例析極限、特殊化思想在解題中的運用

高群安

(湖北省襄州一中 441104)

一、數(shù)學思想概要

特殊化思想 就是用特殊值、特殊點、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊方程、特殊圖形……去探求未知的題設(shè)結(jié)論，或驗證已給題設(shè)結(jié)論的正誤.錯誤的結(jié)論可當即否定，正確的結(jié)論則需要進一步的證明.

極限思想 就是用極限的概念、理論去分析問題和解決問題的一種重要的數(shù)學思想，它在探究、解決有關(guān)數(shù)學問題中有著非常廣泛的應(yīng)用.

極限思想、特殊化思想在歷年的高考中占有重要的地位. 運用極限、特殊化思想解決有關(guān)數(shù)學問題，可以迅速排除錯誤結(jié)論，縮小目標范圍，優(yōu)化解題過程，提高解題效率.

二、數(shù)學思想應(yīng)用舉例

特殊化思想是解決選擇題的一種常用的方法.然而，對一些解答題，若先用特值法探求結(jié)論，就能使我們的求解過程有明確的努力方向，提高解題的效率.極限思想是運動與靜止相互轉(zhuǎn)化的觀點在數(shù)學中的體現(xiàn)，如三角形可以看作是梯形上底趨向于零的極限情況；點可以看作是圓的半徑趨向于零的極限情況.

1.求值問題

例1拋物線y=-x2+bx+c的頂點坐標為(m,1),與x軸的兩交點為A、B，求|AB|的值.

分析取m=0，則拋物線方程為y=-x2+1，易得|AB|=2.

解法一把拋物線按向量(-m,0)平移后，頂點坐標為(m,1),此時拋物線方程為y=-x2+1,|AB|的長度不變，易得|AB|=2.

解法二∵拋物線y=-x2+bx+c的頂點坐標為(m,1)，所以拋物線方程可化為y=-(x-m)2+1,令y=-(x-m)2+1=0得x1=m-1,x2=m+1,|AB|=|x2-x1|=2.

由此猜想：原式的值是一個與x無關(guān)的常數(shù)2.題中根式過多，能否通過換元轉(zhuǎn)化，簡化求解過程呢？

圖1

A.1 B.2 C.3 D.4

解法一當點M與B重合時，N與C重合，此時m=n=1,m+n=2.故選B.

例4 如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°,四邊形ABCD的面積為8，則AC的長為____.

思路一(利用極限思想探求答案)當C→D時，AC→AD,四邊形ABCD→等腰直角三角形ABD.

圖2 圖3

思路二(利用特殊圖形探求答案)取滿足條件的正方形ABCD，則由AB2=8?AC2=2AB2=16?AC=4,由此猜想AC=4.

點評解答的關(guān)鍵是作輔助線由面積關(guān)系導(dǎo)出a(a+b)=8，再由勾股定理、整體代換求出AC=4.

不作輔助線能否求出AC呢？

2.參數(shù)范圍問題

例5(2015課標1·理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是____.

分析如圖4，四邊形ABCD中，BC=2,角A,B,C,D的大小確定，當D→A時，x遞增；D→C時，x遞減.

圖4 圖5

點評本題是運用正弦定理解三角形，求取值范圍問題.本解答抓住D點的動態(tài)變化，運用數(shù)形結(jié)合的思想、極限的思想，巧妙地解決了問題.

3.求單調(diào)區(qū)間

例6 已知偶函數(shù)f(x),當x∈(-∞,0]時單調(diào)遞減，求f(2x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析若取滿足條件的特殊函數(shù)f(x)=|x|,則f(2x-x2)=|x2-2x|.

畫出圖象，由圖可知，遞增區(qū)間為[0,1]和[2，+∞).

4.比較大小

例7 △ABC中，sin2A+sinB+sin2C>2，試判斷△ABC的形狀.

分析由對稱性不妨設(shè)A≤B≤C，試判斷△ABC的形狀實際上就是比較角C與直角的大小關(guān)系，取A=B=C=60°，則左邊=3×3/4=9/4>右邊，滿足條件；取A=B=45°，C=90°，則左邊=2，不滿足條件；取A=B=30°,C=120°,則左邊=5/4<2，不滿足條件.由此猜想△ABC為銳角三角形，因此問題轉(zhuǎn)化為證明最大角C<90°.

5.否定錯誤選項

A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

圖6

解析畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示.當a≤0時，在直線x+y=a上，x→-∞，y→+∞時，z=x+ay→-∞,z=x+ay無最小值，否定A、C、D.故選B.

點評本解答的關(guān)鍵是利用極限思想，結(jié)合圖形直觀.當a≤0時，目標函數(shù)z=x+ay沒有最小值，否定選項ACD.

6.不等式問題

A.(4,+∞) B.(-∞,-12)∪(4,+∞)

C.(-12,4) D.(-∞,-12)

如果是求解題，該怎么辦呢？

點評本題主要考查依據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)模型，解決不等問題的能力.

7.利用極限思想回避討論

點評按常規(guī)解答本題應(yīng)分直線l的斜率存在與不存在兩種情況討論，本解答巧妙地應(yīng)用了極限的思想：“k→∞時d→1”得斜率不存在的情況滿足條件，回避了分類討論，簡化了解答過程.

8.利用極限思想優(yōu)化解題過程

例11 (2012四川·文12) 已知設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,則a1+a2+…+a7=( ).

A.0 B.7 C.14 D.21

分析明知山有虎，偏向虎山行.若取{an}為常數(shù)列，則易得an=3，答案選D，但題設(shè)中{an}不是常數(shù)列呀！能否利用極限的思想和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)快速解答呢?

解f(x)是R上的連續(xù)函數(shù)，公差d→0時，an→a4,14=f(a1)+f(a2)+…+f(a7)→7f(a4)?f(a4)→2?(a4-3)3+a4-1=(a4-3)[(a4-3)2+1]+2→2?a4→3,∴a1+a2+…+a7→7a4→21.觀察答案，選D.

9.利用極限思想解決定值問題

若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

可見，極限特殊化思想，具有排除否定功能.在求解題中，具有探求導(dǎo)向作用，它給我們觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)提供了有力的依據(jù)，使我們的求解過程有明確的努力方向，從而增強目標意識，提高我們的思維水平和解題效率.