沿波討源悟算理

袁蘊(yùn)聞

【摘 要】算理理解是開展小學(xué)計(jì)算教學(xué)的奠基石。算理是算法成立的原理，算法是算理深入的生成。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生沿波討源，在學(xué)習(xí)計(jì)算的過(guò)程中透徹地領(lǐng)悟算理，悟“理”明“法”，以“理”表“法”，從而提升綜合計(jì)算能力。

【關(guān)鍵詞】算理 算理理解 小學(xué)計(jì)算教學(xué)

對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，計(jì)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本而關(guān)鍵的能力，對(duì)其他數(shù)學(xué)板塊的學(xué)習(xí)有著直接的影響。新課程改革至今，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)理念已經(jīng)從反復(fù)教學(xué)算法得到正確計(jì)算結(jié)果，轉(zhuǎn)變?yōu)槔斫馑憷聿⑸杀碚骰乃惴ā５螢樗憷?？又如何基于算理理解展開計(jì)算教學(xué)呢？一線教師對(duì)這些層層遞進(jìn)的問(wèn)題仍存在疑惑，導(dǎo)致計(jì)算教學(xué)浮于表面，學(xué)生難以形成優(yōu)質(zhì)的計(jì)算技能。目前小學(xué)計(jì)算教學(xué)的重要任務(wù)即為厘清這些問(wèn)題，并有針對(duì)性地實(shí)施有效策略，最終提升學(xué)生計(jì)算能力。

一、小學(xué)計(jì)算教學(xué)中算理的認(rèn)知

在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中，“算”有“計(jì)數(shù)”之義，“理”有道理;事理之義。由此可以界定小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的算理為“計(jì)算的道理”。

算理是“計(jì)算的道理”，與算法有著緊密的聯(lián)系，要想生成出算法，需要根據(jù)對(duì)應(yīng)的算理。正確計(jì)算的先決條件就是厘清算理，算理是直觀存在的定律，提供了準(zhǔn)確的思考方式，確保計(jì)算準(zhǔn)確。如果說(shuō)算法是計(jì)算的方法，用來(lái)回答“怎么去計(jì)算”這一問(wèn)題，那算理則是解決“為什么要這樣去算”的數(shù)學(xué)依據(jù);如果說(shuō)算法是四則運(yùn)算的基本陳述性知識(shí)，那算理便是一種程序性知識(shí);如果說(shuō)算法是一種外在方法，那么算理便是隱性內(nèi)涵。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生領(lǐng)悟與表達(dá)算理，不僅能形成并優(yōu)化具體計(jì)算的算法，還從顯性層面反映了學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，最終搭建出轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思維方式的有效模型。進(jìn)一步解讀學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的步驟，以及對(duì)算理的深入探索與領(lǐng)悟，有助于提高學(xué)生解決不具象的數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，并聚焦于弄清“為什么”這樣解決，在復(fù)雜的數(shù)學(xué)探索過(guò)程中優(yōu)化出多種具象的算法，實(shí)現(xiàn)由表及里，內(nèi)外合一。

二、小學(xué)計(jì)算教學(xué)中算理理解的整體分析

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的三大領(lǐng)域，而加、減、乘、除運(yùn)算則是教學(xué)中的四種運(yùn)算方式，即四則混合運(yùn)算。其中“整數(shù)四則混合運(yùn)算”是中低年級(jí)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，“小數(shù)四則混合運(yùn)算”及“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”則是中高年級(jí)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。筆者研究并全面解析小學(xué)數(shù)學(xué)蘇教版教材中計(jì)算單元的結(jié)構(gòu)案例，從整體上分析小學(xué)計(jì)算教學(xué)中的算理理解，并著重分析下面三點(diǎn)內(nèi)容：

