在“變與不變”的探究中促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考

江蘇省興化市景范學(xué)校 陳 穎

蘇軾在《赤壁賦》中從哲學(xué)的角度向世人道出了人生中的變與不變的真理。其實(shí)，從數(shù)學(xué)的角度看，世界上所有的事物都在變化著，這種變化包含著變化和不變的因素。其中，如何處理“變與不變”的關(guān)系是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一大難點(diǎn)，也是重要的數(shù)學(xué)思維方法之一。筆者將結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中滲透“變與不變”的數(shù)學(xué)思維方法。

一、“變與不變”思想方法的概述

1.“變與不變”的內(nèi)涵。偉大的哲學(xué)家蘇格拉底認(rèn)為，世界上的所有事物都在某些方面發(fā)生變化或消逝，但是從某種程度上來(lái)說(shuō)這些變化著的事物在某些方面卻是相同的，那就是從不變化、從不消逝。這句話將“變與不變”的哲學(xué)含義很好地解釋透徹了。其實(shí)，“變與不變”是以辯證關(guān)系而存在的，如表面發(fā)生變化，但本質(zhì)卻不變；局部發(fā)生變化，但整體卻不變；事物都會(huì)有短暫的變化，但長(zhǎng)期來(lái)看最終結(jié)果是不發(fā)生改變的?？傊?，如果要嘗試運(yùn)用變與不變的思想方法去思考問(wèn)題，那么需要我們既要考慮其變化的一面，又要考慮其不變的一面，同時(shí)還需要思考二者如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換。總之，世界上有太多千變?nèi)f化的事物，它們有可能會(huì)令人眼花繚亂，但是我們?nèi)绻茏プ∈挛镒兓谋举|(zhì)，就可以以不變應(yīng)萬(wàn)變，無(wú)論是生活中的問(wèn)題或是學(xué)科中的學(xué)術(shù)問(wèn)題，都能舉一反三，想出最適當(dāng)且最高效的辦法解決，從而提高自身解決問(wèn)題的能力與效率。

2.“變與不變”思想方法的數(shù)學(xué)地位。數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展以及應(yīng)用過(guò)程中誕生的，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)以及方法在更高層次上的升華與濃縮。當(dāng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，因此數(shù)學(xué)方法是將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用起來(lái)的策略，同時(shí)也是數(shù)學(xué)思想的具體反映。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用“變與不變”的思想，可以幫助學(xué)生解決錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題，也能讓學(xué)生通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，根據(jù)局部把握全局等。如果學(xué)生能把“變與不變”運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去，就可以做到舉一反三和觸類(lèi)旁通。因此“變與不變”思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有深遠(yuǎn)的意義。

二、“變與不變”思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際運(yùn)用

1.在“變與不變”中分析概念。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最基本的一個(gè)內(nèi)容，也是一切中高難度知識(shí)點(diǎn)的核心。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，概念的理解與把握是分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。然而，數(shù)學(xué)概念具有抽象化的特點(diǎn)，這使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)變得比較困難。因此，在教學(xué)過(guò)程中，尤其是在講解概念時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)把握“變與不變”的關(guān)系，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較分析，以便更為清楚地理解概念的本質(zhì)特征和意義。

例如，在教學(xué)“面積”這一單元時(shí)，很多老師把周長(zhǎng)和面積分開(kāi)來(lái)教，這就容易使學(xué)生混淆面積和周長(zhǎng)這兩個(gè)重要概念。其實(shí)，最好的教學(xué)方式是教師先將周長(zhǎng)和面積這兩個(gè)概念分別講解后，再設(shè)計(jì)一系列與之相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)，讓每一個(gè)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形周?chē)木€的變化是如何引起周長(zhǎng)和面積的變化的，周長(zhǎng)和面積之間到底有什么聯(lián)系或者差別。

比如，教師拿出一個(gè)可以活動(dòng)的平行四邊形框架，將平行四邊形變成長(zhǎng)方形再變成其他平行四邊形的過(guò)程演示出來(lái)，讓學(xué)生觀察平行四邊形的周長(zhǎng)和面積有什么變化，學(xué)生很快就能得出圖形的周長(zhǎng)不變，但是面積發(fā)生改變了。

教師通過(guò)在課堂上讓學(xué)生猜測(cè)、驗(yàn)證、比較和發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生不僅能夠清楚地辨析面積與周長(zhǎng)概念的區(qū)別，還能夠?qū)W會(huì)全面思考問(wèn)題的方法，從而提高自身辨析事物的能力。

