數(shù)學(xué)大概念視角下的單元教學(xué)設(shè)計(jì)*
——以“向量的概念及其運(yùn)算”為例

劉國(guó)祥 姚為榮

(江蘇省宜興中學(xué)，214200)

所謂學(xué)科大概念是指向?qū)W科核心內(nèi)容和教學(xué)核心任務(wù)、反映學(xué)科本質(zhì)、能將學(xué)科關(guān)鍵思想和相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)的關(guān)鍵的特殊的概念[1].本文以“向量的概念及其運(yùn)算”為例,談?wù)劥蟾拍钜暯窍聠卧脑O(shè)計(jì)與教學(xué),供參考.

一、立足要素分析,建構(gòu)大概念

1.課標(biāo)分析

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，高中階段學(xué)習(xí)向量就是以平面幾何基本定理為基礎(chǔ),在建立向量概念、向量的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上,利用向量表示幾何圖形及基本關(guān)系,通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì)．向量的研究路徑為:背景引入(物理背景)→向量的概念與表示(符號(hào)與表示)→向量的運(yùn)算與運(yùn)算律→向量基本定理及坐標(biāo)表示→用向量方法解決問(wèn)題.

2.教材重組

比較人教版教材,對(duì)蘇教版向量部分教材從知識(shí)發(fā)生、發(fā)展視角作適當(dāng)調(diào)整,整合為兩個(gè)主題單元:

第一單元:平面向量的概念與運(yùn)算.內(nèi)容:向量的概念,向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算法則及幾何意義．將原教材中向量夾角提前至向量概念中,將向量數(shù)量積提前至向量線性運(yùn)算中,有利于凸顯單元的整體思想.

第二單元:向量基本定理及坐標(biāo)表示.內(nèi)容為平面向量基本定理及意義,用坐標(biāo)表達(dá)向量運(yùn)算,利用坐標(biāo)處理幾何問(wèn)題.

3. 學(xué)情分析

要讓學(xué)生達(dá)成共同的課程目標(biāo),學(xué)情分析是關(guān)鍵． 分析學(xué)生知識(shí)、能力的起點(diǎn),特別是學(xué)生的思維障礙及突破思維障礙對(duì)策,在學(xué)生的已有知識(shí)與未知知識(shí)之間搭建思維支架,讓教學(xué)貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”(如表1).

表1：概念認(rèn)知障礙及其對(duì)策

4.單元概念層次分析及大概念的建構(gòu)

在課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析基礎(chǔ)上,將向量的概念及運(yùn)算的單元概念分層次構(gòu)成一個(gè)金字塔(如圖1)來(lái)進(jìn)行分析.

塔尖是大概念:向量法．向量的工具性體現(xiàn)在利用向量來(lái)解決問(wèn)題,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將幾何圖形及其關(guān)系向量化,通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題.發(fā)展向量化觀念是向量學(xué)習(xí)重點(diǎn).

中層是核心概念:核心概念反映的是學(xué)科的主要觀點(diǎn)和思維方式.這里的核心概念包括類比與概括．類比是一切創(chuàng)造發(fā)明的源泉;概念教學(xué)的核心是“概括”:將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)打開(kāi),經(jīng)歷以典型事例為載體,分析事例的屬性,抽象概括出共同本質(zhì)屬性,歸納得出數(shù)學(xué)概念,向量概念及運(yùn)算教學(xué)都經(jīng)歷類比與概括的思維過(guò)程.

重要概念:重要概念是知識(shí)結(jié)構(gòu)的骨架和主干，這里的重要概念是向量,是研究向量運(yùn)算性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn).

塔基則是基礎(chǔ)概念:向量四種運(yùn)算法則,構(gòu)成向量理論的基石，由此可建立知識(shí)間的縱橫聯(lián)系.

二、確定學(xué)習(xí)目標(biāo),發(fā)展大概念

傳統(tǒng)單元學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)以知識(shí)與技能為框架 , 以了解 、 理解 、 掌握等為達(dá)到知識(shí)水平層次的行為動(dòng)詞, 目標(biāo)是否達(dá)成無(wú)法為測(cè)量提供證據(jù). 在大概念理念下設(shè)計(jì)概念學(xué)習(xí)目標(biāo)可分為三個(gè)層面:在知識(shí)層面上“知道”;從思維層面上“理解”; 從技能層面上“做”. 例如“向量的概念及其運(yùn)算”單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)計(jì)(如表2).

