初中二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題策略研究

黃湖

[摘? 要] 近幾年，二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合的試題是中考中的重要題型. 因?yàn)樵擃愋偷念}目通常需要將二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，并且動(dòng)點(diǎn)問題與不動(dòng)點(diǎn)問題相比，需要考慮的方面更多，所以很多學(xué)生無法正確解答，這是現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中一個(gè)十分常見的現(xiàn)象. 基于此，文章立足于數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，分析了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的解決方法，希望以下內(nèi)容的研究具有一定參考價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);動(dòng)點(diǎn)問題;解題方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求，在原有基礎(chǔ)知識(shí)以及基礎(chǔ)技能教學(xué)之上，又需要數(shù)學(xué)教師完成學(xué)生的數(shù)學(xué)思想及生活經(jīng)驗(yàn)教學(xué)，而如何通過數(shù)學(xué)知識(shí)以及教學(xué)活動(dòng)完成上述教學(xué)目標(biāo)成為廣大一線教師必須考慮的問題之一. 本文主要立足于二次函數(shù)知識(shí)，對(duì)較為典型的動(dòng)點(diǎn)問題案例進(jìn)行剖析，以求可以達(dá)到新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)要求.

精心選題，相機(jī)引導(dǎo)

例題教學(xué)一直都是初中數(shù)學(xué)教師常用的一種重要教學(xué)方法，尤其是對(duì)于二次函數(shù)知識(shí)的講解有著重要輔助作用. 而為了保證教學(xué)質(zhì)量，教師需要在課程開始之前做好例題的篩選，保證講解的例題具有代表性，同時(shí)，如果現(xiàn)有例題尚未達(dá)到教學(xué)要求，教師可以根據(jù)教學(xué)需求對(duì)例題進(jìn)行適當(dāng)改編，這也是一個(gè)優(yōu)秀教師需要具備的技能之一. 就目前的教學(xué)情況而言，例題的優(yōu)劣顯然會(huì)成為決定課堂教學(xué)質(zhì)量的重要因素之一.

例題? 如圖1，現(xiàn)有一直線與直角坐標(biāo)系交點(diǎn)為點(diǎn)A、點(diǎn)B，并與O點(diǎn)構(gòu)成△ABO. 直線可以表示為“y=- x+1 ”. 之后以O(shè)點(diǎn)為圓點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)△ABO形成△CDO，此時(shí)點(diǎn)A，C，D都在拋物線“y=ax2+bx+c ”上，試求出以下問題答案.

（1）確定點(diǎn)A，B，C，D的準(zhǔn)確坐標(biāo)參數(shù);

（2）求解二次函數(shù)表達(dá)式;

（3）在直線BG（G為拋物線頂點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)F，構(gòu)成△ABF與△CDO相似，并且說明理由.

解：（1）根據(jù)圖形情況可以確定上述四點(diǎn)具體坐標(biāo).

（2）在確定A，C，D坐標(biāo)之后，二次函數(shù)表達(dá)式呼之欲出，y=-x2+2x+3.

（3）如圖2所示，我們首先以頂點(diǎn)G為基準(zhǔn)，向直角坐標(biāo)系y軸作垂線，這樣就得到了點(diǎn)H，那么根據(jù)直角坐標(biāo)系坐標(biāo)以及勾股定理就可以知曉，GH=OB，BH=OA，GB=AB，所以∠GBA是一個(gè)直角，那么上述問題最終可以轉(zhuǎn)化為證明 = 或 = . 因此具體的解決方法將會(huì)有以下兩種情況.

①首先證明 = 的情況. 除了BF長度未知，其他線段長度均可以通過直角坐標(biāo)計(jì)算得出，因此BF的最終長度應(yīng)該是 . 那么我們以F為基準(zhǔn)點(diǎn)，同樣向y軸作垂線，得出點(diǎn)N，此時(shí)將會(huì)有 = ，如果我們將點(diǎn)F的坐標(biāo)設(shè)定為（x，y），那么NF=x= ，所以最終F點(diǎn)的坐標(biāo)分為兩種情況，分別為 ，2，- ，0.

②接著證明 = 的情況，證明方法相同，此時(shí)的F點(diǎn)我們稱之為F ，因?yàn)锽F=3，所以F 坐標(biāo)為（3，10）.

得到的三種情況的F點(diǎn)坐標(biāo)便是兩個(gè)三角形相似的所有可能性.

解析? 上述例題其實(shí)是一個(gè)十分典型的二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)綜合問題，題干及問題簡單整潔，但是所考查的知識(shí)內(nèi)容十分全面，不僅包含直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)，還包含圖形旋轉(zhuǎn)以及三角形. 想要正確解答上述例題，要求學(xué)生具備完善的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合及方程思想等. 三個(gè)問題相互關(guān)聯(lián)且層層遞進(jìn)，第三個(gè)問題中的動(dòng)點(diǎn)問題為學(xué)生與教師的研究、交流提供了穩(wěn)定平臺(tái).

