一類極小值復(fù)合向量函數(shù)Clarke 廣義Jacobi 的有效算法

宋林森

（河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

混合互補(bǔ)問(wèn)題是一個(gè)重要的優(yōu)化問(wèn)題,在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸及生產(chǎn)管理等多方面都有著廣泛的應(yīng)用.截至目前,對(duì)于混合互補(bǔ)問(wèn)題已經(jīng)有許多有效算法[1-7].由于一般類Lipschitz 函數(shù)的廣義微分不易計(jì)算,因此多將混合互補(bǔ)問(wèn)題借助于中值函數(shù)或KKT 最優(yōu)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為非光滑方程組,但對(duì)其算法研究多基于構(gòu)造（或已有）光滑化函數(shù)的傳統(tǒng)算法改進(jìn),基于非光滑函數(shù)廣義微分計(jì)算的非光滑算法研究相對(duì)少見(jiàn).基于此,本文將以混合互補(bǔ)問(wèn)題的兩種不同轉(zhuǎn)化形式為應(yīng)用背景,給出求解一類極小值復(fù)合向量函數(shù)廣義Jacobi 的有效算法.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮混合互補(bǔ)問(wèn)題（MCP）：求向量 使其滿足

另一方面,由于混合互補(bǔ)問(wèn)題（1）是盒子約束優(yōu)化問(wèn)題.基于一般約束優(yōu)化問(wèn)題的局部最優(yōu)KKT 條件可知,該問(wèn)題的最優(yōu)解也滿足如下方程組

2 一類極小值復(fù)合函數(shù)Clarke 廣義Jacobi 的計(jì)算方法

混合互補(bǔ)問(wèn)題（1）借助于中值函數(shù)或KKT 最優(yōu)條件,都可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為分量為極小值線性函數(shù)的非光滑方程組.由于一般類Lipschitz 函數(shù)的廣義微分不易計(jì)算,而其又為非光滑可執(zhí)行算法實(shí)施的保證,本節(jié)給出了求解一類極小值復(fù)合函數(shù)Clarke 廣義Jacobi 的計(jì)算方法.

首先,記

3 算例

結(jié)合兩個(gè)例子,給出混合互補(bǔ)問(wèn)題兩類不同等價(jià)轉(zhuǎn)化形式下,對(duì)應(yīng)非光滑函數(shù)B 微分（Clarke 廣義Jacobi）中元素的具體計(jì)算方法.

例1 考慮混合互補(bǔ)問(wèn)題.設(shè)[ l , u ] =[0,5]4,

4 小結(jié)

Clarke 廣義Jacobi 的計(jì)算是非光滑優(yōu)化數(shù)值方法中的必要子算法.本文以混合互補(bǔ)問(wèn)題的兩個(gè)等價(jià)形式為應(yīng)用背景,對(duì)一類特殊極小值復(fù)合向量函數(shù)Clarke 廣義Jacobi 計(jì)算方法進(jìn)行了研究,并結(jié)合算例給出了具體的計(jì)算步驟.然而,由于混合互補(bǔ)問(wèn)題應(yīng)用廣泛,至今已形成許多有效的計(jì)算方法,將Clarke廣義Jacobi 的計(jì)算應(yīng)用于求解此類問(wèn)題的非光滑算法中,是否具有良好的運(yùn)算結(jié)果,還需要進(jìn)一步研究.