表2：?jiǎn)卧獙W(xué)習(xí)目標(biāo)

三、設(shè)計(jì)教學(xué)流程,實(shí)施大概念

本單元教學(xué)流程設(shè)計(jì)為:一是情境與任務(wù)．設(shè)計(jì)真實(shí)的情境,情境可以是與學(xué)生生活實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題,也可以是學(xué)生熟悉的跨學(xué)科情境,情境能引發(fā)認(rèn)知沖突,從情境中提煉出與課題相關(guān)任務(wù);二是問(wèn)題驅(qū)動(dòng),設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng);三是設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù),促進(jìn)知識(shí)遷移.

1.創(chuàng)設(shè)情境,引發(fā)任務(wù)

在向量概念的教學(xué)中，需要按照概念發(fā)展邏輯設(shè)置認(rèn)知性問(wèn)題,按照學(xué)生思維發(fā)展邏輯設(shè)置情境,通過(guò)類比引發(fā)任務(wù)(見(jiàn)表3).

表3：認(rèn)知性問(wèn)題及任務(wù)

2.設(shè)置關(guān)鍵問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)概念進(jìn)階

問(wèn)題是課堂教學(xué)的重要思維載體,以關(guān)鍵問(wèn)題驅(qū)動(dòng)概念教學(xué),可以讓學(xué)生超越知識(shí)與技能層面,進(jìn)入思維層面,讓思維在“問(wèn)題鏈”中“淺入深出”．本單元關(guān)鍵問(wèn)題的設(shè)計(jì)如下：

(1)向量的概括

①你能舉出既有大小又有方向量？哪些只有大小，沒(méi)有方向的量？如何理解自由向量？(建構(gòu)向量的定義)②結(jié)合線段、有向線段表示，如何表示向量？(建構(gòu)向量表示)③類比實(shí)數(shù)集中特殊元素，從向量長(zhǎng)度視角來(lái)看有哪些特殊向量？(建構(gòu)單位向量、零向量)④類比線段平行，從方向角度來(lái)看有哪些特殊向量？(建構(gòu)平行向量、相等向量，相反向量)⑤類比線段相交，向量夾角如何定義？范圍如何確定？(建構(gòu)向量夾角)

(2)向量的加法、減法、數(shù)乘

①類比位移的合成，作向量的和(建構(gòu)三角形法則)；類比力的分解，作向量的和(建構(gòu)平行四邊形法則).②用作圖法證明向量加法的交換律(建構(gòu)作圖法證明結(jié)論).③類比實(shí)數(shù)減法法則，思考如何定義向量減法(建構(gòu)向量減法).④思考如何定義向量λa的方向與長(zhǎng)度(建構(gòu)數(shù)乘).⑤分析向量λa與a的關(guān)系(建構(gòu)向量共線定理).

(3)平面向量的數(shù)量積

①類比物理中功抽象出向量的數(shù)量積(建構(gòu)數(shù)量積定義).②分析數(shù)量積與數(shù)乘向量的區(qū)別與聯(lián)系(比較中凸顯問(wèn)題的本質(zhì)).③數(shù)量積運(yùn)算幾何意義(建構(gòu)向量的投影概念).④探究數(shù)量積的交換律、結(jié)合律、分配律、消去律(建構(gòu)運(yùn)算性質(zhì)，強(qiáng)化概念理解).

3.設(shè)置評(píng)價(jià)任務(wù),促進(jìn)遷移應(yīng)用

大概念體現(xiàn)的是學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解,學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)重點(diǎn)是在評(píng)價(jià)中將知識(shí)遷移到新情境中解決問(wèn)題.評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)要著力考慮以下因素:一是本任務(wù)是否為學(xué)生高層次思考?二是本任務(wù)是否聯(lián)系到概念?三是該任務(wù)是否體現(xiàn)本單元關(guān)鍵技能?四是本任務(wù)是否解決真實(shí)情境中問(wèn)題.

