借助互聯(lián)網(wǎng)教學，讓數(shù)學建模課乘風飛翔

孫曉紅

[摘? 要] 數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).如何讓數(shù)學建模課在數(shù)學課堂落地生根，是我們一線教師亟待解決的問題. 利用互聯(lián)網(wǎng)+教學，可在常規(guī)課程、選修課程、競賽課程三個層次由淺入深進行數(shù)學建模教學.文章以《生活中的三角函數(shù)》的教學設計為例，對數(shù)學建模進行深入探討.

[關鍵詞] 互聯(lián)網(wǎng)+教學;數(shù)學建模;三角函數(shù)

？搖為促進創(chuàng)新人才素質培養(yǎng)，青島二中2014年9月開始實施互聯(lián)網(wǎng)+教學改革，開展基于學習任務單的課前自主學習，培養(yǎng)學生自主學習能力;開展基于學習社區(qū)的學習，培養(yǎng)學生合作學習能力.在學習過程中，按照學生興趣、特點，建立高效、互補的學習社區(qū)，開展課上、課下的合作學習，逐步形成了“生學為本、合作內(nèi)化、師教為要、點撥升華”的互聯(lián)網(wǎng)+教學原則. 這樣的教學方式使學生從傳統(tǒng)教學中知識的被動接受者，轉變?yōu)橹R的主動學習積極獲取者，轉變?yōu)榛趯W習社區(qū)的小組合作學習者，轉變?yōu)檎n堂上基于重點問題展開的教學活動的參與研討者，充分體現(xiàn)了學習者的主體地位. 借助互聯(lián)網(wǎng)和PAD教學模式，大大提升了學生的學習興趣，提高了教學效率.以下是高中數(shù)學人教B版必修四第一章《三角函數(shù)》最后一節(jié)“三角函數(shù)模型的簡單應用”，以往教學都是以例題的形式，展現(xiàn)三角函數(shù)的簡單應用，突出三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，其在刻畫周期變化規(guī)律、頂測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 同時，也體現(xiàn)化歸轉化、方程與函數(shù)、數(shù)形結合等思想方法在研究解決問題中的作用. 教師在教學中也經(jīng)常是以例題的形式，層層引入，讓學生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)模型來源于生活、為生活解決實際問題的工具性作用.但這種教學方式對于學生還是被動接受，主動探究的意識不強，對培養(yǎng)數(shù)學建模的思想不夠完善. 筆者的教學設計是變被動為主動，讓學生提前一周查閱資料，查找相關的資源，以小組自主探究、合作學習的模式發(fā)現(xiàn)生活中的三角函數(shù)，通過生活中周期性變化的事例大膽猜想其與三角函數(shù)的關系、建立三角函數(shù)模型、把求三角函數(shù)解析式的題型放在生活實例中、預測未來的發(fā)展趨勢，并同時教給學生數(shù)學建模的方法. 教學中，筆者讓學生做課堂的主人，提升學生的學科核心素養(yǎng). 以下是本節(jié)課的具體教學設計環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：課前教學設計

（一）提前一周的學生活動

按照五個教學班把學生分成五組，以“生活中的三角函數(shù)”為課題查找材料，選出組長、確定主講人，學生借助互聯(lián)網(wǎng)查找資料，制作PPT或視頻、文件材料，做好課上交流的準備.

教師活動：及時監(jiān)督、指導學生活動的進度、內(nèi)容、分工和輔導學生發(fā)言及研究工作.

設計意圖：前面對三角函數(shù)的定義、圖像和性質的學習是純數(shù)學知識，三角函數(shù)來源于生活、服務于生活的理念學生并不知曉，為了調動學生的學習興趣和學習積極性，讓學生自己發(fā)現(xiàn)、挖掘、猜想和應用生活中的三角函數(shù)，大大提高了學生的參與度和學習興趣，為數(shù)學建模做好鋪墊.

（二）上課前一晚的教學活動

通過PAD給學生發(fā)自主學習任務單，學生獨立完成，教師及時批閱.以下是自主學習任務單的具體內(nèi)容：

1. 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像與性質

（1）圖像的畫法：“五點法”和圖像變換法.

（2）定義域：_______________.

