從發(fā)展心理學(xué)角度看數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

王思義 朱鍵

[摘? 要] 數(shù)學(xué)抽象作為高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之首，對于培養(yǎng)學(xué)生的整個素養(yǎng)，具有奠基作用. 文章以“向量概念”為載體，結(jié)合高中生在邏輯抽象思維方面的發(fā)展心理學(xué)，分析并闡述了在概念課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的方法. 在教學(xué)過程中，應(yīng)讓學(xué)生親歷抽象過程，掌握抽象的一般步驟，進而轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 發(fā)展心理學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;向量概念

在2017年版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》中明確了高中階段學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達成的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]. 其中數(shù)學(xué)抽象位居第一，它應(yīng)是其他核心素養(yǎng)達成的基礎(chǔ)，因為數(shù)學(xué)中的概念、命題、定理等內(nèi)容都是抽象的產(chǎn)物，應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的模型是抽象而來的. 這些決定了數(shù)學(xué)的“抽象性”，這也是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最明顯的特點;也正是這種“抽象性”，是學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的困難之處. 在2017年版的《新課程標準解讀》中指出，“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)需要深入到具體的學(xué)習(xí)活動中去，教師的教學(xué)方法的選擇要立足于對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理認知特點和規(guī)律的把握，概念、命題、規(guī)則、模型乃至思想、方法的獲得，本質(zhì)上是學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)抽象過程中得到心理認知發(fā)展的過程.”[2] 本文以“向量的概念”的教學(xué)為載體，從發(fā)展心理學(xué)的角度分析學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)方法.

高一學(xué)生的抽象水平發(fā)展特點分析

在發(fā)展心理學(xué)中，認為：整個中學(xué)階段，是學(xué)生抽象思維快速發(fā)展的時期. “在少年期（主要是初中生）和青年初期（主要是高中生）的思維是不同的. 在少年期的思維中，抽象邏輯思維雖然開始占優(yōu)勢，可是在很大程度上，還屬于經(jīng)驗型，他們的邏輯思維需要感性經(jīng)驗的直接支持. 而青年初期的抽象邏輯思維，則屬于理論型，他們已經(jīng)能夠用理論作為指導(dǎo)來分析綜合各種事實材料，從而不斷擴大自己的知識領(lǐng)域.”[3] 也就是說，初中的抽象水平處于由經(jīng)驗型向抽象思維轉(zhuǎn)化，抽象思維占主要部分. 而高中應(yīng)具備較強的抽象水平，是有很大的提升的. 那么這里的提升，怎么去實現(xiàn)呢？“高中一年級到高中二年級是邏輯抽象思維的發(fā)展趨于‘初步定型或成熟的時期.”“成熟前思維發(fā)展變化的可塑性大，成熟后則可塑性小，與其成年期的思維水平基本上保持一致，盡管也有一些進步.”[3] 高一的學(xué)生，應(yīng)該是學(xué)生從初中向高中轉(zhuǎn)型時期，那么這種抽象能力的提高，應(yīng)該是在教師的引導(dǎo)下進行的. 因此，我們教師就應(yīng)抓住這一關(guān)鍵期，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，使得學(xué)生盡快地適應(yīng)高中學(xué)科知識的學(xué)習(xí)，也是完成抽象能力的提過的過程的關(guān)鍵時期. 在2017年版的《新課程標準解讀》中，專家們建議教師們在平時的教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，掌握數(shù)學(xué)抽象的方法[2].

但是，在高中課堂，一些教師在教學(xué)中，并沒有讓學(xué)生去完成抽象過程，而是自己舉例，自己抽象，給出定義，對定義的內(nèi)涵跟外延的闡述，進行相關(guān)題目的訓(xùn)練. 這樣就使得學(xué)生雖然掌握了一定的數(shù)學(xué)知識，但不知道為什么要學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，應(yīng)該怎樣學(xué)習(xí)這些內(nèi)容. 大大地影響了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力. 數(shù)學(xué)中的概念課，應(yīng)該是數(shù)學(xué)抽象的大本營. 我們?nèi)绻诮淌诟拍顣r，讓他們經(jīng)歷抽象的過程，教會他們抽象思維的方式，那么在高中眾多概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會形成一個研究系統(tǒng). 自然地，學(xué)生的抽象能力也就會形成理想效果.

筆者聽過關(guān)于“向量概念”的一些公開課，教師們對這個課題進行同課異構(gòu)，但效果都不是很好. 一部分教師拿到這個課題，就不知道這節(jié)課怎么上好，因為這節(jié)課概念難度不大，概念較多. 居多都是按照課本內(nèi)容去上，稍微好一點的，也就是在抽象向量概念前的例子選取上下了一些功夫，但對于學(xué)生的抽象能力的培養(yǎng)意識比較薄弱. 下面，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的角度，對“向量概念”這一節(jié)課進行教學(xué)分析和教學(xué)設(shè)計.

