借題發(fā)揮，提升能力

鞏松

[摘? 要] 在培養(yǎng)學(xué)生解題能力，提升思維能力的大背景下，避免陷入高考前的就題論題式的低效試卷講評模式，筆者充分借題發(fā)揮，做了一些新的嘗試：借題診錯，鞏固提升;借題剖析，提煉規(guī)律;借題優(yōu)解，拓寬思路.

[關(guān)鍵詞] 高三數(shù)學(xué);試卷講評;借題發(fā)揮;能力

試卷講評課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型，是高三復(fù)習(xí)課的“主旋律”，其根本目的在于有效糾錯、鞏固知識、促進反思、提升能力，它的成效直接影響著學(xué)生的備考效率，是提高高三教學(xué)效果的重要環(huán)節(jié)之一. 因此，提升高三復(fù)習(xí)卷的講評實效性是非常必要的. 高考中數(shù)學(xué)試題大多形式新穎、創(chuàng)新性較強、選拔要求高，倘若試卷講評跳不出試題本身，僅僅論題式講解，則無法調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，講評效果不盡人意;倘若能借題發(fā)揮，借機對試題進行歸納、整理、補充和拓展，則可以延伸學(xué)生的知識體系，最大限度地發(fā)揮試卷講評的功能，提升教學(xué)效率. 下面，筆者就高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的“借題發(fā)揮式”試卷講評談?wù)勛陨淼囊恍┎呗?，與同仁探討.

借題診錯，鞏固提升

試卷講評首先需研究學(xué)生的錯誤，并將錯誤視為認識過程和認識學(xué)生的一種重要手段. 考試的目的并非僅僅為了考查學(xué)生的分數(shù)，更為重要的是透過分數(shù)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中林林總總的問題，有效診斷錯誤，揪出出錯的原因，以達到增強免疫力和提升解題能力的雙重效能.

例1：已知數(shù)列{an}中，a1=4，且前n項的和Sn=6-2an+1，求an.

解析：本題在解決的過程中，不少學(xué)生無法揭示問題的本質(zhì)，從而得出以下錯誤解法：據(jù)an=Sn-Sn-1，可得■=■，則{an}為等比數(shù)列，所以an=4×■n-1. 這種錯誤源于什么呢？試卷講評中的糾錯講究無非就是“瓜熟蒂落”，學(xué)生自然天成地找尋到出錯的根源，并自我糾正. 教師需要做的僅僅是點撥和誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考. 經(jīng)過稍加提點，學(xué)生易想到■=■中n≥2僅可說明■=■=■=…=■，卻無法說明■=■. 因此，得出如下正確解法：據(jù)a1=S14=6-2a2a2=1，所以■=■≠■，所以a■=4，n=1，■，n≥2.

點評：以本題為指引，幫助學(xué)生查找病因，讓學(xué)生明晰“證明一個數(shù)列是否為等比數(shù)列，需充分關(guān)注下標(biāo)”，從而將錯誤根源徹底挖掘出來，充分認識到“問題背后的故事”. 問題解決到這里并沒有結(jié)束，執(zhí)教者為了充分發(fā)揮這一典型錯誤的功效，借助類似變式習(xí)題加以鞏固. 在鞏固練習(xí)的過程中，真正意義上達到共同免疫之功效，提升學(xué)生的解題能力.

借題剖析，提煉規(guī)律

明晰方法和規(guī)律是提升解題能力的必要條件，所以提升學(xué)生的解題能力，首先要讓學(xué)生深入題目深處總結(jié)歸納，提煉規(guī)律，規(guī)律是解題的細胞，而要掌握方法和規(guī)律我們必須從基礎(chǔ)入手. 在試卷講評中，如果能一道習(xí)題延展開來，引發(fā)學(xué)生的總結(jié)歸納，提煉規(guī)律，優(yōu)化解題方法，達到事半功倍之功效.

例2：已知橢圓■+■=1的焦點為F1，F(xiàn)2，試求出以F1，F(xiàn)2為焦點，并與直線x+y-6=0有交點的長軸最短的橢圓方程.

解析：本題可以通過以下一般性方法解題：首先，求出橢圓的焦點F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），得出所求橢圓方程的焦距為4;再設(shè)所求橢圓的方程為■+■=1（a2>4），并與直線方程聯(lián)立方程組，可得關(guān)于x的二次方程;要保證直線與橢圓有公共點，則需滿足Δ≥0，即可求出a的范圍，進而得出滿足題意的a的值. 事實上，本題還可以充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法探究，簡化解題思路. 于是，在講評本題時，筆者引領(lǐng)學(xué)生分析以下問題：

問題1：在直線l：x+y-2=0上找出一點P，使得點P到點A（-3，0），B（3，0）的距離之和最小;

問題2：在直線l：x+y-2=0上找出一點P，使得點P到點A（-1，0），B（1，0）的距離之和最小;

問題3：在直線l：x+y-2=0上找出一點P，使得點P到點A（-1，0），B（1，0）的距離之差的絕對值最大;

問題4：在直線l：x+y-2=0上找出一點P，使得點P到點A（-3，0），B（3，0）的距離之差的絕對值最大.

