二次函數(shù)與角度綜合題解題探究

【摘要】本文以二次函數(shù)與角度問題為例，提出深入剖析問題、開展解題探討、歸納解題方法等教學建議，綜合函數(shù)與幾何的相關知識，融合數(shù)學思想方法，掌握解題技巧，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】二次函數(shù) 角度綜合題 數(shù)形結合 三角函數(shù) 思想方法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）29-0143-02

【問題背景】

二次函數(shù)與幾何的綜合是初中數(shù)學的熱點問題，也常作為壓軸題出現(xiàn)在歷年中考考卷中。該類型問題常以二次函數(shù)為基礎，融合幾何、方程、三角函數(shù)等知識，能夠全面考查學生的知識運用和解題能力。因此，開展二次函數(shù)與幾何的解題探討具有現(xiàn)實的意義?？紤]到二次函數(shù)與幾何的結合視角較為廣泛，幾何要素不同，則對應的解題思路和構建的策略也不相同，下面以二次函數(shù)與角度問題為例展開解題探討。

【問題引入】

例1：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，其圖象與坐標的x軸相交于點A和點B，且點A位于點B的左側，與坐標的y軸相交于點C（0，3）。過點C作x軸的平行線，與拋物線相交于點D，設拋物線的頂點為點M，過點M的直線y=x+5與拋物線的另一交點為點D.

（Ⅰ）試求該拋物線的解析式;

（Ⅱ）連接AM、AC和BC，試分析∠MAB和∠ACB的大小關系，并說明理由.

思路點撥：本題是二次函數(shù)與幾何角相結合的綜合題，其中涉及拋物線、直線相交、角度大小分析等內(nèi)容。第一問求解拋物線的解析式，提取拋物線上的點，采用待定系數(shù)法即可求出;第二問分析兩個幾何角的大小關系，從問題表面來看，需要處理兩種可能的情形：一是兩個角相等，二是兩個角不等。與單純的幾何問題不同，函數(shù)背景下圖象中的線段具有了“數(shù)”的屬性，因此問題分析除了可以結合相應的幾何性質(zhì)，還可以借用具有“數(shù)形”特性的工具——三角函數(shù)。

過程突破：（Ⅰ）拋物線的解析式含有a、b、c三個未知系數(shù)，需要提取拋物線上三個點的坐標——C、D、M，其中點C坐標已知。根據(jù)CD與x軸的平行關系可將點D設為（x，3），同時點D位于直線y=x+5上，可求得x=-2，即點D（-2，3）。根據(jù)對稱性可知點D和C關于拋物線的對稱軸對稱，則對稱軸為x=-1，則點M的坐標可設為（-1，y），將其代入直線y=x+5中，可求得點M的坐標為（-1，4）。從而可設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4，將點C坐標代入可得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

（Ⅱ）分析∠MAB和∠ACB的大小關系，無法直接利用幾何性質(zhì)確定，可以引入正切函數(shù)，函數(shù)值大小與角大小正相關，與幾何角相關點的坐標均確定，構建直角三角形即可求得對應的正切值。

過點B作AC的垂線，垂足為點P，過點M作x軸的垂線，垂足為點N（如右圖所示）。根據(jù)拋物線的解析式可確定點A（-3，0），B（1，0），有∠MAB=∠MAN，在Rt△MAN中，根據(jù)點M、N、A的坐標可求得MN=4，AN=2，所以tan∠MAN=[MNAN]=2.根據(jù)點C和點A的坐標可知，CO=AO=3，所以∠CAO=45°，又知BP⊥AC，則△APB為等腰直角形，AB=4，則PA=PB=2[2].又知AC=3[2]，所以CP=[2]，在Rt△CPB中，tan∠PCB=[PBCP]=2.綜上可知，tan∠MAN=tan∠PCB，所以∠MAB=∠ACB.

【總結歸納】

上例的核心問題是第（2）問二次函數(shù)中分析幾何角的大小關系，該問題具有函數(shù)與幾何的雙重特征。從幾何角度來看，線段和角是組成平面圖形最為基本的元素，關于該問無非就是分析線段、角度的關系;從函數(shù)角度來看，角度可以視為直線相交所成的夾角，可與斜率相聯(lián)系。因此問題屬于二次函數(shù)與幾何角的綜合，兼具“數(shù)”與“形”的雙重特性，從數(shù)形視角分析，有三種解析思路：一是單純地進行角度推導;二是利用直線相交的斜率;三是數(shù)形結合，綜合幾何與函數(shù)特性進行對照分析。上述三種解析思路各有優(yōu)劣，適用于不同的問題情形，其中思路二的計算量較大，不提倡使用。綜上可知，對于角度關系問題可以采用如下解題策略：

1.如果推理確定所涉角為特殊的角，則可以直接計算出角的大小，分析角度的大小關系。

2.如果所涉角為一般角，可嘗試根據(jù)圖形的內(nèi)角關系、幾何性質(zhì)來推理角度的大小關系;對于其中的等角關系還可以借用三角形相似、全等三角形的性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)化分析。

3.幾何直接推導存在難度的情況下，可以嘗試采用數(shù)形結合的方式，利用幾何性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)化，借用三角函數(shù)、代數(shù)方程等知識間接推理角度的大小關系。

