淺談數學教學中的幾種變式訓練

劉文梅

【摘要】本文結合實際情況及筆者自身的教學經驗，從“多題一解”“一法多用”“一題多用”“一題多變”“一解多用”這幾個方面談了自己在初中數學教學中的一些實際做法，以促進初中數學教學實踐的發(fā)展，促進學生掌握更多的數學知識和基本技能，提高其自身的數學學習效率與學習能力.

【關鍵詞】初中數學;變式訓練;多題一解;一法多用;一題多變;一題多用

變式訓練是數學教學中的一種常用的有效方法，能有效培養(yǎng)學生思維的靈活性、化歸性和遷移性，同時提高學生的發(fā)散思維能力.在實際教學中，教師要按照學生的認知規(guī)律和年齡特點，對教學內容分層設計，做到由低至高、由淺入深，采用適度的“變式”練習，使學生正確理解、有效提煉和合理組織數學知識，并能運用數學知識去解決現(xiàn)實中的實際問題.通過變式，數學活動有效真實，學生能夠真正學到知識，提高自身的學習能力.下面筆者結合實際情況及自身的教學經驗，從“多題一解”“一法多用”“一題多用”“一題多變”“一解多用”這幾個方面來談談自己在初中數學教學中的一些實際做法.

一、變式訓練的定義

變式訓練是指在實際教學中，根據學生的興趣、水平、能力與身心實際狀況，站在不同角度對數學概念、公式以及問題等實現(xiàn)改變，只轉變條件和問題，而其本質不會發(fā)生變化，使學生深入理解和掌握數學知識與解題方法，學會掌握數學問題的本質的一種有效的訓練方式.因此，在實際教學中，教師應充分發(fā)揮變式訓練的優(yōu)勢和重要作用，切實提升學生的思維能力、自主學習能力及數學學習水平.

二、變式訓練的現(xiàn)狀

在初中數學實際教學中，變式訓練方式已被運用，雖取得了一定的進步，但因受到多種因素的影響，變式訓練的優(yōu)勢與深層價值未能發(fā)揮.受傳統(tǒng)訓練方式的影響，有的教師認為變式訓練不重要，忽視運用多種變式訓練，從而使教學效率降低，學生的能力得不到提高.

三、變式訓練的策略

1.多題一解

在初中數學中利用多題一解的方式，能激活學生的思維，發(fā)展其智力，使其抓住題目的本質，觸類旁通，培養(yǎng)學生的變通能力和思維能力.

例如，在講授二次函數的解析式時，筆者設置了這樣一組變式題目.

例1 已知二次函數的圖像經過A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）三點，求這個二次函數的解析式.

例題的教學一般采取“議一議”“練一練”“指導點撥”“評講”相結合，著重啟發(fā)和引導學生如何設出所求函數的解析式、怎樣建立方程組及其解決過程與方法.教師可以從例題出發(fā)，組織變式訓練，進而提高訓練效率.

變式1：已知二次函數的圖像與x軸，y軸交于A，C兩點，且過點B（1，0），求這個二次函數的解析式.

變式2：已知拋物線經過兩點B（1，0），C（0，-3），直線x=-1是它的對稱軸，求這條拋物線的解析式.

變式3：已知一次函數的圖像與二次函數的圖像相交于A（1，m），B（n，4）兩點，又經過點（1，0），且在y軸上的截距是 -1，直線x=2是二次函數的對稱軸，求這兩個函數的解析式.

教師出示變式題后，先讓學生讀題，了解題目的意思，找出這三道題的異同點，然后讓學生分組討論解答方法，議一議，練一練，解一解，再集體交流解答過程，掌握答題方法.在此過程中，教師在知識的轉折點上適當提出一些關鍵性的問題及時對學生進行點撥，在思路解決上為學生掃除障礙.

