64/π2-6=0.484 5L,α2≤3/16，β2≥(5ln2-ln3-2lnπ)/(ln7-ln6)=0.503 8L.

王淼坤等證明了雙向不等式[6]821-841

α1A(a,b)+(1-α1)G(a,b)

(4)

α2A(a,b)+(1-α2)H(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當α1≤3/4，β1≥8/π2，α2≤8/π2,β2≥7/8.

從不等式(3)和(4)使得

G(a,b)

(5)

對所有a,b>0且a≠b成立.

根據(jù)不等式(5)，本研究發(fā)現(xiàn)最佳參數(shù)λ1,λ2,μ1,μ2∈,使得雙向不等式

λ1C(a,b)+(1-λ1)G(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立.

二、主要結(jié)果

為證明本文的主要結(jié)果，需要以下4個引理：

也是單調(diào)遞增(遞減)的.如果f′(x)/g′(x)是嚴格單調(diào)的，則上述結(jié)論的單調(diào)性也是嚴格的[1]10.

引理3函數(shù)

在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴格單調(diào)遞增的且值域為(1/4,4/π2).

證明函數(shù)f(r)可以分解為：

(6)

其中，

設(shè)g1(r)=(2/π)2[2ε(r)-r′2κ(r)]2-r′2，g2(r)=r2.簡單計算可得：

g1(0+)=g2(0)=0,g(r)=g1(r)/g2(r)，

(7)

(8)

(9)

所以，引理3容易從等式(9)和函數(shù)f(r)的單調(diào)性得到.

引理4函數(shù)

在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴格單調(diào)遞增的且值域為(1/6,32/π4).

證明設(shè)h1(r)=(2/π)4[2ε(r)-r′2κ(r)]4-(1-r4)，h2(r)=2r2(3+r2).簡單計算可得：

h1(0+)=h2(0)=0,h(r)=h1(r)/h2(r)，

(10)

(11)

其中，

對J(r)關(guān)于r求導(dǎo)可得：

(12)

其中，

(13)

從引理2(1)、2(2)、2(3)和等式(13)使得：

(14)

對所有r∈(0,1)成立.

(15)

下面給出本文的主要結(jié)果及其證明.

定理1雙向不等式

λ1C(a,b)+(1-λ1)G(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當λ1≤1/4，μ1≥4/π2=0.405 2L.

證明根據(jù)G(a,b)、C(a,b)和E(a,b)是關(guān)于正數(shù)a和b對稱且一階齊次的，不失一般性，假設(shè)a>b>0.設(shè)a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2∈(0,1).從等式(1)和(2)得到：

(16)

(17)

從等式(16)和(17)得到：

(18)

其中，函數(shù)f(r)定義在引理3.所以，定理1容易從引理3和等式(18)得到.

定理2雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當λ2≤1/6和μ2≥32/π4=0.328 5L.

證明不失一般性，假設(shè)a>b>0.設(shè)a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2∈(0,1).從等式(16)和(17)可得：

(19)

其中，函數(shù)h(r)定義在引理4.所以，定理2容易從引理4和等式(19)得到.

從定理1和定理2可以給出如下推論：

推論設(shè)r∈(0,1)，a=1和b=r′2，則雙向不等式

對所有r′∈(0,1)成立.