賦能八爪模型 助教誘導(dǎo)公式

陳衛(wèi)明

[摘? 要] 應(yīng)用八爪模型進行任意角三角函數(shù)值化簡可以實現(xiàn)化簡的一步到位，從而大大提升了三角函數(shù)值化簡能力和加深了學(xué)生對誘導(dǎo)公式體系的理解，其在教材的整合、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的提升、數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透等方面均有重要意義. 文章詳細解讀了何為三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的八爪模型.

[關(guān)鍵詞] 八爪模型;誘導(dǎo)公式;數(shù)學(xué)建模;數(shù)形結(jié)合思想

問題的提出

誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是三角函數(shù)的難點，學(xué)生在利用誘導(dǎo)公式進行化異名為同名三角函數(shù)時常常思維混亂;在需要多組誘導(dǎo)公式進行任意角三角函數(shù)值化簡時常常手足無措. 原因就在于對《人教A版必修四1.3三角函數(shù)誘導(dǎo)公式》（以下簡稱《必修四1.3》）中六組誘導(dǎo)公式之間的內(nèi)在關(guān)系不清晰，用死記硬背方式學(xué)習(xí). 為了幫助學(xué)生更好地理解誘導(dǎo)公式體系的內(nèi)涵及應(yīng)用誘導(dǎo)公式進行任意角三角函數(shù)值化簡，筆者通過構(gòu)建八爪模型，收到了良好的效果.

模型解讀

八爪模型要點如下：

（1）任意一個角都能與某個爪子對應(yīng)

①建立給各坐標(biāo)軸賦角的（如圖1所示）帶有八個爪子的直角坐標(biāo)系.

②規(guī)定：按順時針方向旋轉(zhuǎn)爪子對應(yīng)的角在坐標(biāo)軸所對應(yīng)角的基礎(chǔ)上減少α;按逆時針方向旋轉(zhuǎn)爪子對應(yīng)的角在坐標(biāo)軸所對應(yīng)角的基礎(chǔ)上增加α，以y軸正半軸的爪子為例，爪子（2）對應(yīng)的角度為2kπ+■-α，爪子（3）對應(yīng)的角度為2kπ+■+α.

（2）利用口訣“縱（軸）變橫（軸）不變、符號看象限”進行任意角的三角函數(shù)值化簡. 具體如下：

例1：（《必修四1.3P27例4》）化簡■.

解：在八爪模型下，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分別對應(yīng)爪子（8）、（5）、（4）、（4）、（4），根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，函數(shù)名不變，2π-α，π+α，π-α，3π-α，-π-α分別落在第四象限、第三象限、第二象限、第二象限、第二象限，其對應(yīng)的三角函數(shù)符號分別為負、負、負、正、正，即sin（2π-α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，cos（π-α）=-cosα，sin（3π-α）=sinα，sin（-π-α）=sinα;■+α，■π-α，■π+α分別對應(yīng)爪子（3）、（6）、（3），根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變，函數(shù)名改變，■+α，■π-α，■π+α分別落在第二象限、第三象限、第二象限，其對應(yīng)的三角函數(shù)符號分別為負、負、正，即cos■+α=-sinα，cos■π-α= -sinα，sin■π+α=cosα. 從而：

■=■=-tanα.

■模型價值

應(yīng)用八爪模型進行任意角三角函數(shù)值化簡可以實現(xiàn)化簡的一步到位，從而大大提升了三角函數(shù)值化簡能力和加深了學(xué)生對誘導(dǎo)公式體系的理解，其在教材的整合、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的提升、數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透等方面均有重要意義.

1. 整合了教材

一方面，八個爪子囊括了《必修四1.3》六組誘導(dǎo)公式所對應(yīng)的角（見表1），在口訣“縱（軸）變橫（軸）不變、符號看象限”下可以快速得到《必修四1.3》六組誘導(dǎo)公式，保證了八爪模型的準(zhǔn)確性;另一方面，把《必修四1.3》P26例3納入八爪模型中，實現(xiàn)了爪子分布的完整性，這種完整性有助于學(xué)生全面理解誘導(dǎo)公式體系，可以大大提高學(xué)生在任意角三角函數(shù)值化為銳角三角函數(shù)值的準(zhǔn)確性.

例2：已知角α終邊上的一點P（-4，3），則sin-■-α=______.

解法1：利用教材誘導(dǎo)公式（三）和（六）得到：

sin-■-α=-sinα+■=-cosα= -■=■.

解法2：在八爪模型下，-■-α對應(yīng)y軸負半軸順時針方向的爪子（6），利用口訣可得sin-■-α=-cosα= -■=■.

