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      二次函數(shù)與角度綜合題解題探究

      2020-10-20 05:56:00陳坤
      廣西教育·A版 2020年8期
      關鍵詞:二次函數(shù)思想方法三角函數(shù)

      【摘要】本文以二次函數(shù)與角度問題為例,提出深入剖析問題、開展解題探討、歸納解題方法等教學建議,綜合函數(shù)與幾何的相關知識,融合數(shù)學思想方法,掌握解題技巧,提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

      【關鍵詞】二次函數(shù) 角度綜合題 數(shù)形結合 三角函數(shù) 思想方法

      【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

      【文章編號】0450-9889(2020)29-0143-02

      【問題背景】

      二次函數(shù)與幾何的綜合是初中數(shù)學的熱點問題,也常作為壓軸題出現(xiàn)在歷年中考考卷中。該類型問題常以二次函數(shù)為基礎,融合幾何、方程、三角函數(shù)等知識,能夠全面考查學生的知識運用和解題能力。因此,開展二次函數(shù)與幾何的解題探討具有現(xiàn)實的意義??紤]到二次函數(shù)與幾何的結合視角較為廣泛,幾何要素不同,則對應的解題思路和構建的策略也不相同,下面以二次函數(shù)與角度問題為例展開解題探討。

      【問題引入】

      例1:設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,其圖象與坐標的x軸相交于點A和點B,且點A位于點B的左側,與坐標的y軸相交于點C(0,3)。過點C作x軸的平行線,與拋物線相交于點D,設拋物線的頂點為點M,過點M的直線y=x+5與拋物線的另一交點為點D.

      (Ⅰ)試求該拋物線的解析式;

      (Ⅱ)連接AM、AC和BC,試分析∠MAB和∠ACB的大小關系,并說明理由.

      思路點撥:本題是二次函數(shù)與幾何角相結合的綜合題,其中涉及拋物線、直線相交、角度大小分析等內(nèi)容。第一問求解拋物線的解析式,提取拋物線上的點,采用待定系數(shù)法即可求出;第二問分析兩個幾何角的大小關系,從問題表面來看,需要處理兩種可能的情形:一是兩個角相等,二是兩個角不等。與單純的幾何問題不同,函數(shù)背景下圖象中的線段具有了“數(shù)”的屬性,因此問題分析除了可以結合相應的幾何性質(zhì),還可以借用具有“數(shù)形”特性的工具——三角函數(shù)。

      過程突破:(Ⅰ)拋物線的解析式含有a、b、c三個未知系數(shù),需要提取拋物線上三個點的坐標——C、D、M,其中點C坐標已知。根據(jù)CD與x軸的平行關系可將點D設為(x,3),同時點D位于直線y=x+5上,可求得x=-2,即點D(-2,3)。根據(jù)對稱性可知點D和C關于拋物線的對稱軸對稱,則對稱軸為x=-1,則點M的坐標可設為(-1,y),將其代入直線y=x+5中,可求得點M的坐標為(-1,4)。從而可設拋物線的解析式為y=a(x+1)2+4,將點C坐標代入可得a=-1,所以拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

      (Ⅱ)分析∠MAB和∠ACB的大小關系,無法直接利用幾何性質(zhì)確定,可以引入正切函數(shù),函數(shù)值大小與角大小正相關,與幾何角相關點的坐標均確定,構建直角三角形即可求得對應的正切值。

      過點B作AC的垂線,垂足為點P,過點M作x軸的垂線,垂足為點N(如右圖所示)。根據(jù)拋物線的解析式可確定點A(-3,0),B(1,0),有∠MAB=∠MAN,在Rt△MAN中,根據(jù)點M、N、A的坐標可求得MN=4,AN=2,所以tan∠MAN=[MNAN]=2.根據(jù)點C和點A的坐標可知,CO=AO=3,所以∠CAO=45°,又知BP⊥AC,則△APB為等腰直角形,AB=4,則PA=PB=2[2].又知AC=3[2],所以CP=[2],在Rt△CPB中,tan∠PCB=[PBCP]=2.綜上可知,tan∠MAN=tan∠PCB,所以∠MAB=∠ACB.

      【總結歸納】

      上例的核心問題是第(2)問二次函數(shù)中分析幾何角的大小關系,該問題具有函數(shù)與幾何的雙重特征。從幾何角度來看,線段和角是組成平面圖形最為基本的元素,關于該問無非就是分析線段、角度的關系;從函數(shù)角度來看,角度可以視為直線相交所成的夾角,可與斜率相聯(lián)系。因此問題屬于二次函數(shù)與幾何角的綜合,兼具“數(shù)”與“形”的雙重特性,從數(shù)形視角分析,有三種解析思路:一是單純地進行角度推導;二是利用直線相交的斜率;三是數(shù)形結合,綜合幾何與函數(shù)特性進行對照分析。上述三種解析思路各有優(yōu)劣,適用于不同的問題情形,其中思路二的計算量較大,不提倡使用。綜上可知,對于角度關系問題可以采用如下解題策略:

      1.如果推理確定所涉角為特殊的角,則可以直接計算出角的大小,分析角度的大小關系。

      2.如果所涉角為一般角,可嘗試根據(jù)圖形的內(nèi)角關系、幾何性質(zhì)來推理角度的大小關系;對于其中的等角關系還可以借用三角形相似、全等三角形的性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)化分析。