（3）值域：________________，當x=_______________（k∈Z）時，f（x）取最大值A+B;當x=_______________（k∈Z）時，f（x）取最小值-A+B.

思考：如何用f（x）■和f（x）■求A和B的值？

（4）周期：T=_______________.

（5）奇偶性：當且僅當φ=kπ（k∈Z）時，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）是_________函數(shù);當且僅當φ=kπ+■（k∈Z）時，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）是__________函數(shù).

（6）單調性：單調遞增區(qū)間是每一個____________;單調遞減區(qū)間是每一個_________.

（7）對稱性：函數(shù)圖像與直線y=B的交點是對稱中心，即對稱中心是_________，對稱軸與函數(shù)圖像的交點的縱坐標是函數(shù)的最值，即對稱軸是直線________.

2. f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，φ<■）的圖像如圖1所示.

（1）求f（x）的解析式;

（2）要得到y(tǒng)=sinx的圖像，只需將f（x）的圖像進行怎樣的圖像變換？

設計意圖：復習并鞏固函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像與性質，為本節(jié)課做好知識儲備.

環(huán)節(jié)二：課堂教學設計

（一）復習反饋

對自主學習任務單的內(nèi)容進行總結性講評，學生的易錯點是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的對稱中心是■，B（k∈Z），教師強調第2題圖像變換的格式.

（二）新課引入

學生朗讀白居易《琵琶行》片段并配有琵琶樂曲：“低眉信手續(xù)續(xù)彈，說盡心中無限事. 輕攏慢捻抹復挑，初為《霓裳》后《六幺》. 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語. 嘈嘈切切錯雜彈，大珠小珠落玉盤. 間關鶯語花底滑，幽咽泉流冰下難. 冰泉冷澀弦凝絕，凝絕不通聲暫歇.別有幽愁暗恨生，此時無聲勝有聲……座中泣下誰最多？江州司馬青衫濕.”學生深情地朗讀完后，教師現(xiàn)場采訪該學生，師說：“你能從這首詩里感受到數(shù)學的韻律嗎？說得再貪婪些，這里有沒有三角函數(shù)的味道？”生很嚴肅地答：“絕對有！琵琶旋律由舒緩到急促再到舒緩，音調由高到低再到高，在平面直角坐標系下描繪出的就是正弦型函數(shù)的圖像.”由此引出本節(jié)課的課題《生活中的三角函數(shù)》.

設計意圖：以詩的形式作為本節(jié)課的開篇之作，增強數(shù)學的人文素養(yǎng)，最出彩的是讀詩后的師生對話，幽默而又切合主題，課堂氣氛立刻被調動起來！

（三）開啟《生活中的三角函數(shù)》之旅

第一組：經(jīng)濟團隊的《愛心曲線》

學生活動：學生介紹了笛卡爾的生平簡介和主要的思想成就、心形線背后凄美的愛情故事，由此引出極坐標系下的曲線和方程的關系，并讓學生親手繪制愛心曲線，鞏固了極坐標系的相關內(nèi)容.

教師點評：從凄美的愛情故事中我們引出了與平面直角坐標系不同的極坐標系，它在生活實際中應用非常廣泛，而且通過愛心曲線，我們發(fā)現(xiàn)極坐標系與三角函數(shù)有著非常密切的聯(lián)系. 對老師感觸最深的是笛卡爾晚上睡不著，看到蜘蛛在棚頂織網(wǎng)，發(fā)明了直角坐標系，由此有了方程，然后所有的數(shù)學問題都可以歸結為代數(shù)問題，用方程來解決.教師希望學生也要有這樣的數(shù)學洞察力，把生活中的問題概括出數(shù)學模型，用數(shù)學知識得以解決.

設計意圖：從凄美的愛情故事中讓學生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)無處不在，極坐標系雖然還沒學，但讓學生利用所學知識自主探究完全可以勝任，從笛卡爾的發(fā)明創(chuàng)造開啟了數(shù)學建模意識和思想，順利地過渡到下一組的《聲音與三角函數(shù)》模塊.