四、運(yùn)用教學(xué)反思，鞏固大概念

1.立足要素分析

進(jìn)行課標(biāo)分析,構(gòu)建研究路徑,重在價(jià)值引領(lǐng);做好教材分析,特別是不同版本比較分析,重點(diǎn)研究知識(shí)聯(lián)系,按照知識(shí)發(fā)展順序構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)圖譜;從學(xué)情出發(fā),分析學(xué)生認(rèn)知障礙,尋求新概念的固著點(diǎn),搭建思維支架,在已知與未知之間架設(shè)橋梁,構(gòu)建思維主線．大概念重點(diǎn)體現(xiàn)在通過(guò)本單元學(xué)習(xí)留給學(xué)生的觀念,如本單元向量法是解決問(wèn)題的重要工具,有廣泛應(yīng)用;核心概念是思維主線,貫穿每一節(jié)課;重要概念是處于概念核心位置,是引發(fā)其他概念的出發(fā)點(diǎn);從大概念出發(fā),將重要概念、基礎(chǔ)概念連接成統(tǒng)一整體,形成穩(wěn)定的知識(shí)、方法結(jié)構(gòu),促進(jìn)知識(shí)遷移.

2. 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

單元學(xué)習(xí)目標(biāo)有清晰指向:發(fā)展學(xué)生的大概念,如本案例發(fā)展學(xué)生向量法思想．在大概念視角下單元學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)要求:一是課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析是設(shè)計(jì)的依據(jù);二是站在學(xué)生立場(chǎng)和角度考慮,對(duì)學(xué)生達(dá)到程度描述;三是學(xué)習(xí)目標(biāo)要清晰,在課堂教學(xué)中可以測(cè)量、可以評(píng)估學(xué)生達(dá)到水平層次．從知識(shí)、思維、技能三個(gè)層面設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo),能知道事實(shí)性知識(shí),重點(diǎn)是記憶知識(shí);能理解知識(shí)背后的思維方法,重在知識(shí)理解;能將知識(shí)用到新情境中去解決問(wèn)題,重點(diǎn)在知識(shí)遷移.

3.完善教學(xué)流程

大概念教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷從真實(shí)情境提出問(wèn)題、建構(gòu)理論、解決問(wèn)題的閉環(huán)過(guò)程,讓學(xué)生感覺(jué)知識(shí)意義及價(jià)值．教學(xué)流程設(shè)計(jì)圍繞四個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題(情境、任務(wù)、核心問(wèn)題、教學(xué)評(píng)價(jià))來(lái)展開(kāi)．設(shè)計(jì)一個(gè)真實(shí)的、有趣的、與實(shí)際生活緊密聯(lián)系的情境,讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)入情境,情境能與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái),促進(jìn)數(shù)學(xué)任務(wù)的完成,同時(shí)又為學(xué)生推理、意義建構(gòu)提供機(jī)會(huì);用數(shù)學(xué)的眼光觀察情境,探究出“方向性”問(wèn)題,將問(wèn)題整合形成與課題相關(guān)的任務(wù),任務(wù)為學(xué)生創(chuàng)造性思考提供氛圍;將任務(wù)分解成幾個(gè)探究性核心問(wèn)題,在核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng),經(jīng)歷概念概括的探索性過(guò)程,幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題;圍繞與課題相關(guān)的新的情境設(shè)置評(píng)價(jià)任務(wù),重點(diǎn)評(píng)價(jià)知識(shí)遷移與應(yīng)用,經(jīng)歷概念從提出、建構(gòu)、應(yīng)用的完整過(guò)程,幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題,提高核心素養(yǎng).

總之，核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)大概念，反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的主要觀點(diǎn)和思維方式，構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科的骨架和主干，是數(shù)學(xué)思想的載體.利用大概念，可以建立起不同知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，將零散的知識(shí)整合，使知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與方法的有效遷移，促進(jìn)知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化.圍繞大概念進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，可幫助我們從數(shù)學(xué)目標(biāo)出發(fā)，將數(shù)學(xué)活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)放到單元教學(xué)大系統(tǒng)中去考量，突出教學(xué)內(nèi)容主線與知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)提高教學(xué)效果是十分有益的.