向量概念的抽象過程

所謂抽象是指：“從具體事物中抽取相對獨立的各個方面、屬性及關(guān)系等的思維活動，抽象的結(jié)果具有一定的‘抽象性，與具體事物的‘具體性相對立. ”[4]所謂數(shù)學(xué)抽象是指：“通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).”[1]關(guān)于數(shù)學(xué)抽象，史寧中先生在他的兩本書《數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系》《數(shù)學(xué)抽象：圖形與圖形關(guān)系》有關(guān)于抽象過程的詳細闡述. 在《數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系》一書中，對人類對數(shù)量的抽象的過程進行了闡述. 我們可以從中看出數(shù)量的抽象過程是漫長的. 我們在教學(xué)中，課本上的內(nèi)容的編排是按照知識邏輯順序來編排的. 而我們教學(xué)時，教師應(yīng)將這一思維過程呈現(xiàn)給學(xué)生. 當(dāng)然，這過程中，不是完全放手，由學(xué)生天馬行空地去想，而是教師應(yīng)起到一個引路人的作用. “向量概念”的抽象也應(yīng)體現(xiàn)這一思維過程，并且讓學(xué)生經(jīng)歷這一過程. 史寧中先生將抽象分為三個層次：“①把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達，我們稱其為簡約階段. ②去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表達包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物，我們稱其為符號階段. ③通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物，我們稱其為普適階段.”[5]

1. 數(shù)學(xué)抽象中的簡約階段

對于“向量概念”，首先應(yīng)該是向量的抽象，把握本質(zhì)，就應(yīng)從大量的實例中提出數(shù)學(xué)本質(zhì).

教師舉例：向同學(xué)問路“到校門口怎么走”.

學(xué)生回答：從教室往前走.

教師：就這樣我就能找到校門口了嗎？

學(xué)生：500米處.

教師：路牌上的路標也是這樣，標有到某某地方的方向和距離. 汽車上的導(dǎo)航，經(jīng)常會提醒我們到某個地方，沿著某一個方向行駛多遠的距離.

教師：我們學(xué)的這一章的章前圖，小船航行的航線，有距離，有方向.

教師：在這些例子中，說明我們要找到確切的位置，需要哪些要素？

學(xué)生：距離、方向.

教師：位置在我們物理上稱為什么呢？

學(xué)生：位移.

教師：說明“位移需要用大小和方向來表達”. 物理上還有哪些像這樣的例子呢？

學(xué)生：速度、加速度.

教師：對，也就是這些量，我們不僅關(guān)心它的大小，還要關(guān)心它的什么？

學(xué)生：方向.

教師：這樣的量，我們在數(shù)學(xué)里見過嗎？我們以前學(xué)習(xí)的量是什么？

學(xué)生：大小.

教師：對，也就是數(shù)量.

教師：物理中的位移、速度、加速度，這些對象在我們數(shù)學(xué)上，用數(shù)學(xué)的眼光去看，是新的問題. 從數(shù)學(xué)角度來看，它們有什么共同的地方？

學(xué)生：它們都有大小、方向.

教師：對，這是我們以前在數(shù)學(xué)中沒有研究的問題. 今天我們就來研究它. 既然這個量是具有方向的量就給它一個名稱“向量”.

這里學(xué)生經(jīng)歷了從具體到抽象的過程. 感受到抽象，實際就是找出不同事物之間的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征. 那么這里就完成了史寧中先生講的第一步：簡約階段. 這里教師應(yīng)將這一步的抽象階段和方法告訴學(xué)生.

教師：我們以上的過程，就是從眾多的事物中，提煉出它們在數(shù)量關(guān)系與幾何關(guān)系方面的共有的本質(zhì)特性.

這一步，我們稱其為簡約階段. 也就是拋開繁雜的事物背景，找出數(shù)學(xué)共性.

2. 數(shù)學(xué)抽象的符號階段

接下來，就是第二步：符號階段. 教師應(yīng)向?qū)W生講解清楚抽象的第二個步驟為符號階段.

教師：抽象的第二步：符號階段. 只有對向量賦予一定的符號，才能用數(shù)學(xué)的方法對它的性質(zhì)、計算等方面做進一步研究. 那么我們用什么符號來表示向量呢？

學(xué)生應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)航上用有向線段表示，物理上也是用有向線段表示的.

學(xué)生：有向線段.

