一堂數(shù)學(xué)“母題”變式教學(xué)課的實錄與感悟

王敏

[摘? 要] 通過一堂導(dǎo)數(shù)與不等式的“母題”變式教學(xué)課的呈現(xiàn)，談幾點感悟，認為：“母題”變式教學(xué)體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，通過控制題量，有效實現(xiàn)了課堂教學(xué)減負，把學(xué)生的思維水平提高了一個層次.

[關(guān)鍵詞] 母題;變式;實錄;感悟

高考復(fù)習(xí)，從某個角度看，就是高考題型的研究和高考實戰(zhàn)演習(xí). 如何研究題型，讓學(xué)生的實戰(zhàn)演習(xí)更有效. 筆者以為，“母題”變式研究與訓(xùn)練，是一個不錯的選擇. 所謂“母題”變式，就是把一個典型例題作為“母題”，教師引導(dǎo)學(xué)生對其深入研究，并產(chǎn)生與之相關(guān)的系列題型，再讓學(xué)生訓(xùn)練，這種從一道題引發(fā)數(shù)學(xué)研究的教學(xué)模式，不僅能讓學(xué)生“跳出題?！保茏寣W(xué)生感受自己編題（找題）自己做的樂趣[1]. 下文是筆者一堂導(dǎo)數(shù)與不等式的“母題”變式教學(xué)課的實錄與感悟，供大家參考.

教學(xué)實錄

1. 出示“母題”，引出復(fù)習(xí)課題

母題：（2018-2019學(xué)年湖北省黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考）已知函數(shù)h（x）=alnx+（a+1）x2+1（a<0），在函數(shù)h（x）圖像上任取兩點A，B，若直線AB的斜率的絕對值都不小于5，則實數(shù)a的取值范圍是（? ）

A. （-∞，0）

B. -∞，■

C. -∞，■

D. ■，0

教師提出問題：

問題1：這道題主要研究什么？

生1：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題.

問題2：如何解這道題？即這道題的解題思路是什么？

生2：先對函數(shù)求導(dǎo)，將已知“直線AB的斜率的絕對值都不小于5”，去絕對值.然后構(gòu)造函數(shù)f（x）=h（x）+5x，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用一元二次不等式恒成立問題的解法，求得a的取值范圍.

問題3：這道題主要考查什么？即考點是什么？

生3：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的工具性研究不等式恒成立問題.

教師請學(xué)生根據(jù)剛才的分析自行完成，并展示. （這里略，答案：B）

教師出示本節(jié)課復(fù)習(xí)的主題：導(dǎo)數(shù)與不等式問題.

說明：教師對“母題”的選擇必須具有新穎性、代表性，且緊扣考綱與考點.

2. 集思廣益，總結(jié)子題題型

師：剛才的一道“母題”，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在不等式問題中的應(yīng)用. 那么，利用導(dǎo)數(shù)能解決哪些不等式問題呢？請以小組為單位，加以探討，5分鐘后交流.

學(xué)生分組討論，教師巡視. 5分鐘后請以小組委派一名學(xué)生交流.

小組1：利用導(dǎo)數(shù)比較數(shù)值大小.

小組2：利用導(dǎo)數(shù)解不等式.

小組3：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題.

小組4：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.

教師點評：同學(xué)們剛才集思廣益后提出的四種問題，的確是導(dǎo)數(shù)與不等式的最常見的四種題型. 在高考真題和各地的模擬卷中，這四類問題頻頻出現(xiàn)，主要考查考生對導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用，我們不僅要把握基本題型，更要把握具體的解題方法.

？搖3. 分組組題，展示資料共享

師：有道是“是牛是馬，牽出來遛遛”. 空口無憑，有例才為證. 請同學(xué)們，繼續(xù)以小組為單位，找出與本組提出題型有關(guān)的題目2至3個.

教師繼續(xù)巡視，及時回答學(xué)生組題時遇到的問題或疑惑. 20分鐘后仍以小組為單位委派一名學(xué)生進行交流.

小組1：剛才我們小組歸納的題型是利用導(dǎo)數(shù)比較數(shù)值大小，請看下面的3個題：？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

（1）已知函數(shù)f（x）=■，則f（2），f（e），f（3）的大小關(guān)系是______.

（2）函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f（1+x）=f（3-x），且當(dāng)x∈（-∞，2）時，（x-2）f′（x）<0，設(shè)a=f（0），b=f■，c=f（3），則a，b，c的大小關(guān)系是______.

（3）f（x）是定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且x>0時，xf′（x）-f（x）<0，記a=■，b=■，c=■，則a，b，c的大小關(guān)系是______.

