例談幾何概念教學(xué)的優(yōu)化策略

【摘要】本文論述幾何概念教學(xué)的優(yōu)化策略，提出基于動(dòng)態(tài)情境、運(yùn)用動(dòng)態(tài)表征、借助動(dòng)態(tài)變式等三種優(yōu)化方式，幫助學(xué)生理解幾何概念的內(nèi)涵與外延，促進(jìn)幾何概念的內(nèi)化。

【關(guān)鍵詞】幾何概念 優(yōu)化策略 動(dòng)態(tài)情境

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）33-0104-02

小學(xué)幾何概念教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括、模型思想具有十分重要的推動(dòng)作用。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，認(rèn)識(shí)復(fù)雜的幾何圖形需要學(xué)習(xí)許多基礎(chǔ)知識(shí)，其中就包括幾何概念。新課標(biāo)提出要發(fā)展學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中牢固掌握幾何概念。然而傳統(tǒng)教學(xué)的靜態(tài)化模式大多停留在概念的表面，并不能揭示幾何概念的內(nèi)涵和外延，不利于學(xué)生理解和掌握幾何概念，這就需要教師優(yōu)化幾何概念教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何概念的深刻理解。那么，如何優(yōu)化幾何概念教學(xué)呢？筆者認(rèn)為，教師可以采用動(dòng)態(tài)化教學(xué)策略，幫助學(xué)生深入理解概念本質(zhì)，準(zhǔn)確把握幾何概念元素之間的相互關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)幾何概念教學(xué)的高效性和實(shí)效性。

一、基于動(dòng)態(tài)情境，直擊概念本質(zhì)

小學(xué)生的思維特點(diǎn)以形象思維為主，在學(xué)習(xí)幾何概念時(shí)，他們?nèi)菀拙劢褂谝恍┍砻嫣卣魃?，思維也停留在淺顯的表層，不利于概念本質(zhì)的理解。教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，將抽象的幾何概念轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的情境，在動(dòng)態(tài)的變化中揭示隱性的幾何屬性，推動(dòng)學(xué)生直擊概念的本質(zhì)。

在教學(xué)部編版教材四年級(jí)上冊(cè)《平行與垂直》時(shí)，根據(jù)教材的編排，教師通常會(huì)先給學(xué)生畫(huà)兩條直線，讓學(xué)生觀察并判斷兩條直線的關(guān)系，然后讓學(xué)生進(jìn)行分類，由此確定平行和垂直。這樣的教學(xué)形式看起來(lái)能夠讓學(xué)生熟記平行的概念，但在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知誤區(qū)，認(rèn)為兩條直線沒(méi)有交叉就不是相交。為何會(huì)出現(xiàn)這樣的認(rèn)知錯(cuò)誤呢？原因是學(xué)生沒(méi)有深入理解相交與平行的概念本質(zhì)。因此，在教學(xué)時(shí)，筆者在實(shí)踐中從動(dòng)態(tài)情境入手展開(kāi)動(dòng)態(tài)教學(xué)。

（一）激活動(dòng)態(tài)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)想象

筆者先讓學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)過(guò)的圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示。在幾何圖形的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)中，筆者給學(xué)生出示一張格子圖（在格子圖中有一條直線），然后讓學(xué)生展開(kāi)想象：①請(qǐng)將這條直線向上做平移運(yùn)動(dòng)，得到直線2。②請(qǐng)將這條直線圍繞著圖中的某一點(diǎn)不停旋轉(zhuǎn)，得到直線2。學(xué)生在想象中進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)之后，筆者讓學(xué)生分別將平移或旋轉(zhuǎn)后的直線2與之前的直線進(jìn)行比較，看看位置關(guān)系發(fā)生了哪些變化。這一動(dòng)態(tài)情境，激發(fā)了學(xué)生的空間想象，讓學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自發(fā)建立平面內(nèi)兩條直線的空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系，為下一步正向遷移，更好地理解同一空間內(nèi)的直線關(guān)系做好準(zhǔn)備。

（二）推進(jìn)正向遷移，揭示概念本質(zhì)

接著，筆者讓學(xué)生根據(jù)自己的想象，動(dòng)手分別畫(huà)出兩條直線，然后再讓學(xué)生結(jié)合自己畫(huà)出來(lái)的直線關(guān)系展開(kāi)討論，看看有哪些圖形是通過(guò)平移得到的？哪些是通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的？并思考：這兩種基于不同方式得到的直線，在位置關(guān)系上有什么特點(diǎn)？你從中發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生根據(jù)自己的觀察和討論，發(fā)現(xiàn)基于旋轉(zhuǎn)得到的兩條直線會(huì)相交，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，通過(guò)平移得到的兩條直線不會(huì)相交，因?yàn)樵谶@條直線上的每一個(gè)點(diǎn)都進(jìn)行了平移，這充分說(shuō)明在每一處對(duì)應(yīng)點(diǎn)的實(shí)際距離都是相等的。由此推動(dòng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的正向遷移，讓學(xué)生逐漸觸及概念的本質(zhì)。

