巧用阿氏圓解距離和差的最值問題

李慧華 張艷宗

(浙江省海鹽縣元濟(jì)高級中學(xué)，314300)

我們知道,在高考的復(fù)習(xí)過程中,我們經(jīng)常會碰到有關(guān)阿波羅尼斯圓的問題.如果條件中直接給出阿氏圓的定義式,相信大多數(shù)學(xué)生是能很快發(fā)現(xiàn)此圓的,從而解決問題.但是如果條件中阿氏圓比較含蓄,則可能此題的難度就大大增加,讓很多學(xué)生束手無策.

此類問題,大部分人可能會運(yùn)用設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)的方式,再通過一定的代數(shù)變形來解決:

突破方法2構(gòu)造完成后，根據(jù)構(gòu)造函數(shù)和題目中出現(xiàn)的自變量值進(jìn)行代入嘗試，題目中看起來“莫名其妙”的代數(shù)式自然就找到了對應(yīng)的函數(shù)值.

例3已知f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)<-xf′(x),則不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是( )

(A)(0,1) (B)(1,+∞)

(C)(1,2) (D)(2,+∞)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x),則g′(x)<0,所以g(x)為(0,+∞)上減函數(shù),觀察自變量為x+1及x2-1,則構(gòu)造的不等式為(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),此時(shí)需兩側(cè)同時(shí)乘以因式(x+1),考慮定義域,解決符號問題,則將不等式轉(zhuǎn)化成為g(x+1)>g(x2-1),問題解決.

構(gòu)造法解決抽象函數(shù)不等式的過程關(guān)鍵在于構(gòu)造,構(gòu)造的過程類似于積分求原函數(shù)的過程,既要滿足條件,又要能完成單調(diào)性的判斷.所以在解決本類問題時(shí)應(yīng)熟練掌握常見函數(shù)及其四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù),能迅速找到還原信息,并能抓住題目給定條件或待求式的自變量特征,將其與構(gòu)造函數(shù)關(guān)聯(lián),從而完成問題求解.

此時(shí)點(diǎn)P為線段CD與圓C的交點(diǎn).

這里還有幾個(gè)結(jié)論:

(1)圓心與兩定點(diǎn)共線;

(2)短線段對應(yīng)的定點(diǎn)在圓內(nèi),長線段對應(yīng)的定點(diǎn)在圓外.

這樣,我們就可以借助動(dòng)點(diǎn)P所在的定圓方程,利用待定系數(shù)法反解出定點(diǎn)E的坐標(biāo),從而將帶有一定技巧性的代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)計(jì)算.

很顯然,相對來說,利用阿波羅尼斯圓找出定點(diǎn)E的坐標(biāo)更加快捷、方便.

下面我們用此法再來看一道題.

解如圖2，由于圓心C(1,0),故直線CA方程為:y=3x-3.

即x2+y2+(4-4t)x+(18-12t)y+2t2+2(3t-3)2-13=0.

在高考綜合復(fù)習(xí)中,我們經(jīng)常會碰到以圓為背景的向量問題．當(dāng)我們建系后發(fā)現(xiàn)問題可轉(zhuǎn)化為求解有關(guān)距離問題的,就可以嘗試用此法解決.

有關(guān)阿波羅尼斯圓的試題雖然不常出現(xiàn),但是一旦出現(xiàn)了,如果我們能選擇合適的方法,會讓我們的解題事半功倍.