？搖 小組2：剛才我們小組歸納的題型是利用導(dǎo)數(shù)解不等式，請看下面的3個題：

（1）已知函數(shù)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=■，對任意實數(shù)都有f（x）-f′（x）>0，則不等式f（x）

（2）定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f（x）>f′（x），且f（0）=1，則不等式■<1的解集為________.

（3）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足x2f′（x）+1>0，f（1）=6，則不等式f（lgx）< ■+5的解集為________.

小組3：剛才我們小組歸納的題型是導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題，請看下面的3個題：

（1）已知函數(shù)f（x）=ax3-3x+1對x∈（0，1]總有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.

（2）已知a，b∈R，直線y=ax+b+■與函數(shù)f（x）=tanx的圖像在x=-■處相切，設(shè)g（x）=ex+bx2+a，若在區(qū)間[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2-2恒成立，則實數(shù)m有________.

？搖（3）設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對任意的實數(shù)x都有f（x）=4x2-f（-x），當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）+■<4x. 若f（m+1）≤f（-m）+3m+■，則實數(shù)m的取值范圍是________.

小組4：剛才我們小組歸納的題型是導(dǎo)數(shù)與不等式的證明，我們找到了下面兩道題，供同學(xué)們參考：

（1）已知x=1為函數(shù)g（x）=x（lnx-c）的極值點. 證明：當(dāng)x>1時，g（x）

（2）已知函數(shù)f（x）=■-lnx. ①求f（x）的單調(diào)區(qū)間;②求證：ln■≤■.

4. 點撥思路，學(xué)生獨立完成

師：同學(xué)們組的題目都緊扣題型，十分精彩，我發(fā)現(xiàn)有些題目還是最新出現(xiàn)的?？碱}，這說明我們同學(xué)身邊的資料真的不少，開卷有益，它山之石，可以攻玉，這很好！同學(xué)們找題的目的是為了解題，那么這類問題該如何解答？利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題，歸根到底是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題[2]. 因此，解決這些問題，一般都要構(gòu)造函數(shù)，本質(zhì)上看，這類問題考查的還是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系.

師：好，今天的作業(yè)就是請大家完成剛才大家組的11個有關(guān)導(dǎo)數(shù)與不等式的題目，請注意：原則上獨立完成，若確有困難，則允許合作討論.

三點感悟

感悟1：數(shù)學(xué)習(xí)題課一般都是由教師提供題目，學(xué)生練習(xí)題目，學(xué)生只顧埋頭做題，往往不知題從何來，不知題目所涉及的考點，這樣的練習(xí)往往缺乏對題目的研究，是一種為解題而解題的復(fù)習(xí)模式，學(xué)生不能對題目產(chǎn)生理性的認識. 而從教師提供的“母題”出發(fā)，讓學(xué)生自己去找題，要完成這個任務(wù)，學(xué)生務(wù)必明確題型，否則很難“對號入座”，于是將學(xué)生的“解題”轉(zhuǎn)化為“題解”，從而把學(xué)生的思維水平提高了一個層次.

感悟2：減負，是當(dāng)今中小學(xué)教育界沉重的話題. 如何將學(xué)生從沉重的課業(yè)中解放出來，讓他們“跳出題?！保敲课唤處熽P(guān)心的問題[3]. 而“母題”變式教學(xué)模式，從很大程度上控制了題量，并允許合作完成，從而讓他們練有所獲，練有所成. 與此同時，也減輕了教師的負擔(dān)，讓學(xué)生自行找題，有時會更切合實際，比教師找題更有效. 自己選的題目自己做，這更能提高學(xué)生訓(xùn)練的積極性.

感悟3：任何一堂課都應(yīng)該體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位. 教師一講到底，這種“填鴨式”的教學(xué)模式完全削弱了學(xué)生的主體地位，早已被大家摒棄. 而“母題”變式教學(xué)模式，教師儼然是教學(xué)的組織者和指導(dǎo)者，而不是“主宰”，探討的問題雖然由教師引發(fā)，但問題的進展由學(xué)生決定，這種把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生的教學(xué)模式，能使課堂氣氛和諧，師生關(guān)系融洽，從而能達到較好的教學(xué)效果.

參考文獻：

[1]? 江衛(wèi)軍. 高中函數(shù)母題研究[D].蘇州大學(xué)，2016.

[2]? 趙子兵. 利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（12）.

[3]? 范爽. 關(guān)于“課業(yè)負擔(dān)”的若干基本理論問題研究[D]. 沈陽師范大學(xué)，2013.