（三）加強(qiáng)動(dòng)態(tài)操作，促進(jìn)概念內(nèi)化

通過(guò)以上兩個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)平行的概念有了基本的認(rèn)知，這時(shí)筆者再讓學(xué)生動(dòng)態(tài)操作，并結(jié)合學(xué)生的操作進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生體會(huì)平移—平行—平移的過(guò)程，在頭腦中建立平行的概念屬性，然后再讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出平行線，進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)生深入理解概念的本質(zhì)，最后，讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活說(shuō)一說(shuō)生活中發(fā)生的平移現(xiàn)象，進(jìn)一步鞏固概念的認(rèn)知。

以上環(huán)節(jié)，教師從學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)出發(fā)，緊緊抓住兩條直線“不交叉”的外在表象，采用動(dòng)態(tài)變化的教學(xué)策略，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)情境中直觀感受平面內(nèi)兩條直線的關(guān)系，建立動(dòng)態(tài)的空間活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后將經(jīng)驗(yàn)正向遷移在平行線的認(rèn)知中，讓學(xué)生真正理解潛藏在表象下的概念內(nèi)涵，由此提升學(xué)生的空間想象能力，推動(dòng)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

二、運(yùn)用動(dòng)態(tài)表征，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在小學(xué)幾何概念教學(xué)中，根據(jù)教材的安排，大多數(shù)概念的本質(zhì)集中于基本圖形的共性特征中，這樣能夠讓學(xué)生產(chǎn)生直觀的感知。但不可忽視的是，這也容易讓學(xué)生造成認(rèn)知局限?；诖?，筆者認(rèn)為，教師可以采用動(dòng)態(tài)表征的教學(xué)策略，讓學(xué)生突破認(rèn)知局限，透過(guò)外在表象的動(dòng)態(tài)變化體會(huì)概念不變的本質(zhì)屬性，有效拓寬概念的外延，完善幾何概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

在教學(xué)《三角形的認(rèn)識(shí)》相關(guān)知識(shí)內(nèi)容時(shí)，筆者先幫助學(xué)生復(fù)習(xí)銳角三角形，并引入銳角三角形高的概念，然后再拓展到直角三角形以及鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生把握高的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)這兩類特殊的高。這樣教學(xué)，通過(guò)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)化表征的課堂教學(xué)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)表征感知規(guī)律以及運(yùn)用動(dòng)態(tài)表征建構(gòu)關(guān)聯(lián)兩個(gè)層次拓寬“高”這一概念的外延。

層次一，運(yùn)用動(dòng)態(tài)表征感知規(guī)律

筆者先給學(xué)生出示一個(gè)銳角三角形，這個(gè)銳角三角形位于兩條平行線之間，以三角形的邊BC為底邊，繪制一條三角形的高，然后動(dòng)態(tài)演示頂點(diǎn)A沿著平行線中的一條直線向右平移的過(guò)程。平移的過(guò)程是持續(xù)的。隨著頂點(diǎn)A不斷向右移動(dòng)，這個(gè)銳角三角形的高也會(huì)隨著向右移動(dòng)，由此構(gòu)成另外一個(gè)同底等高的銳角三角形。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察整個(gè)動(dòng)態(tài)操作過(guò)程，并思考這其中有什么變化規(guī)律，找一找這個(gè)三角形內(nèi)有哪些發(fā)生改變，哪些沒(méi)有改變？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，三角形形狀發(fā)生了改變，但是底沒(méi)有改變;高隨著頂點(diǎn)的位置發(fā)生改變而不斷移動(dòng)，但是長(zhǎng)度并沒(méi)有改變。筆者繼續(xù)動(dòng)態(tài)演示，讓頂點(diǎn)A沿著平行線中的一條直線繼續(xù)向右移動(dòng)，由此啟發(fā)學(xué)生思考：想一想，高的位置的移動(dòng)和三角形的形狀變化之間有什么樣的關(guān)聯(lián)呢？學(xué)生根據(jù)動(dòng)態(tài)演示，指出當(dāng)高的位置向右平移過(guò)頂點(diǎn)A，越來(lái)越靠近AC邊，最后會(huì)與AC邊重合。（如圖1所示）

筆者追問(wèn)：“這時(shí)得到的是什么三角形？這個(gè)三角形的高在哪里？”學(xué)生認(rèn)為，此時(shí)三角形的高與三角形的直角邊重合，說(shuō)明這是一個(gè)直角三角形，而且直角三角形的直角邊不僅僅是一條邊，同時(shí)也是三角形的高。這樣，通過(guò)動(dòng)態(tài)的課堂演示，學(xué)生對(duì)三角形與高的運(yùn)動(dòng)變化有了直觀的認(rèn)識(shí)，在充分把握?qǐng)D形的變與不變基礎(chǔ)上，感受圖形形狀以及高的位置變化規(guī)律，由此對(duì)高的概念本質(zhì)有了深刻的理解。

