例談學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

王國軍

[摘? 要] 文章從概念課、命題課、習(xí)題課的教學(xué)角度談學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 抽象素養(yǎng);培養(yǎng);教學(xué)策略

普通高中數(shù)學(xué)課程標準修訂組指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力. 高中階段核心素養(yǎng)包括“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”. 不少專家學(xué)者對核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、特征和價值做了很多高層次的詮釋. 而一線教師思考更多的是實踐層面的操作問題.

以數(shù)學(xué)抽象為例. 2017版課程標準中如下表述：數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng). 主要表現(xiàn)為，獲得數(shù)學(xué)概念和法則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.通過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗;養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習(xí)慣，運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.下面結(jié)合具體的案例，從常見的三種課型：概念課、命題課、解題課的教學(xué)角度，談抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，不當(dāng)之處，敬請斧正.

從具體的教學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念和法則？搖

基于核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境、提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與探究，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例1 冪函數(shù)的教學(xué)設(shè)計

師：在ab=N（a>0，a≠1）中，已知底數(shù)a不變，（1）當(dāng)指數(shù)b變化時，冪N隨之變化，稱N是b的指數(shù)函數(shù)，記作y=ax（a>0，a≠1）;（2）當(dāng)N變化時，b隨之變化，稱b是N的對數(shù)函數(shù)，記作y=logax（a>0，a≠1）.

問題情境1：在ab=N（a>0，a≠1）中，已知指數(shù)b不變，隨著底數(shù)a的變化，冪N也隨之變化，那么，N是a的什么函數(shù)呢？

問題情境2：觀察下列函數(shù)并回答問題：

y=x，y=x2，y=■，y=2x，y=■■，y=x■，y=x-2，y=x3.

（1）上述函數(shù)中，哪些是你熟悉的？分別是什么函數(shù)？

（2）如果將它們分類，你準備怎么分類？（要先確定分類的標準，如可以按照指數(shù)或底數(shù)的特點）

（3）最后三個函數(shù)能和前三個函數(shù)歸屬同一類嗎？為什么？

（4）這類函數(shù)有什么共同的特點？（底數(shù)都是自變量x，指數(shù)不同）

（5）你能否用一個式子來表示這類函數(shù)？

（6）我們把這類函數(shù)稱為冪函數(shù)，仿照指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定義，請你給出冪函數(shù)的定義.

（7）所給函數(shù)中，哪些是冪函數(shù)？為什么？

（8）請你們討論冪函數(shù)的定義域.

（9）作出所給冪函數(shù)的圖像，觀察它們的特征和規(guī)律，說出冪函數(shù)的性質(zhì).

從學(xué)生認知的先后順序，可以將數(shù)學(xué)抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化等5個階段.上述問題中，（1）是讓學(xué)生感知和識別，（2）至（5）讓學(xué)生分類與概括，（6）（7）是定義和表征，（8）（9）是想象、建構(gòu)并使知識系統(tǒng)化.

從數(shù)學(xué)概念與概念之間、事實與事實之間抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系和定理

眾所周知，無論是數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生還是數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)，都源于數(shù)學(xué)的一個核心——問題. 毫無疑問，數(shù)學(xué)定理課的教學(xué)也應(yīng)當(dāng)圍繞問題展開. 定理是怎么發(fā)現(xiàn)的？它蘊含了哪些規(guī)律性的東西？它能解決什么問題？如果教師不能通過對問題的不斷分析引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理證明的數(shù)學(xué)思想，顯然違背了數(shù)學(xué)育人的宗旨.

案例2 余弦定理的推導(dǎo)過程

1. 提出研究任務(wù)

前面我們學(xué)過了正弦定理.那么，有沒有余弦定理？如果有的話，又是怎樣的形式呢？能解決什么問題呢？今天我們就研究這個問題.