【拓展探究】

例1屬于二次函數(shù)中的等角分析問題，在實際考查時還?？寄嫦蛎}，考查等角存在下的幾何要素分析，下面結合實例探索思路構建策略。

例2：如右圖所示，拋物線解析式為y=[39]x2+bx+c，拋物線的頂點為M，與坐標的x軸相交于點A和點B，與坐標y軸相交于點C，其中點A（-3，0），C（0，3[3]）。另拋物線的對稱軸與x軸的交點為點E，與直線BC的交點為點F，試回答下列問題。

（Ⅰ）試求拋物線的解析式及頂點坐標;

（Ⅱ）連接AC，設點R位于y軸上，再連接AR，若AR剛好平分∠OAC，試求點R的坐標;

（Ⅲ）若點H位于拋物線上，當∠HCB=∠HBC，試求點H的坐標.

思路突破：（Ⅰ）求拋物線的解析式，與例1的解法一致，利用拋物線上A和C的坐標構建方程即可，可確定拋物線的解析式為y=-[39]x2+[233]x+3[3]，則頂點M的坐標為（3，4[3]）.

（Ⅱ）求點R的坐標，可將其坐標設為（0，r），又知AR平分∠OAC，可過點R作AC的垂線，垂足為點D，（如右圖所示），由角平分線的性質(zhì)可知DR=RO=r.同時可證△CDR[∽]△COA，由相似性質(zhì)可得[CRAC]=[DRAO]，由點坐標可知AO=3，CR=3[3]-r，根據(jù)勾股定理可知AC=[OA2+OC2]=6，所以有[33-r6]=[r3]，解得r=[3]，所以點R的坐標為（0，[3]）.

（Ⅲ）該問求幾何角相等時點H的坐標，∠HCB=∠HBC時△HCB就為等腰三角形，點H就必然位于BC的垂直平分線上，因此可結合斜率，從直線解析式角度來確定點H的坐標。

根據(jù)拋物線的解析式可求得點B（9，0），C（0，3[3]），設BC的中點為S，由點B和C可得S [92，332]，直線BC的斜率為kBC=[339]，HS⊥BC，所以直線HS的斜率為kHS=[3]，可求得直線HS的解析式為y=[3]x-3[3].點H就為拋物線與直線HS的交點，聯(lián)立兩者構建方程，可確定點H的坐標有兩個，且均滿足條件，分別為（6，3[3]）和（-9，-12[3]）.

評析：本題同樣為二次函數(shù)與幾何角的綜合題，其形式與例1有所不同，本題直接將“幾何角相等”作為條件，形成了點等角存在性的坐標探究題。但在解析突破時同樣采用數(shù)形結合的方法策略，首先從“形”的角度確定所求點位于直線的垂直平分線上，然后從“數(shù)”的角度確定垂直平分線所在直線的解析式，最后根據(jù)兩直線相交構建方程求點坐標。

【教學建議】

二次函數(shù)與角度問題是初中數(shù)學的典型問題，上述以等角為示例呈現(xiàn)了問題的兩種構建形式，并從數(shù)形結合角度對其突破思路進行了對比探究，引入的三角函數(shù)和直線斜率法是突破該類型問題常用的方法，具有一定的參考價值，下面提幾點建議。

一、把握問題重點，整合基礎知識

二次函數(shù)與角度問題是綜合性極強的問題，其中涉及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、幾何性質(zhì)、代數(shù)方程等內(nèi)容，問題突破需要把握重點，即函數(shù)與幾何的關聯(lián)——點坐標。點坐標是串聯(lián)函數(shù)性質(zhì)與幾何特性的橋梁，由點坐標可確定函數(shù)的解析式，同時可以推演其他幾何要素。在教學中需要依托函數(shù)與幾何的關聯(lián)，引導學生對兩者的基礎知識加以整合，深入剖析定義、性質(zhì)之間的關聯(lián)，構建相應的知識網(wǎng)絡，為后續(xù)綜合題的突破打牢基礎。

二、解法歸納探索，形成解題策略

上述結合實例對二次函數(shù)與角度問題的解法進行探討，形成“數(shù)”“形”角度解析問題的策略，實則是由函數(shù)內(nèi)容的雙重屬性決定的。對于函數(shù)與幾何問題，突破時提倡幾何視角分析曲線、直線的特性，然后從代數(shù)視角來構建相應的方程，逐步以“點”為突破口，深度剖析問題。在實際教學中，教師要引導學生掌握數(shù)形結合的解題方法，利用直觀的圖象剖析曲線特性，結合代數(shù)運算來精準求解，逐步形成數(shù)形結合的解題策略。

三、滲透數(shù)學思想，提升解題思維

二次函數(shù)與角度綜合題的突破過程中涉及眾多的數(shù)學思想，如模型構建思想、數(shù)形結合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等。正是在數(shù)學思想的指導下挖掘問題本質(zhì)，把握突破的關鍵點，構建相應的解題思路，因此，開展考題探究需要立足數(shù)學基礎，融合數(shù)學思想方法。教學中應引導學生關注解題的數(shù)學思想，掌握解析技巧，同時思想方法教學有利于發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

作者簡介：陳坤（1978— ），女，廣西玉林人，大學本科學歷，一級教師，主要從事初中數(shù)學教學與研究。

（責編 林 劍）