探索隱性軌跡，突出解題層次感

朱亮亮

[摘? 要] 解析幾何試題因條件繁多、計(jì)算復(fù)雜而成為各類考試的分水嶺，文章對(duì)非明確指出求軌跡方程的"隱性"考查進(jìn)行探索，突出解題層次感，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.

[關(guān)鍵詞] 隱性軌跡;隱性圓;層次

引例：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-4，0），B（0，4），從直線AB上一點(diǎn)P向圓x2+y2=4引兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，則線段AM長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______.

通過(guò)適當(dāng)分析，部分學(xué)生可得到以下思路：

①A為定點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn);②尋找M的來(lái)源，得到點(diǎn)M因點(diǎn)P“動(dòng)”而“動(dòng)”;③設(shè)點(diǎn)P（a，a+4），通過(guò)兩直線PO與CD（關(guān)于a的形式）得交點(diǎn)M（關(guān)于a的形式）;④建立AM關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，即AM=f（a），求函數(shù)f（a）的最大值即可.

到現(xiàn)在為止，本題似乎很平淡，“數(shù)”的特性也很突出. 但是如果此時(shí)我們將點(diǎn)M看成是某個(gè)軌跡，就可以利用“形”這個(gè)幾何意義來(lái)解決AM了，當(dāng)然我們希望這個(gè)軌跡是我們熟悉的.不妨一試，如圖1.

設(shè)點(diǎn)P（a，a+4），易得lOP：（a+4）x-ay=0，lCD：ax+（a+4）y-4=0.

（關(guān)于直線CD的方程，大家可以試著構(gòu)造一些熟悉的軌跡，而求得，此處略過(guò).）

聯(lián)立方程組（a+4）x-ay=0，ax+（a+4）y-4=0.接下來(lái)是解出點(diǎn)M還是得到軌跡方程，這是個(gè)問(wèn)題！我們?cè)囍鴣?lái)消a看看能得到什么，x+■■+y-■■=■，原來(lái)點(diǎn)M的軌跡是我們非常熟悉的圓！從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，只是因?yàn)橐粋€(gè)熟悉的圓方程，思維上的突破是關(guān)鍵.

事實(shí)上，從表面上看求解過(guò)程似乎與求軌跡方程一點(diǎn)關(guān)系都沒(méi)有，但稍加辨識(shí)，我們把一些“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“形”的問(wèn)題，便能化繁為簡(jiǎn)地解決類似問(wèn)題. 這類問(wèn)題具有一定的隱蔽性，解題方向不易把握，有時(shí)解題會(huì)陷入困境.

本文試圖通過(guò)近年來(lái)在各大?？己透呖贾谐霈F(xiàn)的類似題型來(lái)探討解題過(guò)程中如何合理尋找隱性軌跡，并突出解決此類題的層次感.

隱性軌跡是指，在一些較復(fù)雜的試題中，一些未知點(diǎn)雖然不確定，但它的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)常是確定的，比如常見(jiàn)的直線、圓、橢圓等. 上述引例中M點(diǎn)軌跡即是一個(gè)圓，有了這個(gè)軌跡，就給我們?cè)诮忸}中回避較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提供了可能.

解題層次感是指，試題條件較多、思維較復(fù)雜，此時(shí)將題設(shè)合理地分解成幾個(gè)梯度適中的基礎(chǔ)題，各個(gè)擊破，最后形成一個(gè)完整的解題網(wǎng)絡(luò)，這樣可以完成解題目標(biāo)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練還可以培養(yǎng)學(xué)生較縝密的邏輯思維.

下面我們主要通過(guò)對(duì)隱性圓的探索來(lái)談?wù)勱P(guān)于解題層次感的體會(huì).

例1：（2018南京、鹽城高三期末卷第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=k（x-3■）上存在一點(diǎn)P，圓x2+（y-1）2=1存在一點(diǎn)Q，滿足■=3■，則實(shí)數(shù)k的最小值為_(kāi)_______.

先來(lái)確定本題的解題層次：

①點(diǎn)P在直線上，直線不定;

②點(diǎn)Q在圓上，圓確定;

③■=3■，可以建立怎么樣的聯(lián)系？

不區(qū)分層次，將①②③雜糅在一起，是很多考生的思維過(guò)程，如果先跳出①的思維，只考慮②和③，是不是就可以得到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡呢？

這個(gè)思考很關(guān)鍵，令P（x，y），Q（x1，y1）易得x=3x1，y=3y1，即x1=■x，y1=■y.代入圓方程化解得x2+（y-3）2=9. 原來(lái)點(diǎn)P除了滿足直線，本身還在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，那點(diǎn)P存在的意義即是直線y=k（x-3■）和x2+（y-3）2=9有交點(diǎn).

有的考生在解題過(guò)程中容易陷入①的思維中，把點(diǎn)P代入過(guò)于繁雜的求k運(yùn)算中，這樣解題不僅笨重，而且容易丟掉點(diǎn)P隱含的幾何意義，使得解題思維混亂，計(jì)算量大大增加，這樣不利于良好的思維品質(zhì)的養(yǎng)成.

事實(shí)上，很多隱性圓還是有跡可循的，比如：三角形頂角為直角的隱性圓;阿波羅尼斯圓;距離平方和為定值的隱性圓;向量積為定值的隱性圓等. 有的時(shí)候在解題過(guò)程中能看到類似的形式有助于我們進(jìn)行外形聯(lián)想，迅速打開(kāi)思維，起到事半功倍的效果.

例2：已知△ABC中，AB=AC=■，△ABC所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得PB2+PC2=3PA2=3，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_.

我們繼續(xù)分析，確定解題層次.

①△ABC為等腰三角形，本題要求三角形面積的最值，而△ABC的底邊和高容易得到等量關(guān)系，如圖2，于是我們嘗試用S=■BC·h來(lái)解題.

令底邊長(zhǎng)為2t（t>0），則高為■，故S=■·2t·■= t·■.

那么要求最值，t的取值范圍怎么辦？

②P既滿足PB2+PC2=3，P又滿足PA2=1，想到了什么？

③由②中的外形聯(lián)想到了圓，接下來(lái)該建系了.

如圖3，令P（x，y），B（-t，0），C（t，0），則A（0，■）.

P滿足PB2+PC2=3可得（x+t）2+y2+（x-t）2+y2=3，化簡(jiǎn)得：x2+y2=■-t2（1）……⊙C1.

P滿足PA2=1可得x2+（y-■）2=1（2）.

⊙C2存在點(diǎn)P，即可以把P看成兩個(gè)圓的交點(diǎn)，利用幾何特征.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：1-■≤C1C2≤1+■，即1-■≤■≤1+■，兩邊平方求解得t2≤■;而S=■·2t·■=t·■=■，易得S最大值為■.

通過(guò)對(duì)隱性圓的探索，我們發(fā)現(xiàn)解題的層次感變得非常鮮明，思路清晰了，解題效率自然就提高了，其實(shí)在隱性軌跡的探索中除了隱性圓比較常見(jiàn)之外，構(gòu)造隱性直線或其他軌跡有時(shí)也較常見(jiàn). 在教學(xué)過(guò)程中尤其在起始年級(jí)，適當(dāng)突出此類教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的探索興趣，對(duì)鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力、提高思維靈活性有一定的幫助.