具體分析如下：對變式1，先讓學生比較它與例題在已知條件上有什么不同，再提出問題：“怎樣轉化為例題中的方法來求解.”然后討論思考：“怎樣求A，C兩點的坐標？”最后寫出解答過程.對變式2，引導學生利用對稱性，抓住“對稱軸是直線x=-1”，求點A的坐標.對變式3，引導學生分析題目，把它分解為下面幾個簡單的問題：①一次函數的解析式怎么求;②畫出草圖分析，求m，n的值;③二次函數的解析式是什么（和變式2比較解答）.通過比較、計算、解答，學生能明白這些變式題和例題都是求二次函數的一般式，要先設出它的解析式，代入三點的坐標，利用三點法列出方程組，求得答案.

“多題一解”的變式訓練能夠強化解題的方法與思想，促進學生智力和思維的發(fā)展，培養(yǎng)學生靈活的變通能力，讓學生通過“多題一解”抓住問題的本質，觸“一”通“類”，提高解題能力.

2. 一法多用

在教學中要有效利用典型例題或習題，通過變式把它們集合在一起，對比分析異同點，歸納總結題目立意、解題思路、策略方法和易產生的誤區(qū)等，形成同類的異型，同時聯(lián)系教材各章的知識點進行整合，使學生共同認知知識，掌握方法.雖然題目的知識結構不同，結果也不同，但解決問題的思維方法、解題思路是相同的，以一種題目的解答方法去解決相關的同類型的多個題目，互相轉換，培養(yǎng)學生的類比想象能力，提高學生運用與遷移的解題能力.舉例如下：

例2 若5x-（3b-3）=2x+（7b+6）的解為非正數，試求實數b的取值范圍.

變式1：已知二元一次方程組3x+2y=9 與2x+y=p的解x>0，y<0，求p的取值范圍.

變式2：已知方程組4x+5y=31，x+3y-a=0是關于x，y的二元一次方程組，它的解是正整數，求a的整數值.

變式3：已知不等式組y-q>0，3-2y>0是關于y的不等式組，且它的整數解共有5個，求q的取值范圍.

比較這些題目，可以看出它們都含有字母，是求一個字母的取值范圍的題目，雖然有的是關于方程組的，有的是關于等式的，有的是關于不等式組的，但它們的解題思路和方法基本是一樣的，都是通過先解方程組，用所求字母來表示它們的解，再合理轉化成不等式求出答案.學生可以通過對“一法多用”的掌握進行“舉一反三”的訓練.

這樣，學生能從多方面理解數學問題，轉化概念、原理和問題，從而鞏固基礎知識，內化知識，輕松獲得知識，提高類比想象能力.

3.一題多用

“一題多用”在初中數學教學中能系統(tǒng)化地歸納知識，其是培養(yǎng)學生的應用意識和綜合能力的有效途徑，也是培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力的最佳方式，幫助學生在發(fā)散的多種途徑和方法中通過比較判斷獲得一種最簡捷、最合理的方案與結果.因此，在初中數學實際教學中，運用“一題多用”的訓練方式能真實有效地指導學生，使學生有效梳理數學概念以及公式等內容，可對同類異型問題進行整理，科學有效地歸納數學解題思想、方法與策略，讓學生靈活運用同一知識點有效地解決同類型的問題，提高學生的解題水平和能力，更好地發(fā)揮“一題多用”訓練方法的重要價值.

例3 已知一條直線上有n個點，則這條直線上共有多少條線段？

這是七年級數學中我們已解決的問題，易得共有1+2+3+…+（n-2）+（n-1）=n（n-1）/2條線段.運用這個數學模型，可以解決很多數學問題.

例如：

①有50名學生，每兩人互握一次手，需握手多少次？

②有甲、乙兩個站點，它們之間有5個?？空荆颐績蓚€站點之間需準備一種車票，則共需準備多少種車票？

③n邊形共有多少條對角線？

④現(xiàn)在要選出兩名優(yōu)秀班干部，候選人有9名班干部，由這9人中產生優(yōu)秀班干部，則甲和乙同時當選的概率是多少？

……

以上一系列問題都可以通過建立這樣的數學模型來解決.這種方式培養(yǎng)了學生歸納整理的能力及發(fā)散思維能力，還深化了學生建模思想和應用數學模型的意識，最終提高了解題能力與學習效率.