在完成以上練習(xí)后，進一步引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，充分理解這一類題目的本質(zhì)，找尋到解決“直線上一點到兩定點的距離之和的最小值和距離之差的絕對值的最大值”的方法. 最后，再給出相應(yīng)的變式訓(xùn)練，進行鞏固訓(xùn)練，才能讓學(xué)生真正打通思維，建立思想，形成能力.

教師在講評課堂中主導(dǎo)作用的發(fā)揮，在很大程度上體現(xiàn)在“引領(lǐng)總結(jié)提升”的水平上. 例2中這樣的探究歷程，其立意就是讓學(xué)生在總結(jié)中提煉規(guī)律，應(yīng)該說通過充分的訓(xùn)練和多角度的探究，使學(xué)生看清這一類題的全貌，將這類知識的解題方法和思路變成“集成電路”印在學(xué)生的腦海中，從而達到隨時提取之效果，有效提高了學(xué)生對此類問題的求解能力.

借題優(yōu)解，拓寬思路

在試卷講評中探究“一題多解”，不僅可以達到鞏固舊知和觸類旁通的效果，還能實現(xiàn)“雖解一題，實解多題”的效果，有效拓寬學(xué)生的解題思路，找尋到優(yōu)化解題的思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

例3：如圖1，AB為沿著西湖南北方向的一條道路，點P為西湖上的一個觀光處，點Q為停車場，且PQ=5.2 km. 一旅游團在觀光處游覽完后，搭乘游船回到停車場Q. 已知游船以13 km/h的速度沿著方位角θ的方向行駛，sinθ=■，而當(dāng)游船離開觀光處3分鐘后，因事耽誤未趕上游船的游客小紅為了及時趕到停車場Q與旅游團其他游客會合一起回酒店，當(dāng)即決定租用一條小船到達道路M處，再乘坐出租車趕到停車場Q（設(shè)小紅到達道路后可以立即乘到出租車）. 設(shè)小紅乘小船行駛的方位角為α，出租車的車速為66 km/h.

（1）設(shè)sinα=■，則小船的速度為多少時，小紅才能與其他乘客乘坐的游船同時到達停車場Q？

（2）假設(shè)小船的速度為10 km/h，試為小紅設(shè)計小船行駛方位角α，當(dāng)角α的余弦值是多少時，小紅能按計劃在最短時間內(nèi)達到停車場Q？

解析：由于第（1）問較為簡單，具體解析過程略. 在講評第（2）問時，學(xué)生展現(xiàn)了多種思路的精彩場面.

解法1：令t′=■=0，得cosα=■，所以當(dāng)cosα∈0，■時，t（α）單調(diào)遞增;當(dāng)cosα∈■，1時，t（α）單調(diào)遞減. 又y=cosα在0，■上單調(diào)遞減，所以當(dāng)cosα=■時，t取得最小值，小紅可以按照計劃以最短時間到達停車場Q.

解法2（換元法）：令x=cosα，則t=■+■，令t′=■=0，得x=■. 所以t在■，1上單調(diào)遞增，在0，■上單調(diào)遞減，所以t在x=■，即cosα=■時最小.

解法3（數(shù)形結(jié)合）：t=■-■×■. m=■表示點0，■與（sinα，cosα）連線的斜率，當(dāng)過點0，■的直線與圓x2+y2=1相切時，直線的斜率取得最值. 設(shè)直線的方程為y=kx+■，則■=1，k2=■，所以■= -■=■，cosα=■，所以當(dāng)cosα=■時，t取得最小值.

解法4（基本不等式）：令m=tan■∈（0，1），則t=■+■=■+■=■+■+■≥■+2×■×■. 當(dāng)且僅當(dāng)19m2=14，即m=■時取得“=”，即cosα=■=■時取得“=”，所以當(dāng)cosa=■時，t取得最小值.

如上例，講評中把探究和展示的權(quán)利百分之百地還給學(xué)生，把發(fā)現(xiàn)簡捷解法的權(quán)利堂而皇之地讓給學(xué)生，讓學(xué)生在展示四種求值域方法的同時切身感受到別人的分析過程，讓學(xué)生的思維在多角度的認識中不斷地深入和發(fā)散，從而有效地拓寬解題思路，優(yōu)化解題路徑.

總之，對于一節(jié)試卷講評課而言，借題發(fā)揮是上好講評課的前提. 一節(jié)高質(zhì)量的講評課離不開教師的精心準(zhǔn)備，選其經(jīng)典，擇其要點，有效講評;在講評的過程中，我們需找準(zhǔn)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”借題診錯、借題剖析和解題多解，不要就題論題，更不要糾纏于一種解法，而是要引導(dǎo)學(xué)生通過思考、探究、剖析、反思等環(huán)節(jié)，延伸發(fā)散，優(yōu)化解法，達到觸類旁通的效果，有效提升學(xué)生的能力.