一個常用不等式引發(fā)的思考

朱陽帆

(江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)，212200)

一、問題的提出

筆者在高三二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中,遇到這樣一道題目:

證明過程如下:

二、尋根溯源

一道看上去并不算難的題目，并且是教師預(yù)料正確率應(yīng)該較高、但批閱結(jié)果卻不盡如人意,一定不能責(zé)怪學(xué)生,而是要和學(xué)生深入交流，查找原因,反思自己的教學(xué)哪里需要注意.

1.問學(xué)生

首先，學(xué)生是解題的操作體驗者,筆者通過課后交流發(fā)現(xiàn),學(xué)生之所以想不到,或者不會做，主要存在以下三個問題:(1)如果是單純的不等式問題,以分式結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)會想到,但是本題受到了數(shù)列背景的干擾；(2)部分學(xué)生看到數(shù)列,構(gòu)造放縮不等式時沒想到直接用,想復(fù)雜了；(3)一輪的時候復(fù)習(xí)過這個不等式,但是練習(xí)不多,忘了.

2.查資料

俗話說:“給學(xué)生一碗水,自己要有一桶水”.對于一個知識點,教師自己掌握了多少數(shù)學(xué)思想,對它有多少見解,應(yīng)該怎樣處理等,和自身對此知識點的掌握深淺有關(guān)．為了找到自己教學(xué)不足的原因且對這個不等式有更深的認(rèn)識,筆者查閱了關(guān)于此不等式的一些資料.

(1)這個不等式問題編入了人教版各種不同時期的教材.

舊教材過渡教材新課標(biāo)教材 高中中學(xué)課本代數(shù)下冊高級中學(xué)教科書第二冊(上)高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書選修4-5

此不等式從不同知識層次、不同的思維角度,可以得到不同的證法:

(2)從學(xué)段角度來看

初中高中大學(xué) 構(gòu)造三角形或矩形,用相似三角形或矩形面積知識證明用函數(shù)或直線、橢圓、雙曲線或正弦定理等知識證明定積分知識證明

(3)從數(shù)學(xué)模塊角度來看

代數(shù)幾何解析幾何三角微積分 函數(shù)不等式三角形、矩形直線、橢圓、雙曲線、正弦定理定積分

(4)從數(shù)學(xué)證明方法角度來看

直接法間接法 比較法、分析法、綜合法、換元法反證法

(5)從變式推廣來看,此題的結(jié)論以及變式可以在多種題型情形下應(yīng)用,在此不一一舉例.

筆者查閱資料后發(fā)現(xiàn)這個不等式與中學(xué)階段的許多定理和知識模塊都相關(guān).例如，用正弦定理、雙曲線等知識證明此不等式是自己以前不熟悉的,這大大影響了自己對于此不等式的教學(xué).

3.作比較

筆者把這道題目在備課組會議上提出來討論,發(fā)現(xiàn)有些班級正確率和自己的班級差不多,有的班好一些,做出來的大部分學(xué)生都是用的不等式放縮．詢問同事平時是怎么講授這個不等式的,和自己對于這個不等式的教學(xué)有哪些異同．發(fā)現(xiàn)那個同事在講正弦定理和利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時,都用過此不等式的證明作為例題.相比而言,筆者嘴上強(qiáng)調(diào)實則平時重視程度不夠.

三、教學(xué)反思

通過尋根溯源,筆者反思自己在講授這個不等式以及自己的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)有以下不足之處.

1.對知識點的理解

對于此知識點,筆者了解得比較片面,雖然口口聲聲說這個不等式多么重要,多么經(jīng)典,多么實用,其實對它的認(rèn)識講解只存在于一些特定題型的解決,而對它的本質(zhì),它所涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)部知識點的聯(lián)系,并未能深入研究,所以那怕再怎么在課堂上強(qiáng)調(diào),學(xué)生其實也就記得講的哪幾種題型背景,不會聯(lián)想遷移,更升華不到數(shù)學(xué)思想方法層面．這要求以后加強(qiáng)對業(yè)務(wù)的學(xué)習(xí)．因此在以后的教學(xué)活動中,課后要多搜集一些教學(xué)中所遇到的經(jīng)典的不等式,方程,以及例題等,不僅僅是它們的證明,在哪些題目的處理上可以用到,還要了解它們在教材中的地位,在中學(xué)數(shù)學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)各模塊體系中的應(yīng)用,證明方法所涉及的數(shù)學(xué)思想等,這樣才能使自己的教學(xué)游刃有余.

2.對學(xué)情的把握

雖然這道題目錯誤率高，筆者首先想到的是自己教法的原因,但是凡是認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該都會，實則沒幾個做對的現(xiàn)象出現(xiàn)在自己的教學(xué)過程中，其實就是自己對學(xué)情的錯估,也是對自己教學(xué)方法的盲目認(rèn)可.分析這道題目,背景簡單,想到用放縮處理也不難,但是兩者結(jié)合,學(xué)生拿到手立刻想到用固定的不等式模型就不容易了．作業(yè)的評價方式不只是批閱題目的對與錯,還要和學(xué)生進(jìn)行交流,詢問錯因,特別是對于錯誤率高的簡單題,一定要傾聽學(xué)生的聲音,為什么解錯了,那時候是怎么想的，等等.這樣也是積累教學(xué)經(jīng)驗的一種手段.

3.與同事的交流

筆者往往和同事交流取經(jīng)都是在教學(xué)過程中所遇到的難題、關(guān)鍵題的講解,而對于簡單的學(xué)生易錯的題型卻很少探討、交流.其實，對于簡單易錯題也是非常值得拿出來探討的,但是往往很多同行被忽略了．每次大考后統(tǒng)計試卷各班各小題的均分,總有班級在個別題型中遙遙領(lǐng)先其他班級,每個班級都有自己的“拿手項目”.每個題目均分高背后都有著深層次的原因,和同事的教學(xué)方法、教學(xué)理念肯定是有關(guān)的.一定要具體題目具體分析比較,向每位同事學(xué)習(xí),取長補(bǔ)短.