2. 制定研究策略

在本環(huán)節(jié)教學(xué)中，先讓學(xué)生談自己的想法. 但要讓學(xué)生自己獨立制定出一個解決問題的完整策略是非常困難的，這時必須有教師的適時引導(dǎo). 余弦定理的推導(dǎo)方式很多，教材中是用向量法推導(dǎo)的. 學(xué)生不易想到. 那么教師該如何引導(dǎo)呢？

啟發(fā)1：從正弦定理的形式看，它反映的是三角形的邊與所對角的正弦的關(guān)系. 那么余弦定理的形式又應(yīng)當(dāng)含有哪些元素呢？（邊和角的余弦）

（引導(dǎo)學(xué)生從正弦定理的結(jié)構(gòu)特征思考余弦定理的大致形式，養(yǎng)成從事實與事實間的關(guān)系思考問題的習(xí)慣.）

啟發(fā)2：在你學(xué)過的知識中，哪些知識涉及線段長和角的余弦？（學(xué)生自然會想到平面向量的數(shù)量積）

啟發(fā)3：前面我們是怎么用向量法推導(dǎo)正弦定理的？（引導(dǎo)學(xué)生回顧正弦定理的推導(dǎo)過程，從中尋找解決問題的突破口——找到一個關(guān)于向量的等式.如學(xué)生還是沒有思路，可提出如下問題：在△ABC中，三邊所對的向量■■，■滿足怎樣的關(guān)系式？）

有了研究思路后，學(xué)生需要獨立獲取研究結(jié)果. 對■+■+■=0式子怎么變形？有哪些注意事項？這些都交給學(xué)生獨立完成.

3. 拓寬研究思路

啟發(fā)4：余弦定理的結(jié)構(gòu)形式和我們以前學(xué)過的哪個定理很相似？——學(xué)生會聯(lián)想到勾股定理. 你能用勾股定理證明余弦定理嗎？

啟發(fā)5：教材中正弦定理推導(dǎo)的幾種方法能否推出余弦定理？

啟發(fā)6：你能用正弦定理推導(dǎo)余弦定理嗎？

4. 比較研究方法

讓學(xué)生比較各種方法的優(yōu)劣、每種方法的關(guān)鍵點、所涉及的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)思維的方式方法等.

從數(shù)學(xué)問題的解決過程中抽象出數(shù)學(xué)方法和思維方式

哈爾莫斯說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是解題”. 學(xué)生的核心素養(yǎng)水平的高低還必須在解決問題的過程中得到檢驗. 解題課的基本目標有兩個：（1）強化對概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識的理解;（2）從一類問題中抽象出解決該類問題的一般性方法，從而提高學(xué)生分析問題、解決問題及綜合運用所學(xué)知識的能力.

案例3 已知函數(shù)f（x）=x2-ax+1，若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：這是一個典型的二次函數(shù)的零點分布問題，學(xué)生易忽略某些限制條件，從而不能有效轉(zhuǎn)化.

思路1：通過對拋物線的開口方向、對稱軸、判別式、區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值的綜合考慮，得到Δ=a2-4>0，0<■<2，f（0）>0，f（2）>0，解得a∈2，■.

思路2：分離參數(shù)得，a=x+■，觀察直線y=a與對勾函數(shù)y=x+■在x∈（0，2）上的圖像有兩個交點的情況，得到a∈2，■.

點評：思路1是根據(jù)二次函數(shù)圖像特點尋找約束條件，思路2是通過分離參數(shù)，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點個數(shù)的問題. 兩種思路都體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.

變式訓(xùn)練：

（1）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有零點，求實數(shù)a的取值范圍;

（2）若不等式f（x）≥0在（0，2）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;

（3）若不等式f（x）≥0在（0，2）上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：在處理函數(shù)零點問題、不等式恒成立、不等式有解時，優(yōu)先考慮分離參數(shù)的方法.

數(shù)學(xué)教學(xué)就是教會學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).學(xué)會通過現(xiàn)象看本質(zhì)，通過一個問題的解決實現(xiàn)一類問題的解決恰是優(yōu)秀思維品質(zhì)之一. 解題教學(xué)不僅要關(guān)注一題多解，更應(yīng)重視多題一解. 通過多題一解的訓(xùn)練，可以有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

結(jié)束語

和其他素養(yǎng)一樣，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是一個長期的過程，而且更多時候是一種潛意識的行為. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，在數(shù)學(xué)活動中逐步形成的.面對即將到來的新一輪課程改革，我們應(yīng)當(dāng)積極探索在實踐層面的培育方法和途徑，開發(fā)出一些具有指導(dǎo)意義和可操作性的教學(xué)案例，切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.