第二組：數(shù)學微團2班的《聲音與正弦》

學生活動：學生發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)圖像與聲音的傳播形式聲波以及產(chǎn)生的三要素高度一致，猜想物理中的聲音與數(shù)學中的三角函數(shù)有高度的相關性，學生通過查找資料、在網(wǎng)上下載視頻“聲波形成的正弦曲線”，讓學生高度感知到數(shù)理不分家，三角函數(shù)與物理中的簡諧振動、聲音的傳播、交流電等都有非常密切的聯(lián)系.

教師點評：這個團隊的優(yōu)點是發(fā)現(xiàn)案例后，學生敢大膽地猜想，并用實驗和視頻材料加以論證，最記憶猶新的是主持人告訴筆者他的猜想，過了幾天后，他激動而又驚喜地告訴筆者，他找到了證明這個猜想的視頻材料，隨著聲音要素的改變，手龍頭下出來的水花形狀就是正弦曲線！那孩子眼中的驚喜是筆者一輩子都不會忘記的，也更加堅定了筆者要把課堂還給學生，讓學生做課堂的主人，學生的潛力無限，只有這樣才能充分地施展他們的才華！

第三組：數(shù)學微團1班的《潮汐》

學生活動：生活在大海邊的孩子非常有必要了解一下潮汐的概念，這其中也蘊含著三角函數(shù). 數(shù)學微團1班的主持人為學生們介紹了潮汐的概念和現(xiàn)象，并用上述知識解決了船舶進港和出港時間的數(shù)學應用問題.

教師點評：本小組的最大優(yōu)點是利用潮汐的規(guī)律解決了船舶進港和出港時間問題，由一組數(shù)據(jù)擬合出三角函數(shù)模型，利用所學的三角函數(shù)知識解決生活實際問題，這正是數(shù)學建模和數(shù)學應用的步驟方法，本節(jié)課的教學目標被凸顯出來.

第四組：數(shù)學微團4班的《如何設計生活中的三角函數(shù)模型》

學生活動：本小組系統(tǒng)地概括了數(shù)學建模的方法和具體步驟，并以“關于日地之間距離的三角函數(shù)模型討論”為具體事例加以說明，并讓學生以“天安門廣場國旗升降具體時間”為課題讓學生進行數(shù)學建模，解決實際問題.

教師點評：作為展示的最后一組，不僅引出了數(shù)學建模的案例，還教會學生數(shù)學建模的方法和步驟、需要注意的問題，本節(jié)課達到了實施教學目標的高潮！

（四）課外延伸

1. 自出生之日起，人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化. 根據(jù)心理學家的統(tǒng)計，人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種. 這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段. 以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日. 臨界日的前半期為高潮期，后半期為低潮期. 生日前一天是起始位置（平衡位置），請根據(jù)自己的出生日期，繪制自己的體力、情緒和智力曲線，并總結自己在什么時候應當控制情緒，在什么時候應當鼓勵自己;在什么時候應當加強鍛煉，在什么時候應當保持體力？

設計意圖：在人的生理和心理領域也存在著三角函數(shù)，此案例實用性強，很受學生喜歡.

2. 請撰寫一篇有關《生活中的三角函數(shù)》數(shù)學小論文.

設計意圖：從發(fā)現(xiàn)、猜想、思考、論證、寫作出發(fā)，讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的全部過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，讓學生終身受益.

（五）以詩結尾，首尾呼應

生活是正弦曲線

有時波峰，有時波谷

波峰時別得意忘形

波谷時別灰心喪氣

沒有波谷就沒有波峰

沒有波峰亦沒有波谷

有波谷沒有波峰人生不完美

有波峰沒有波谷人生不完整

善待他人，理解命運

得意時不以物喜，失意時不以己悲

喜憂相伴，歲月飄香

學生活動：學生朗讀，意猶未盡，意味深長……

設計意圖：在正弦曲線中感悟人生，教給學生做人的道理，更緊扣主題：生活中的三角函數(shù)！

環(huán)節(jié)三：教學反思

本節(jié)課首先凸顯學生的主體意識.在教學活動中充分發(fā)揮學生的主體作用，讓學生親自尋找生活中的三角函數(shù)，通過各小組的交流學習讓學生深刻體會生活即數(shù)學的教育理念.