層次二，運(yùn)用動(dòng)態(tài)表征建構(gòu)關(guān)聯(lián)

在上一層次的動(dòng)態(tài)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)直角邊上的高建立了認(rèn)知，領(lǐng)悟了高的位置移動(dòng)和變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生充分展開(kāi)想象：“現(xiàn)在繼續(xù)將直角三角形的頂點(diǎn)A向右平移，你猜會(huì)形成一個(gè)什么樣的三角形？高會(huì)在哪個(gè)位置？”學(xué)生展開(kāi)想象，但并不能確定高的位置。筆者繼續(xù)動(dòng)態(tài)演示，帶領(lǐng)學(xué)生觀察并思考：“這是個(gè)怎樣的三角形？高在這個(gè)三角形的哪個(gè)位置？”學(xué)生觀察后知道，隨著頂點(diǎn)A不斷向右平移，形成了一個(gè)鈍角三角形，此時(shí)高不在這個(gè)鈍角三角形之內(nèi)，而在三角形之外，因?yàn)檫@條垂直線段是從三角形的頂點(diǎn)A開(kāi)始，向它的對(duì)邊所作出來(lái)的，所以它就是三角形的高。筆者繼續(xù)追問(wèn)：“你從剛才的動(dòng)態(tài)演示中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”學(xué)生認(rèn)識(shí)到，不管是哪一條高，都是從頂點(diǎn)向?qū)呑鞒龅拇怪本€段。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)高的位置有所不同——在銳角三角形中，高在三角形之內(nèi);在直角三角形中，高與直角邊重合;在鈍角三角形中，高最為特殊，在三角形之外。

以上環(huán)節(jié)，教師緊緊抓住三類不同的三角形“同底等高”這一關(guān)鍵點(diǎn)，從運(yùn)動(dòng)變化的視角展開(kāi)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從平移三角形的頂點(diǎn)入手，有效突破學(xué)生認(rèn)為“高都是在三角形內(nèi)”的認(rèn)知局限，由此，借助動(dòng)態(tài)表征大大拓展了三角形高的外延，讓學(xué)生深入理解了三角形以及三角形高的本質(zhì)，從而完善了三角形這個(gè)幾何概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、借助動(dòng)態(tài)變式，推進(jìn)概念內(nèi)化

在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何概念教學(xué)中，為了讓學(xué)生將數(shù)學(xué)概念內(nèi)化為數(shù)學(xué)技能，提升數(shù)學(xué)能力，這就需要教師設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)變式練習(xí)，將靜態(tài)的幾何概念轉(zhuǎn)變?yōu)橛行蔚臄?shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的過(guò)程中內(nèi)化概念，獲得空間觀念的提升。

在教學(xué)“垂直”這一幾何概念時(shí)，學(xué)生普遍會(huì)認(rèn)為垂直就是豎著的垂直，一旦直線的位置發(fā)生改變就會(huì)引發(fā)學(xué)生的錯(cuò)誤判斷，出現(xiàn)錯(cuò)誤判斷的原因是學(xué)生在理解概念的過(guò)程中，并不能完善對(duì)垂直這一概念的抽象概括，沒(méi)有真正內(nèi)化“垂直”這一概念。為此，筆者設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)的變式練習(xí)：（1）有兩條直線相交成直角，其中一條直線A是另一條直線B的垂線，現(xiàn)在要把這兩條直線旋轉(zhuǎn)方向，然后再轉(zhuǎn)動(dòng)，猜想一下這兩條直線還互相垂直嗎？為什么？（2）筆者動(dòng)態(tài)演示（如圖2所示），圖①以交點(diǎn)為中心，沿著順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，最后變成了圖④，然后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，圖④又變成了圖①，由此學(xué)生發(fā)現(xiàn)，像圖①和圖④這樣的兩條直線都是相交成直角，所以它們互相垂直。

實(shí)踐證明，在小學(xué)幾何概念教學(xué)中，借助動(dòng)態(tài)的變式練習(xí)，能夠帶領(lǐng)學(xué)生積極參與動(dòng)態(tài)化的探究過(guò)程，內(nèi)化幾何概念的本質(zhì)內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)高效的課堂教學(xué)。

總之，在小學(xué)幾何概念教學(xué)中，教師應(yīng)立足幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化，借助物體和圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，將抽象的幾何概念元素轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)圖形，這是優(yōu)化幾何概念教學(xué)的有效策略。這種動(dòng)態(tài)化策略教學(xué)不但凸顯幾何概念的數(shù)學(xué)表征，而且能夠幫助學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，明晰空間關(guān)系，進(jìn)而不斷完善幾何知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)空間觀念的全面提升與發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：吳清（1976— ），女，廣西興業(yè)人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 林 劍）