4.一題多變

在初中數學教學過程中，要想培養(yǎng)學生的數學學科素養(yǎng)，就要更好地開展“一題多變”的訓練方式，培養(yǎng)學生舉一反三的意識與能力，強化學生的實際解題能力，引導他們有效學習與掌握數學問題的解決方法.進行這種訓練時，教師應立足教材重點內容，抓住與之關聯(lián)的數學知識，對數學問題進行有效轉變;應結合數學題目中存在的各種條件，通過轉變條件與結論，深入探尋題目間的內在聯(lián)系，對學生進行引導，讓學生掌握不同的解題技巧，形成相似問題的解題思路，拓展學生的思維，探索鉆研掌握解決相關數學問題的一般解題方法，融會貫通，能迅速、從容地解決問題，為學生今后更好地學習數學創(chuàng)造條件，促進學生的進步及全面發(fā)展.例如，在證明平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形時，可以通過利用題目中“依次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形，我們將其稱為中點四邊形”來證明平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形.在此基礎上，教師可以再引導學生依次求證矩形的中點四邊形是菱形、菱形的中點四邊形是矩形、等腰梯形的中點四邊形是平行四邊形……在這樣一系列的證明及證明過程中，學生能不斷了解并應用平面圖形的特點，循序漸進地培養(yǎng)自身的思維能力，達到舉一反三的學習目的，掌握不同的解題技巧，更好地解決數學問題，提升數學學習能力與學習水平.

5.一解多用

在實際教學中常用的方法是“一解多用”.由于初中數學知識點零散、繁雜、抽象，難以理解，加上教材內容具有很大的分散性，所以教師必須采用有效的方式展開教學，合理構建數學知識系統(tǒng)和理論體系，注重全面深入發(fā)掘、合理恰當整合、科學有效分析及靈活高效利用教材上的知識點，多對學生進行“一題多練”“一題多用”“一解多用”的訓練，對學生進行充分指導，讓學生梳理數學概念及公式等內容，充分發(fā)揮“一解多用”方法的優(yōu)勢和價值.

在實際開展變式訓練的過程中，教師可及時有效地整理同類異型問題，合理歸納解題的方法與策略，借助教材中的典型例題及其他習題，指導學生靈活運用同一數學知識點，解答同一類型數學問題，對數學知識加以有效拓展與延伸，進一步指導學生深入探尋多種不同題目間的相似性與差異性，找出解題過程中的共性，掌握解題思路與方法，最終總結出一套一解多用的模式，幫助學生達到“以不變應萬變”的學習目的，從而有效提升學生的數學解題水平.例如，在學習人教版七年級下冊“一元一次方程”這一課時的內容后，可進行變式訓練，讓學生鞏固重點知識，并理解其概念，有效合理地梳理本節(jié)課的內容，然后采用一解多用的訓練方法，讓學生充分了解同類異型的數學問題，有效地運用“一元一次方程”的解題方式.又如在學習完概率的內容后，教師出示這樣的題目：“被分為六個區(qū)域的一個轉盤，在兩次轉動轉盤后，指針指向區(qū)域一致的概率是多少？”“兩枚相同的骰子，如果同時拋擲，所得點數是否有相同的概率？”“在一個箱子中，裝有六種不同顏色的小球，從中隨機取出一個，記錄后放回，再隨機抽取一個，兩次取到的顏色相同的概率是多少？”等等.這些題目其實都是同種類型的，解答方法和思路基本相同，也就是我們俗稱的“換湯不換藥”.通過這樣的同類型題目，教師指導學生總結規(guī)律，找到這類問題的解答方法與思路，以更好地讓學生靈活應對多樣化的題目，提高解題能力和學習效率.

結 語

綜上所述，通過“多題一解”“一法多用”“一題多用”“一題多變”“一解多用”等的變式訓練，學生能夠有效探索、積極發(fā)現(xiàn)、自主設計、主動解決問題的解答過程，多方位、多層次、多角度地認識問題的本質，積極參與實踐，更深層次地理解問題，促進和拓展學生的智力、思維和能力的提高，成為創(chuàng)造的主人，實現(xiàn)創(chuàng)新目標，為獲得高效課堂的教學效果做好鋪墊.

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