首先，學生從知識的被動接受轉變?yōu)橹鲃拥膮⑴c者和積極的探索者，教師尊重學生個性，一切教學活動都應針對不同學生提供多種選擇，為不同水平的學生設置不同層次的問題，打破“一把尺子量天下的做法”. 其次，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的思想和能力，為后續(xù)數(shù)學建模奠定基礎. 數(shù)學建模是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，如何在課堂上培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，值得每一位教師反思.通過本課的學習，學生掌握了數(shù)學建模的方法和步驟，數(shù)學論文的撰寫方法，提升了學生的應用意識和創(chuàng)新素養(yǎng). 再者，營造開放、平等的課堂氣氛. “開放”就是實行民主教學，給學生思考的余地和交流的機會，讓他們真正參與進來. “平等”就是師生間平等、學生間平等，讓每一位學生都能以積極的心態(tài)和舒暢的心情參與學習活動，使其個性得以張揚.教師可嘗試“互換教學角色”的課堂模式，安排一定課時，讓學生在課堂展示和講解其課外成果，教師只需現(xiàn)場提問或點評升華. 這種形式的課堂將大大調動學生的參與積極性，增強學生的學習興趣和學習樂趣. 最后，在數(shù)學課堂滲透人文氣息，加強多學科融合，對學生進行數(shù)學哲理和價值觀教育，讓課堂真正地活起來，讓學生熱愛數(shù)學，這才是教育的真諦！

環(huán)節(jié)四：對互聯(lián)網(wǎng)+教學下的數(shù)學建模課總結與反思

2014年青島二中開始實施的互聯(lián)網(wǎng)+教學改革大大提升了學生的自學能力、提高了課堂效率. 2017年隨著新課程改革的深入進行，青島二中數(shù)學組的老師們借助互聯(lián)網(wǎng)和PAD教學模式，使數(shù)學建模課在常規(guī)課程、選修課程、競賽課程三個層次由淺入深進行教學. 常規(guī)課程：由現(xiàn)實情境問題引入課題，在章節(jié)結束安排建模實踐案例講解和探究實踐，旨在提升學生的數(shù)學應用意識;選修課程：開設數(shù)學建模選修課，供數(shù)學MT學生選修，介紹和講解更多基于高中知識的建模案例，加深學生對數(shù)學建模環(huán)節(jié)與流程的理解，能自主發(fā)現(xiàn)問題并建模解決問題;競賽課程：組織學生參與各類數(shù)學建模競賽，提供數(shù)學建模論文寫作指導和軟件編程實踐機會，能合作解決問題并形成規(guī)范的論文. 例如函數(shù)章節(jié)的放穩(wěn)椅子問題，三角函數(shù)章節(jié)的氣溫預測問題，解三角形章節(jié)的高度測量問題，數(shù)列章節(jié)的體溫、體重預測問題，存款、貸款問題，不等式章節(jié)的洗衣服問題，立體幾何章節(jié)的3D設計問題等. 青島二中給予學生有充分的自主發(fā)展空間，利用周二周三選修課時間將數(shù)學熱情高、數(shù)學能力強的學生聚集到數(shù)學MT，團隊內(nèi)具備濃厚的數(shù)學學習氛圍.數(shù)學MT的導師們給予數(shù)學建模課程教學充分支持，同時也聘請豐富而優(yōu)質的校外教學資源，如中國海洋大學數(shù)學院和青島大學數(shù)學院的老師們給予學生建模學習的指導，學生多次參與海大的建模課程觀摩;學校建有數(shù)學建模實驗室，給學生軟件操作、合作交流提供便利條件，使得一些建模能力強興趣高的學生脫穎而出，發(fā)展了特長，為未來的專業(yè)選擇確立了方向. 近三年來有多支隊伍獲得登峰杯初賽、決賽一等獎，美國高中生數(shù)學建模比賽特等獎及特等獎入圍獎，成功舉辦了三屆全國山海杯數(shù)學建模大賽并獲得特等獎、一等獎等好成績;數(shù)學建模社獲得2017年優(yōu)秀社團榮譽稱號.

未來之路還很長，為了學生的長遠發(fā)展，在互聯(lián)網(wǎng)+教學的助力下，數(shù)學建模課定會乘風破浪、繼續(xù)遠航！