2.在“變與不變”中探究規(guī)律。自從新課程改革開(kāi)始實(shí)施之后，很多版本的數(shù)學(xué)教材都對(duì)內(nèi)容進(jìn)行了仔細(xì)的探索與鉆研，并總結(jié)出許多規(guī)律，對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行了合理的安排與設(shè)計(jì)。其實(shí)，數(shù)學(xué)教材中有很多規(guī)律、性質(zhì)或公式，都是可以融入“變與不變”思想的，通過(guò)這種思想的滲透，可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探究與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

例如，在“商不變的性質(zhì)”一課中，教師讓學(xué)生思考一個(gè)問(wèn)題：“為什么被除數(shù)和除數(shù)變了，商卻沒(méi)有變。這里面究竟蘊(yùn)藏了什么規(guī)律？”在總結(jié)了性質(zhì)之后，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生使用“什么變了，什么沒(méi)有變，每一次變化的量是按照什么規(guī)律變化的”的方式。接著，再通過(guò)類(lèi)比進(jìn)行一系列的歸納與總結(jié)。總之，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中自覺(jué)地運(yùn)用“變與不變”的思維方法去進(jìn)行觀察和總結(jié)。

同樣，在教學(xué)“空間與圖形”時(shí)，教師可以經(jīng)常使用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換的方法，但在轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，教師應(yīng)該促使學(xué)生及時(shí)地發(fā)現(xiàn)“變化與不變化”之間的關(guān)系，最后主動(dòng)地總結(jié)出規(guī)律來(lái)。

例如，在教學(xué)“平行四邊形的面積計(jì)算”時(shí)，教師可以先要求學(xué)生通過(guò)拼接和切割的方式將平行四邊形轉(zhuǎn)換成長(zhǎng)方形，然后詢(xún)問(wèn)學(xué)生“什么改變了”和“什么沒(méi)有改變”，接著再讓學(xué)生進(jìn)行探索。很顯然，經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察和認(rèn)真比較，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)平行四邊形的“底”等于轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”，平行四邊形的“高”等于轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的“寬”，以及平行四邊形的面積等于轉(zhuǎn)換后的長(zhǎng)方形的面積。而在先前，學(xué)生已經(jīng)非常熟練地掌握了長(zhǎng)方形的面積公式，即長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以面對(duì)這種情況，學(xué)生通過(guò)遷移可以很容易發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的面積=底×高。

這樣一來(lái)，在“變與不變”思維方法的指導(dǎo)下，學(xué)生也會(huì)自覺(jué)、主動(dòng)地運(yùn)用“變與不變”的思維方法去發(fā)現(xiàn)與解決問(wèn)題。接下來(lái)，學(xué)生要學(xué)習(xí)如何推導(dǎo)圓、梯形和三角形的計(jì)算公式時(shí)，就會(huì)很自覺(jué)地將“變與不變”的思想滲透到推導(dǎo)過(guò)程中去，從而使自身的思維能力得到有效的鍛煉。

3.在“變與不變”中解決問(wèn)題。世界上的事物是不斷變化和演變的，變化包含著變和不變的因素，而我們要做的是從這些復(fù)雜的變化中發(fā)現(xiàn)變與不變之間的相互聯(lián)系，因?yàn)檫@通常是解決問(wèn)題的突破口。例如，我們?cè)诮鉀Q“盈虧問(wèn)題”等學(xué)生會(huì)感到比較困難的問(wèn)題時(shí)，如果學(xué)生懂得在其中歸納萬(wàn)千變化中不變的規(guī)則，那么這些問(wèn)題就能迎刃而解了，解決的難度系數(shù)也會(huì)下降很多。

例如，有這么一道題：學(xué)校圖書(shū)館有420本歷史書(shū)籍和文學(xué)書(shū)籍，其中歷史書(shū)籍占20%左右，后來(lái)又買(mǎi)進(jìn)一些歷史書(shū)。在這個(gè)時(shí)候，歷史書(shū)占全部書(shū)的比重是30%，問(wèn)又買(mǎi)了多少歷史書(shū)籍？”其實(shí)，這道題中，歷史書(shū)的數(shù)量和總數(shù)是變化的，而文學(xué)書(shū)的數(shù)量是不變的。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生抓住不變的量——文學(xué)書(shū)的數(shù)量，最后得出這樣的結(jié)論：文學(xué)書(shū)的數(shù)量是420×（1-20%）=336（本）。而變化后的總本數(shù)是336÷（1-30%）=480（本），此時(shí)，增加歷史書(shū)為480－420=60（本）。

就這樣，在復(fù)雜的變化中，用常數(shù)量即不變的量作為突破口，能夠開(kāi)闊學(xué)生的思維，使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單、易解決。

綜上所述，“變與不變”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中分析和解決問(wèn)題的一種為人所熟知的思維方式。教師應(yīng)該了解整體的教學(xué)材料和基本方法，運(yùn)用更加豐富多彩的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)方法，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力。