1.呈現(xiàn)有利于算理理解的素材

算理是計(jì)算的依據(jù)，要想理解算理，自然要清晰地呈現(xiàn)計(jì)算的依據(jù)，即有利于“算理理解”的教學(xué)素材。教師呈現(xiàn)教學(xué)素材時(shí)，還需要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)、心理需求等。一般來(lái)說(shuō)，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生對(duì)具象的素材更感興趣，并需要在操作、交流、總結(jié)后才能理解算理。所以，低年級(jí)的計(jì)算課教學(xué)，教師會(huì)借助有趣的情境圖、貼近生活的實(shí)物及數(shù)學(xué)學(xué)具盒（小棒、圓片、計(jì)數(shù)器等）來(lái)讓學(xué)生展開探究。如一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的“10以內(nèi)的加減法”時(shí)，可以借助小棒的分與合來(lái)理解算理。而中年級(jí)學(xué)生已經(jīng)建立起了初步的抽象思維，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生借助情境和已有的計(jì)算知識(shí)先自主探究算理，再歸納優(yōu)化算法。高年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的思考能力，教師可以調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，借助實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系或用畫線段圖的方法等來(lái)幫助理解算理。教師在展開計(jì)算教學(xué)時(shí)，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，呈現(xiàn)出有利于算理理解的學(xué)習(xí)素材。

2.引導(dǎo)有利于算理理解的方式

不同學(xué)段的學(xué)生由于認(rèn)知水平不同，對(duì)于算理理解的方式也各不相同?；谒憷砝斫獾囊暯窍?，對(duì)低年級(jí)學(xué)生開展教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分調(diào)動(dòng)已有的與生活相關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如一年級(jí)學(xué)生初學(xué)10以內(nèi)的加減法，就可以由學(xué)生已有數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，引申出在列豎式時(shí)要注意個(gè)位與個(gè)位相加、十位與十位相加，逐步抽象出算法。對(duì)中年級(jí)學(xué)生展開教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的計(jì)算學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，再重新建構(gòu)出新的算理。如學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”時(shí)，學(xué)生先聯(lián)系回顧簡(jiǎn)單的表內(nèi)除法，再厘清有余數(shù)的除法的算理，最后再建構(gòu)出相應(yīng)的算理。對(duì)高年級(jí)學(xué)生展開教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生整體探究、融會(huì)貫通、由淺入深，從已有的整數(shù)四則混合運(yùn)算類比到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算，建立起小學(xué)階段對(duì)于已學(xué)算理的整體性感悟。如學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘法”，探究算理時(shí)想到學(xué)習(xí)整數(shù)的混合運(yùn)算，乘法的含義是幾個(gè)幾相加，那分?jǐn)?shù)的乘法含義只是變成了幾個(gè)幾分之一相加，透徹理解了算理，算法的生成不再是難題。教師對(duì)低年級(jí)、中年級(jí)學(xué)生的引導(dǎo)要更注重“點(diǎn)”，而對(duì)于高年級(jí)的引導(dǎo)則要更注重“面”，這樣才能幫助學(xué)生理解算理實(shí)現(xiàn)從“形”到“質(zhì)”的跨越。

3.構(gòu)建有利于算理理解的結(jié)構(gòu)

算理理解和算法掌握是小學(xué)計(jì)算教學(xué)的兩大使命，并駕齊驅(qū)方能有效促進(jìn)計(jì)算教學(xué)的進(jìn)步。算理理解是算法合理的關(guān)鍵原理，而掌握算法是計(jì)算時(shí)能快速計(jì)算的關(guān)鍵，兩者內(nèi)在統(tǒng)一，不能割裂。低年級(jí)學(xué)生理解算理以操作為主，學(xué)生會(huì)擺小棒，即為初步理解算理，這時(shí)算理和算法的呈現(xiàn)比較相似，學(xué)生具備了初步的計(jì)算能力。中年級(jí)學(xué)生理解算理的過(guò)程是半抽象的，以低年級(jí)學(xué)的“十進(jìn)制”為基石，結(jié)合數(shù)學(xué)思維中已有的計(jì)算原理，衍生出比較便捷的列豎式的計(jì)算方法，或是估算的快捷方法等，算理和算法不再是相似的，而是演化成了建立在算理認(rèn)知基礎(chǔ)上的再建造出的算法。高年級(jí)學(xué)生理解算理的過(guò)程要調(diào)動(dòng)已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)思想及一些基本概念，從已建構(gòu)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，遷移出適合自己的算法，算理與算法呈螺旋狀上升趨勢(shì)，交互共進(jìn)，密不可分。不同學(xué)段的學(xué)生，對(duì)于算理理解的結(jié)構(gòu)也不相同，但結(jié)構(gòu)的構(gòu)建是慢慢遞進(jìn)和系統(tǒng)化的，教師在教學(xué)中要注重構(gòu)建有利于算理理解的結(jié)構(gòu)。