      3.幾何直接推導存在難度的情況下,可以嘗試采用數(shù)形結合的方式,利用幾何性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)化,借用三角函數(shù)、代數(shù)方程等知識間接推理角度的大小關系。

      【拓展探究】

      例1屬于二次函數(shù)中的等角分析問題,在實際考查時還??寄嫦蛎},考查等角存在下的幾何要素分析,下面結合實例探索思路構建策略。

      例2:如右圖所示,拋物線解析式為y=[39]x2+bx+c,拋物線的頂點為M,與坐標的x軸相交于點A和點B,與坐標y軸相交于點C,其中點A(-3,0),C(0,3[3])。另拋物線的對稱軸與x軸的交點為點E,與直線BC的交點為點F,試回答下列問題。

      (Ⅰ)試求拋物線的解析式及頂點坐標;

      (Ⅱ)連接AC,設點R位于y軸上,再連接AR,若AR剛好平分∠OAC,試求點R的坐標;

      (Ⅲ)若點H位于拋物線上,當∠HCB=∠HBC,試求點H的坐標.

      思路突破:(Ⅰ)求拋物線的解析式,與例1的解法一致,利用拋物線上A和C的坐標構建方程即可,可確定拋物線的解析式為y=-[39]x2+[233]x+3[3],則頂點M的坐標為(3,4[3]).

      (Ⅱ)求點R的坐標,可將其坐標設為(0,r),又知AR平分∠OAC,可過點R作AC的垂線,垂足為點D,(如右圖所示),由角平分線的性質(zhì)可知DR=RO=r.同時可證△CDR[∽]△COA,由相似性質(zhì)可得[CRAC]=[DRAO],由點坐標可知AO=3,CR=3[3]-r,根據(jù)勾股定理可知AC=[OA2+OC2]=6,所以有[33-r6]=[r3],解得r=[3],所以點R的坐標為(0,[3]).

      (Ⅲ)該問求幾何角相等時點H的坐標,∠HCB=∠HBC時△HCB就為等腰三角形,點H就必然位于BC的垂直平分線上,因此可結合斜率,從直線解析式角度來確定點H的坐標。

      根據(jù)拋物線的解析式可求得點B(9,0),C(0,3[3]),設BC的中點為S,由點B和C可得S [92,332],直線BC的斜率為kBC=[339],HS⊥BC,所以直線HS的斜率為kHS=[3],可求得直線HS的解析式為y=[3]x-3[3].點H就為拋物線與直線HS的交點,聯(lián)立兩者構建方程,可確定點H的坐標有兩個,且均滿足條件,分別為(6,3[3])和(-9,-12[3]).

      評析:本題同樣為二次函數(shù)與幾何角的綜合題,其形式與例1有所不同,本題直接將“幾何角相等”作為條件,形成了點等角存在性的坐標探究題。但在解析突破時同樣采用數(shù)形結合的方法策略,首先從“形”的角度確定所求點位于直線的垂直平分線上,然后從“數(shù)”的角度確定垂直平分線所在直線的解析式,最后根據(jù)兩直線相交構建方程求點坐標。

      【教學建議】

      二次函數(shù)與角度問題是初中數(shù)學的典型問題,上述以等角為示例呈現(xiàn)了問題的兩種構建形式,并從數(shù)形結合角度對其突破思路進行了對比探究,引入的三角函數(shù)和直線斜率法是突破該類型問題常用的方法,具有一定的參考價值,下面提幾點建議。

      一、把握問題重點,整合基礎知識

      二次函數(shù)與角度問題是綜合性極強的問題,其中涉及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、幾何性質(zhì)、代數(shù)方程等內(nèi)容,問題突破需要把握重點,即函數(shù)與幾何的關聯(lián)——點坐標。點坐標是串聯(lián)函數(shù)性質(zhì)與幾何特性的橋梁,由點坐標可確定函數(shù)的解析式,同時可以推演其他幾何要素。在教學中需要依托函數(shù)與幾何的關聯(lián),引導學生對兩者的基礎知識加以整合,深入剖析定義、性質(zhì)之間的關聯(lián),構建相應的知識網(wǎng)絡,為后續(xù)綜合題的突破打牢基礎。

      二、解法歸納探索,形成解題策略

      上述結合實例對二次函數(shù)與角度問題的解法進行探討,形成“數(shù)”“形”角度解析問題的策略,實則是由函數(shù)內(nèi)容的雙重屬性決定的。對于函數(shù)與幾何問題,突破時提倡幾何視角分析曲線、直線的特性,然后從代數(shù)視角來構建相應的方程,逐步以“點”為突破口,深度剖析問題。在實際教學中,教師要引導學生掌握數(shù)形結合的解題方法,利用直觀的圖象剖析曲線特性,結合代數(shù)運算來精準求解,逐步形成數(shù)形結合的解題策略。

      三、滲透數(shù)學思想,提升解題思維

      二次函數(shù)與角度綜合題的突破過程中涉及眾多的數(shù)學思想,如模型構建思想、數(shù)形結合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等。正是在數(shù)學思想的指導下挖掘問題本質(zhì),把握突破的關鍵點,構建相應的解題思路,因此,開展考題探究需要立足數(shù)學基礎,融合數(shù)學思想方法。教學中應引導學生關注解題的數(shù)學思想,掌握解析技巧,同時思想方法教學有利于發(fā)展學生的數(shù)學思維,培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

      作者簡介:陳坤(1978— ),女,廣西玉林人,大學本科學歷,一級教師,主要從事初中數(shù)學教學與研究。

      (責編 林 劍)

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