“平面與平面垂直的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

鄭娟 李芳娥

【摘 要】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。本節(jié)課主要通過(guò)兩個(gè)設(shè)計(jì)突破教學(xué)難點(diǎn)，突出教學(xué)重點(diǎn)。一是用“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)探究二面角的平面角的做法的合理性;二是通過(guò)動(dòng)手操作探究發(fā)現(xiàn)面面垂直的判定定理。

【關(guān)鍵詞】二面角;平面角;面面垂直;直觀想象;邏輯推理;數(shù)學(xué)抽象

一、教學(xué)內(nèi)容及其解析

本課時(shí)選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章第三節(jié)的第二課時(shí)，是空間垂直關(guān)系的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的考查熱點(diǎn)，是“類比”“轉(zhuǎn)化”思想的又一重要體現(xiàn)。

二、教學(xué)目標(biāo)及其解析

1.理解二面角和二面角的平面角的定義;掌握平面與平面垂直的判定定理;能應(yīng)用判定定理證明一些簡(jiǎn)單的面面垂直問(wèn)題。

2.感知面面垂直的現(xiàn)象，類比探究平面角的做法，討論并抽象判定定理;體會(huì)空間關(guān)系和平面關(guān)系的類比與轉(zhuǎn)化，提高空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和抽象概括能力。

3.感受數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);感受中國(guó)詩(shī)詞文化的魅力，滲透愛(ài)國(guó)主義教育。

三、學(xué)生學(xué)情分析

高中生思維活躍，參與意識(shí)、語(yǔ)言表達(dá)能力、自主探究能力較強(qiáng)，故采用啟發(fā)、探究和實(shí)驗(yàn)結(jié)合的教學(xué)方法。

四、教學(xué)策略分析

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)法、討論教學(xué)法、直觀演示法、講練結(jié)合法等。

教學(xué)媒體：投影儀、多媒體視頻、PPT課件、幾何畫板軟件、學(xué)案等。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，明確探究方向

朗誦詩(shī)人名作《茅屋為秋風(fēng)所破歌》，感受詩(shī)人憂國(guó)憂民的家國(guó)情懷，實(shí)現(xiàn)課堂德育目標(biāo)。通過(guò)多媒體展示“茅屋”與“大廈”兩個(gè)實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面與平面的位置關(guān)系，從而引入本節(jié)課題。

學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)聆聽(tīng)詩(shī)朗誦，感受詩(shī)人的家國(guó)情懷，回顧平面與平面的位置關(guān)系。

教師活動(dòng)：用詩(shī)朗誦對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，引導(dǎo)學(xué)生回顧平面與平面的位置關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：精選的詩(shī)作，既對(duì)學(xué)生滲透了愛(ài)國(guó)主義教育，同時(shí)達(dá)到復(fù)習(xí)回顧的效果。

（二）因勢(shì)利導(dǎo)，認(rèn)識(shí)二面角

1.二面角的相關(guān)概念和表示

借助多媒體課件展現(xiàn)實(shí)例圖片，實(shí)物圖形抽象成數(shù)學(xué)圖形并進(jìn)行展示;多媒體課件動(dòng)態(tài)演示平面內(nèi)的角和二面角的形成過(guò)程;引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比得出二面角的定義及其相關(guān)概念，教師補(bǔ)充二面角的畫法及其表示方法。

學(xué)生活動(dòng)：歸納二面角的要素，觀看視頻，概括二面角的定義。

教師活動(dòng)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生從經(jīng)典實(shí)例中抽象出幾何元素，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)二面角的直觀感知，鼓勵(lì)學(xué)生類比已有知識(shí)，概括定義，并適時(shí)給出二面角的圖形表示和符號(hào)表示。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示，降低了學(xué)生在概念抽象上的難度。通過(guò)類比遷移，使得概念的生成更加合理、自然。

2.二面角的平面角及其作法

怎樣做出一個(gè)平面內(nèi)的角來(lái)度量二面角的大小呢？對(duì)于這一問(wèn)題采用如下“問(wèn)題串”的方式進(jìn)行探究。

問(wèn)題1：我們常說(shuō)“把門開(kāi)大一些，把窗戶關(guān)小一些”，看來(lái)二面角是有大小的，我們?cè)撊绾慰坍嫸娼堑拇笮∧兀?/p>

問(wèn)題2：我們有過(guò)度量空間角的經(jīng)歷嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧已有知識(shí)，學(xué)生自然就會(huì)聯(lián)想到用“平面化”的思想，即用“平面角”來(lái)度量“二面角”。

問(wèn)題3：我們可以借助這樣的經(jīng)驗(yàn)，尋找一個(gè)能隨著二面角變化而變化的平面內(nèi)的角，那么這個(gè)平面內(nèi)的角的頂點(diǎn)，以及角的兩邊應(yīng)該選在什么位置合適呢？

問(wèn)題4：當(dāng)我們選擇某種方法度量一個(gè)量時(shí)，必須考慮到“唯一性”，在各種位置關(guān)系中，哪一種位置關(guān)系具有唯一性呢？