三、小學(xué)計(jì)算教學(xué)基于算理理解的有效策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出：“教師要注重學(xué)生理解和掌握計(jì)算基礎(chǔ)知識(shí)、技能，不僅要讓學(xué)生掌握技能操作的程序與步驟，還要學(xué)生理解程序和步驟的道理?！痹谟?jì)算教學(xué)中，學(xué)生要基于算理理解再優(yōu)化計(jì)算方法，這樣學(xué)生才能體會(huì)到算法的合理性及科學(xué)性，而不是死記硬背，教師授人以“漁”的重要性也體現(xiàn)在此。

1.借助經(jīng)驗(yàn)，尋找算理理解突破口

學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣所在、源頭所在，學(xué)習(xí)是利用原有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建構(gòu)來(lái)理解新知，在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上再加工，找到算理理解的突破口。教學(xué)不能忽視已有經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該借助經(jīng)驗(yàn)順勢(shì)而上，許多算理都若隱若現(xiàn)地藏在學(xué)生的生活中。如在蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“混合運(yùn)算”一課的情境圖中，小明買2盒水彩筆，付出50元，問(wèn)題是：應(yīng)找回多少元？學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，討論后都提出要先算出2盒水彩筆花了多少元，才能算出找回的錢。由此可見，學(xué)生對(duì)這一類型題目的算理已經(jīng)理解了。學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)，敲開了學(xué)習(xí)計(jì)算新知的算理大門，輕松地尋找到了算理理解的突破口。

2.巧用直觀，構(gòu)建算理理解支撐點(diǎn)

課堂上常出現(xiàn)學(xué)生表述不清楚算理的情況，但學(xué)生的思維卻是直觀的，這是深入構(gòu)建算理理解的關(guān)鍵抓手。直觀的方式有很多，學(xué)生面對(duì)模型直觀、幾何直觀、實(shí)物直觀、操作直觀等都能很具體地進(jìn)行思維創(chuàng)造，從而深化算理理解。如蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)除法”一課中的例題借助“分桃子”“分小棒”這種直觀操作，讓學(xué)生在動(dòng)手中建構(gòu)平均分的概念，從而引出除法算式的算理?；谒憷砝斫獾男W(xué)計(jì)算教學(xué)，教師要注重巧用直觀的方式，引導(dǎo)學(xué)生在直觀中探索數(shù)學(xué)計(jì)算知識(shí)，經(jīng)歷觀察、討論、探索、歸納等過(guò)程，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生在直觀后的思維能力，又能促動(dòng)學(xué)生對(duì)算理理解有深度感悟。

3.合理遷移，促進(jìn)算理理解再創(chuàng)造

在計(jì)算教學(xué)中，隨著年級(jí)的提高，學(xué)生通過(guò)對(duì)算理理解的深化，會(huì)創(chuàng)造出多樣化的算法，教師就要把握好結(jié)構(gòu)上的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從已有經(jīng)驗(yàn)到直觀認(rèn)知，再遷移出新的算理，最后創(chuàng)造出最優(yōu)化算法的過(guò)程。如在學(xué)習(xí)蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“同分母分?jǐn)?shù)的加減法”一課時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分母表示的都是幾分之一，只要看分子加起來(lái)一共有幾個(gè)幾分之一。這就關(guān)聯(lián)了整數(shù)加減法，找到了它們的相同之處。在明晰算理后，學(xué)生自然也就討論出了同分母分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算法則，即分母不變分子相加減。原本不會(huì)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在合理遷移下，學(xué)生對(duì)新知識(shí)對(duì)應(yīng)的算理有了不一樣的解讀。

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重中之重，算理理解這一奠基石，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、提高學(xué)生的計(jì)算能力、改善學(xué)生的答題習(xí)慣有著至關(guān)重要的作用。作為教師，要利用策略引導(dǎo)學(xué)生深層理解算理，扎實(shí)把握算法，雙管齊下為學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算提供有效保障。悟“理”明“法”，以“理”表“法”，提升學(xué)生綜合計(jì)算能力，發(fā)揮算理理解在計(jì)算教學(xué)中的育人價(jià)值。

注：本文系江蘇省教育學(xué)會(huì)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于算理理解的小學(xué)計(jì)算教學(xué)策略研究”（課題編號(hào)：18B4J3SZ45）的研究成果之一。