精心設(shè)計(jì) 精準(zhǔn)定位
——以“正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)為例

王德軍

(南京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)，211900)

教學(xué)設(shè)計(jì)的精準(zhǔn)定位是衡量一節(jié)課優(yōu)劣的重要指標(biāo).圍繞教材,基于學(xué)情,瞄準(zhǔn)核心素養(yǎng)展開設(shè)計(jì),有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),打造高效課堂,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力．本文結(jié)合“正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一節(jié)課的兩種教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施過程談?wù)勔恍┫敕?

一、教學(xué)實(shí)錄一

1.引入

師:前面我們學(xué)習(xí)了正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),今天我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)．結(jié)合已學(xué)知識(shí),對(duì)于正切函數(shù)我們知道了什么?

師:還有其他我們已知的嗎?

生:周期和奇偶性.

師:如何得到上述結(jié)論?

生:由誘導(dǎo)公式 tan(-x)=-tanx及tan(π+x)=tanx.

2.探究

問題1如何作正切函數(shù)的圖象?(學(xué)生思考并相互討論,給定足夠時(shí)間)

生:用“五點(diǎn)法”作圖來完成.

師:五點(diǎn)作圖是在完全作出完整圖象的情況下總結(jié)出來的近似畫法,面對(duì)一個(gè)新函數(shù),顯然“五點(diǎn)法”是不適合的.

生:利用描點(diǎn).

師:我們可以將作圖的作法總結(jié)如下,一般作圖可分為代數(shù)描點(diǎn)和幾何描點(diǎn),前者粗略,后者作圖較為準(zhǔn)確.

追問1:確定了作法,請(qǐng)類比正弦函數(shù)圖象作法,將分幾步完成.

生:第一步:先作一個(gè)周期內(nèi)圖象;第二步:再將一個(gè)周期內(nèi)圖象向左向右平移拓展到整個(gè)定義域中.

追問2:先作哪個(gè)區(qū)間內(nèi)的圖象?

生:[0,π].

師:還有其他方案嗎?

追問3:哪種方案最佳?

3.結(jié)論

通過幾何畫板作出正切函數(shù)圖象,請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合正切函數(shù)圖象探討未知的性質(zhì).

師:有無不同意見?(思考片刻,沒有任何反應(yīng),老師引導(dǎo),學(xué)生觀察在定義域中被挖去的點(diǎn)與圖象之間存在什么關(guān)系?)

師:好的,通過圖象我們將正切函數(shù)的基本性質(zhì)已經(jīng)歸納出來了.

問題2函數(shù)y=tanx在定義域上是單調(diào)函數(shù)嗎?

生:當(dāng)x1=0,x2=π時(shí),由于x1

4.應(yīng)用

(由學(xué)生講思考過程,老師板書)

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想將有關(guān)正切函數(shù)的復(fù)雜形式通過整體法轉(zhuǎn)化為正切函數(shù),利用其性質(zhì)解決問題.

例2比較大小

(1)tan 167°,tan 173° ；

設(shè)計(jì)意圖正切值的大小比較．我們一般首選函數(shù)的單調(diào)性來完成,遇見復(fù)雜的角,我們通常利用正切函數(shù)的周期來化簡，并將其統(tǒng)一到一個(gè)單調(diào)區(qū)間,完成大小比較.

5.小結(jié)

本節(jié)課你有何收獲?

知識(shí)層面：(1)正切函數(shù)圖象的畫法;(2)正切函數(shù)的性質(zhì);(3)正切函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：類比、數(shù)形結(jié)合思想的滲透.

二、教學(xué)實(shí)錄二

1.回顧復(fù)習(xí),引入新課

所有同學(xué)一起口答填表,復(fù)習(xí)正、余弦函數(shù)的性質(zhì):圖象、定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期及對(duì)稱性.

生:由圖象歸納而來.

討論1：研究正、余弦函數(shù)圖象的方法是什么?

學(xué)生討論后得出方法有畫單位圓，五點(diǎn)作圖法，平移正弦線等.

師:結(jié)合大家的想法,我們一起回顧正弦函數(shù)的圖象的作法.

(1) 確定一個(gè)周期,分成若干等分；

(2) 利用單位圓,平移正弦線；

(3) 用光滑的曲線將正弦線的端點(diǎn)順次連接.

討論2:我們今天研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),如何來作正切函數(shù)圖象?

通過研討,很快有部分學(xué)生給出答案:類比正、余弦函數(shù)的圖象作法.

2.學(xué)生探究,解決問題

問題1y=tanx的最小正周期是不是2π?

生:周期是π,因?yàn)閠an(π+x)=tanx.

師:你會(huì)論證嗎?(思考片刻無人作出反應(yīng),由老師引導(dǎo)給出證明)

=tanx，

∴正切函數(shù)y=tanx的最小正周期是π.

問題2研究哪個(gè)周期上的圖象比較好呢?