教師：對，我們這里的表示方法和物理上的統(tǒng)一：有向線段. 用兩點A，B分別表示起點、終點. 由起點指向終點的有向線段. 有向線段的長度表示向量的大小，方向表示向量的方向. 向量的字母上面加上箭頭■，這是向量的圖示方法. 向量的大小稱為向量的模長，簡稱模，記為■.

這和學(xué)生平時的認知習(xí)慣相符，讓學(xué)生接受起來也不難.

教師：當(dāng)我們有了研究對象的幾何表示和字母表示，我們就可以從幾何和代數(shù)的角度，較為簡潔地去研究它，也就是我們前面提到的符號階段.

有了符號表示后就可以對向量性質(zhì)和計算進行抽象.

教師：在一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，我們需要規(guī)定它的零元和單位，數(shù)量中0表示沒有，1表示一個單位，那么向量中也應(yīng)該規(guī)定零向量和單位向量，應(yīng)該怎么規(guī)定呢？

學(xué)生：模長為零的向量為零向量，模長為1的向量稱為單位向量.

教師：我們分別把零向量和單位向量記為：0，e.

教師：為了研究向量的性質(zhì)，這里我們來看一個例子[6]：兩個小船，分別從A與B點出發(fā)，在水流的作用下都向東行駛，在相同的時間內(nèi)行駛到A′和B′點. 它們的位移用什么表示？

學(xué)生：可以用向量■和■表示.

教師：這里小船的位移實際上是什么作用的效果？

學(xué)生：水流.

教師：作用在兩個小船上的效果是否相同？？搖？搖

學(xué)生：相同.

教師：所以向量■和■相同嗎？

學(xué)生：相同.

教師：那么向量■和■的起點不同，但方向相同，大小相同，這兩向量是相同的，這說明向量具有什么樣的性質(zhì)？

學(xué)生：向量與起點無關(guān).

教師：也就是，向量的大小相同，方向相同，我們就把它們視為同一個向量，也就是相等的，記為：■=■. 我們把與起點無關(guān)的向量稱為自由向量. 我們這里學(xué)習(xí)的向量不需要考慮起點，所以我們所說的向量都是自由向量.

教師：數(shù)量即多少■，向量由于既屬于代數(shù)對象，又有幾何特征，所以我們不能籠統(tǒng)地比較向量的大小. 但我們可以分開來講，對于代數(shù)特征，我們可以比較它們的什么？

學(xué)生：模長.

教師：幾何特征呢？

學(xué)生：方向相同或相反.

教師：我們把方向相同或相反的兩個非零向量稱為是共線的，記為：■∥■. 因為它們可以平移到同一條直線上. 書上的例1[7]作為這部分內(nèi)容的鞏固掌握.

向量的性質(zhì)抽象之后，就應(yīng)該是向量的計算的抽象.

教師：下一節(jié)課，我們繼續(xù)對向量的抽象，向量計算的抽象.

3. 數(shù)學(xué)抽象的普適階段

這里對于向量概念抽象的普適階段應(yīng)該是后面的，應(yīng)用“向量法”解決幾何與代數(shù)問題. 雖然課時不夠了，但我們在這里應(yīng)該向?qū)W生介紹，因為這三個步驟，它們是一個整體，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)抽象的完整的步驟.

教師：向量有大小，屬于數(shù)學(xué)上的哪個分支？

學(xué)生：代數(shù).

教師：向量有方向，屬于數(shù)學(xué)上的哪個分支？

學(xué)生：幾何.

教師：那么向量既屬于代數(shù)又屬于幾何對象，向量也就自然地成為溝通代數(shù)和幾何的橋梁.

教師：在后面的學(xué)習(xí)，我們借助“向量”，用代數(shù)的方法解決幾何問題，用幾何的方法解決代數(shù)問題. 也就是抽象的第三步：普適階段. 研究向量的性質(zhì)、計算之后，用它研究其他對象. 這就是普適階段. 這個內(nèi)容放到后面來講.

最后的小結(jié)部分，應(yīng)讓學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)抽象的步驟. 這一節(jié)課，不僅要學(xué)習(xí)向量的知識，更應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷抽象的過程，讓他們掌握數(shù)學(xué)抽象的一般方法. 這樣，在學(xué)習(xí)高中的眾多抽象的概念時，學(xué)生可以根據(jù)一定的認知策略進行自我探索，相應(yīng)地降低了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]? 史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]? 林崇德. 心理學(xué)[M]. 杭州：浙江教育出版社，2002.

[4]? 徐利治，鄭毓信. 數(shù)學(xué)抽象方法與抽象度分析法[M]. 南京：江蘇教育出版社，1990.

[5]? 史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象（第1輯）[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.

[6]? 徐元根. 對中學(xué)向量概念敘述方式的建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2001（11）.

[7]? 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室. 全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊（下）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.