應(yīng)用八爪模型進行任意角三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值的最大價值就在于有效規(guī)避了需要多組公式化簡而實現(xiàn)化簡的一步到位，從而大大提升了任意角三角函數(shù)值的化簡能力.從思維角度來看，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中同時存在著“濃縮在教材中的數(shù)學(xué)家思維、對教材進行再加工的教師思維、被教材和教師引導(dǎo)著的學(xué)生思維”等三種思維活動，數(shù)學(xué)教學(xué)就是這三種思維相互碰撞和交融的過程. 教師對教材的整合，目的就在于讓數(shù)學(xué)家思維更為自然地與學(xué)生思維對接，這對發(fā)展學(xué)生的思維和提升學(xué)生的能力有重要意義，對教師從“教教材”到“用教材教”的轉(zhuǎn)變有積極影響.

2. 提升了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.從實際情況來看，不管是數(shù)據(jù)的收集和處理，還是結(jié)果的檢驗和模型的改進，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中都不太好開展，因此高中階段的數(shù)學(xué)建模大都變成了解應(yīng)用題、第二課堂活動、競賽輔導(dǎo)等具有數(shù)學(xué)建?！靶巍倍鄙贁?shù)學(xué)建?！吧瘛钡幕顒宇愓n程，這對高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的提升極其不利，怎樣把數(shù)學(xué)建模全過程或能充分反映數(shù)學(xué)建模本質(zhì)的部分過程在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)就非常關(guān)鍵. 八爪模型由于具備數(shù)學(xué)建模全過程從而對提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)具有重要價值.

通過呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模全過程或數(shù)學(xué)建模部分過程來提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)實踐對高中數(shù)學(xué)的公式、概念、定理等教學(xué)有很強的借鑒意義. 以概念教學(xué)為例，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的“創(chuàng)設(shè)情境、概念形成、概念理解、概念應(yīng)用”四個環(huán)節(jié)與數(shù)學(xué)建模過程的“發(fā)現(xiàn)問題、提出和分析問題、建立帶有參數(shù)的模型、模型應(yīng)用”四個環(huán)節(jié)相互呼應(yīng)，對在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)具有示范意義.

3. 滲透了數(shù)形結(jié)合思想方法

作為聯(lián)結(jié)數(shù)量與圖形之間橋梁的一種重要思想方法，數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)有著廣泛應(yīng)用，通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”實現(xiàn)了抽象問題具體化、本質(zhì)問題直觀化. 三角函數(shù)值是以角度為自變量的函數(shù)值，角度是幾何概念，重在形;函數(shù)值屬于代數(shù)范疇，重在數(shù)，三角函數(shù)概念本身就蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想. 作為三角函數(shù)值化簡的重要工具，誘導(dǎo)公式的理解和應(yīng)用必須緊扣數(shù)形結(jié)合思想方法來進行. 在八爪模型中，從任意角對應(yīng)到某個爪子的過程、口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”的表述、應(yīng)用口訣進行化簡等方面都具有明顯的數(shù)形結(jié)合特征，對把數(shù)形結(jié)合思想方法落實到課堂教學(xué)，提高解題能力有積極意義.

例3：y=2sin2x+■的圖像向_____平移_____單位可以得到y(tǒng)=2cos2x-■的圖像？

分析：在平移變換中，首先是要化異名為同名，使得平移前后的函數(shù)名相同.

解法1：在正弦化為余弦中，根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，選擇y軸的四個爪子，為保證x系數(shù)和cosx都為正，則選擇y軸負半軸逆時針方向的爪子（7）■+α，即2sin2x+■=2cos2x+■+■=2cos2x+■π. 需要經(jīng)過■=-■.由于周期為π，-■+π=■，即向左平移■個單位.

解法2：在余弦化為正弦中，根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，選擇y軸的四個爪子，為保證x系數(shù)和sinx都為正，則選擇y軸正半軸逆時針方向的爪子（3）■+α，即2cos2x-■=2sin2x-■+■=2sin2x+■. 需要經(jīng)過■=■，即向左平移■個單位.

應(yīng)用八爪模型進行化異名為同名三角函數(shù)，包含兩個步驟，第一步是根據(jù)口訣前半句“縱（軸）變橫（軸）不變”，選擇y軸對應(yīng)的4個爪子;第二步是根據(jù)口訣后半句“符號看象限”，由被轉(zhuǎn)化的三角函數(shù)的符號來確定最終的爪子. 這兩個步驟都緊扣八爪模型圖形進行，對把數(shù)形結(jié)合思想方法落實到課堂教學(xué)中有極其重要的實踐價值，很多時候?qū)W生對于某種思想方法的掌握程度與教師在課堂教學(xué)中對該思想方法的應(yīng)用程度息息相關(guān). 比如，若教師過于強調(diào)導(dǎo)數(shù)在處理函數(shù)單調(diào)性的價值，則學(xué)生對于通過函數(shù)圖像來解決單調(diào)性問題中所蘊含的數(shù)形結(jié)合思想方法的掌握自然而然就大打折扣.