同學(xué)們拿出紙,先獨(dú)立畫函數(shù)圖象．稍等片刻,老師找出幾份代表性的作業(yè)進(jìn)行投影,暴露一些典型的錯(cuò)誤(有的沒有畫出漸近線；有的圖象在一個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)……).教師利用多媒體,展示標(biāo)準(zhǔn)的作圖過程.

追問1:由正切函數(shù)的圖象,我們可以得到哪些性質(zhì)?

眾生:(1)定義域；(2)值域；(3)奇偶性；(4)周期性；(5)單調(diào)性；(6)對(duì)稱性.

生:不可以,因?yàn)閳D象不連續(xù).

師:對(duì)！我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)每一個(gè)區(qū)間上函數(shù)保持單調(diào)遞增.

追問3:對(duì)稱中心為(kπ,0)(k∈Z)，對(duì)嗎?

3.學(xué)以致用,主動(dòng)出擊

師:根據(jù)性質(zhì),你可以提出哪些問題?(由學(xué)生討論共同得到如下問題)

(2)函數(shù)y=tan 2x的周期；

4.總結(jié)思考,提高能力

(1)正切函數(shù)的圖象作法;

(2)正切函數(shù)的性質(zhì)；

(3)正切函數(shù)的應(yīng)用；

(4)感受數(shù)形結(jié)合思想和整體法的應(yīng)用.

三、兩種教學(xué)設(shè)計(jì)的比較和思考

1.兩種設(shè)計(jì)的異同點(diǎn)

這兩種設(shè)計(jì)的共同點(diǎn)都是基于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備,在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)來設(shè)計(jì)問題；問題的設(shè)計(jì)突出了教學(xué)重點(diǎn),能充分挖掘?qū)W生潛能,調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究的積極性,生生互動(dòng),師生互動(dòng)較好；學(xué)生圍繞問題展開思考、討論,教師針對(duì)教學(xué)難點(diǎn)設(shè)計(jì)了一系列追問,并在學(xué)生反饋的基礎(chǔ)之上加以引導(dǎo)和點(diǎn)評(píng),使得本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在無形之中得以化解．總體上,這兩種設(shè)計(jì)都是有效的．比較來看,也有各自獨(dú)特的地方．第一種設(shè)計(jì)思路是先由前面的知識(shí)推導(dǎo)出正切函數(shù)的部分性質(zhì),以已掌握的部分性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究正切函數(shù)的圖象,接著再解決未知的性質(zhì),體現(xiàn)了由性質(zhì)——圖象——性質(zhì)的流程,整個(gè)設(shè)計(jì)貫穿了一條由數(shù)——形——數(shù)的思維過程．第二種設(shè)計(jì)思路是由函數(shù)的圖象到性質(zhì),整節(jié)課圍繞如何作圖,在反饋、示范以及規(guī)范作圖方面處理細(xì)致入微,使得課堂重心前移,后面正切函數(shù)的應(yīng)用沒有得到充分展開.

2..根據(jù)教材的編寫意圖來審視本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

通過研究教材我們發(fā)現(xiàn),正切函數(shù)的學(xué)習(xí)是放在正、余弦函數(shù)之后,前面的知識(shí)和研究方法為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了經(jīng)驗(yàn)．利用三角函數(shù)線作正切函數(shù)圖象是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn),大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)了解該方法,本節(jié)課不必大動(dòng)干戈.幾何作圖的方法和流程設(shè)計(jì)上可以淡化,不應(yīng)成為本節(jié)課的重心,第二種設(shè)計(jì)顯然已經(jīng)偏離了教材的意圖．第一種設(shè)計(jì)沒有必要就描點(diǎn)作圖設(shè)計(jì)過細(xì),總結(jié)過多,糾纏不清,影響了后面時(shí)間分配,導(dǎo)致整節(jié)課前松后緊.

3.基于學(xué)情來考量兩節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

如果將教學(xué)的設(shè)計(jì)思路發(fā)散一下,我們大體上可用三類方式展開．一類是研究函數(shù)的一般思路,由圖象到性質(zhì)，再到應(yīng)用；第二類是由性質(zhì)到圖象，再到性質(zhì)；第三類是由性質(zhì)到圖象．比較而言,第一種方式雖然是教材的一廂情愿,但畢竟正切函數(shù)的圖象不同于正、余弦函數(shù),對(duì)學(xué)生來說,正切函數(shù)圖象的作法是有難度的,一開始就作圖,顯得生硬,摸不著頭腦．第三類設(shè)計(jì)方式,老師需要先引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出性質(zhì),尤其正切函數(shù)的單調(diào)性值域需要用到正切函數(shù)線來探求,對(duì)學(xué)生的能力要求較高,一般要慎用此種設(shè)計(jì)．第二類設(shè)計(jì)先推導(dǎo)出部分簡單性質(zhì),這樣為作圖提供知識(shí)基礎(chǔ),化解了作圖的難度,作好圖象后再利用圖象討論性質(zhì),使得對(duì)性質(zhì)的理解升華．這種設(shè)計(jì)既貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),又自然,學(xué)生的參與度高,體驗(yàn)深,效果好.