問(wèn)題5：那你能完整描述一下這個(gè)角的特點(diǎn)嗎？

教師適時(shí)補(bǔ)充，完成二面角的平面角的定義。

問(wèn)題6：這樣的平面角唯一嗎？

至此，二面角的平面角的探究全部完成。

問(wèn)題7：數(shù)學(xué)源于生活，我們教室內(nèi)就有很多的二面角，你能舉出一些例子嗎？

學(xué)生舉例，教師將重點(diǎn)放在學(xué)生所舉的直二面角的例子，類比得出面面垂直定義及表示。

學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題，分享成果。

教師活動(dòng)：以“問(wèn)題串”的形式，引導(dǎo)學(xué)生探究二面角的平面的作法，采用類比的方法得出面面垂直的定義。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)，問(wèn)題層層深入，思維逐步提升，使學(xué)生理解到數(shù)學(xué)定義、概念的形成并非憑空想象，而是科學(xué)的、合理的。

（三）承上啟下，開(kāi)啟定理發(fā)現(xiàn)之旅

例1：正方體ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的一個(gè)平面角。

（1）二面角D1-AB-D;（2）二面角A1-AD-C;（3）二面角A1-AC-B。

學(xué)生活動(dòng)：讀題、思考、回答，找出二面角的平面角。

教師活動(dòng)：出示問(wèn)題，提問(wèn)學(xué)生，及時(shí)做出鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題，學(xué)生能感受到定義法證明面面垂直的可操作性差，激發(fā)學(xué)生對(duì)探究判定定理的思考和期待。此時(shí)，教師順?biāo)浦郏涂梢詫⒄n堂學(xué)習(xí)再向前推進(jìn)一步，教學(xué)過(guò)程自然流暢。

（四）水到渠成，發(fā)現(xiàn)判定定理

1.探究面面垂直的判定定理

探究活動(dòng)：在文明城市創(chuàng)建活動(dòng)中，我市打算在文化廣場(chǎng)立一塊公益廣告牌，你能用所學(xué)知，幫助工人檢測(cè)所立的廣告牌與地面是否垂直嗎？

學(xué)生活動(dòng)：分組討論，提出方案，小組匯報(bào)，總結(jié)判定定理所需要的條件。

教師活動(dòng)：巡視各組活動(dòng)情況，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“選擇工具—說(shuō)明做法—解釋原理—總結(jié)結(jié)論”幾個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)討論，匯總學(xué)生成果并形成判定定理。

設(shè)計(jì)意圖：這一活動(dòng)的目的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。通過(guò)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、抽象概括能力、邏輯推理能力等核心素養(yǎng)。同時(shí)，精選的公益廣告牌也在無(wú)形中實(shí)現(xiàn)了立德樹(shù)人的德育目標(biāo)。

2.例題拓展，鞏固強(qiáng)化定理應(yīng)用

例2：如圖，AB是 O的直徑，PA垂直于 O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)。

（1）求證：平面PAC⊥平面ABC。

（2）求證：平面PAC⊥平面PBC。

學(xué)生活動(dòng)：思考，回答。

教師活動(dòng)：個(gè)別提問(wèn)，范例書寫，規(guī)范步驟。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)本題的范例書寫，規(guī)范步驟，達(dá)到本節(jié)課對(duì)“直觀想象”、“邏輯推理”等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。同時(shí)，例題的拓展，又實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)文化的滲透，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（五）學(xué)以致用，促進(jìn)知能提升

練習(xí)：在正方體中ABCD-A1B1C1D1，求證：平面ACC1A1⊥平面A1BD。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成。

教師活動(dòng)：投影展示學(xué)生作答情況，點(diǎn)評(píng)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)，深化了三種垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力核心素養(yǎng)。

（六）魚漁之得，綜述收獲體會(huì)

學(xué)生活動(dòng)：回憶，總結(jié)，作答。

教師活動(dòng)：?jiǎn)l(fā)，總結(jié)，點(diǎn)評(píng)，補(bǔ)充。

設(shè)計(jì)意圖：協(xié)助學(xué)生在完成本節(jié)學(xué)習(xí)后，將其收獲納入到已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生構(gòu)建空間位置關(guān)系的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和能力的全面提高。

六、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)

基礎(chǔ)題：完成教材第73頁(yè)習(xí)題2。3的A第3題、第4題。

提高題：結(jié)合學(xué)習(xí)過(guò)的空間平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理、空間垂直的判定定理，類比發(fā)現(xiàn)其他判定面面垂直的命題，給出你的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：分層作業(yè)的設(shè)計(jì)符合因材施教的理念，實(shí)現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展這一目標(biāo)。

專家點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課是在已有空間平行關(guān)系、直線與平面垂直的判定及性質(zhì)以及斜線與平面所成的角的認(rèn)知基礎(chǔ)上，對(duì)空間平面與平面位置關(guān)系的又一次探索。

作課人引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)實(shí)例，抽象出平面與平面的位置關(guān)系，引入自然，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn);在學(xué)生已有角的度量經(jīng)歷的基礎(chǔ)上，利用“問(wèn)題串”的生成二面角的平面角概念，突破學(xué)生對(duì)概念及空間問(wèn);通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，生成平面與平面垂直的判定定理。由具體到抽象，本節(jié)課的設(shè)計(jì)很好地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中對(duì)學(xué)生直觀想象及數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)。同時(shí)精選的公益廣告牌也實(shí)現(xiàn)了課堂的德育功能，是一節(jié)符合現(xiàn)代教學(xué)理念的優(yōu)質(zhì)課。