點(diǎn)睛? 對(duì)上述例題內(nèi)容進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，考查的主要內(nèi)容集中于第三個(gè)問題，而面對(duì)動(dòng)點(diǎn)存在與否，學(xué)生需要抓住一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是“找”. 簡單而言，學(xué)生首先需要確定的是動(dòng)點(diǎn)是否存在，確定之后還要分析動(dòng)點(diǎn)存在幾個(gè)，這其中需要學(xué)生合理應(yīng)用定理以及公式，完成推斷并假設(shè). 通常情況下，可以將上述整個(gè)流程確定為以下幾個(gè)步驟，第一步“設(shè)問”、第二步“尋找”、第三步“驗(yàn)證”，這也是學(xué)生解題最為清晰的一種思路.

變式追問，互動(dòng)生成

數(shù)學(xué)教學(xué)不單單是讓學(xué)生得出最終答案，最為主要的是讓學(xué)生“吃透”一類題型的特點(diǎn)以及原理，只有這樣學(xué)生在解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手，并且做到舉一反三. 而為達(dá)到上述目的，筆者認(rèn)為教師可以采用“變式追問”的方法深化學(xué)生理解，提高學(xué)生認(rèn)知. 筆者對(duì)例題的第三個(gè)問題進(jìn)行改編，以求達(dá)到“變式追問”的目的.

1. 探究面積問題

變式1? 如圖3，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，并且這一動(dòng)點(diǎn)僅存在于直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，那么當(dāng)M在哪個(gè)位置時(shí)，以M，A，C為頂點(diǎn)的三角形面積最大？并且確定最大面積為多少.

首先我們對(duì)問題進(jìn)行分析，有一動(dòng)點(diǎn)M僅存在于第一象限內(nèi)，并且需要求得與這一動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的三角形最大面積，因此應(yīng)該確定M的坐標(biāo)，此時(shí)我們姑且設(shè)定其坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)二次函數(shù)方程可以得出“n=-m2+2m+3”. 我們以M點(diǎn)為基點(diǎn)，向x軸作垂線，交線段AC于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)H，那么解題方法可以有以下兩種.

方法1：如圖3所示，我們可以將目標(biāo)三角形的面積表示為兩個(gè)三角形面積的和，也就是△CMG以及△AMG的面積和. 那么S = MG·OH+ MG·AH，這樣問題就迎刃而解了.

方法2：我們可以確定直線AC的函數(shù)方程，想要M點(diǎn)與A點(diǎn)、C點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大，就需要過M點(diǎn)的拋物線切線與AC相互平行，設(shè)定平行時(shí)的M點(diǎn)拋物線切線交y軸于點(diǎn)N，那么直線MN的函數(shù)方程則可以表示為y=-x+b，這樣可以確定x2-3x+b-2=0，b的最終結(jié)果為 ，這樣面積以及點(diǎn)坐標(biāo)的求解就可以簡單完成.

2. 探究特殊三角形

變式2? 在拋物線的對(duì)稱軸之上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，那么什么情況下，以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？

根據(jù)二次函數(shù)基本性質(zhì)，我們可以直接確定拋物線對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)，也就是“- =1”. 因此P點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定為（1，x），所以PD2，PC2，DC2都可以應(yīng)用代數(shù)式進(jìn)行表示，并且有PD2=x2+4，PC2=x2-6x+10，DC2=10. 因?yàn)槭莿?dòng)點(diǎn)，所以存在以下幾種情況：

①如果PD與PC是三角形的兩個(gè)腰，那么就會(huì)有PD2=PC2，最終確定x的值為1.

②如果PD與DC是三角形的兩個(gè)腰，同樣成立PD2=DC2，最終確定x的值為± .

③如果PC與DC是三角形的兩個(gè)腰，同樣成立PC2=DC2，最終確定x的值為0或6，但是當(dāng)x數(shù)值等于6時(shí)，三點(diǎn)無法構(gòu)成一個(gè)三角形，所以該結(jié)果不成立.

所以最終求解的動(dòng)點(diǎn)P應(yīng)該有四種可能性.

綜上所述，二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題十分具有教學(xué)代表性，廣大教師不能僅僅將其看作是一種類型題，而是應(yīng)該基于該種題目，挖掘題目內(nèi)在的教學(xué)作用. 只有這樣學(xué)生才能獨(dú)立形成完整的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而達(dá)到舉一反三的效果. 并且教學(xué)過程中，教師的引導(dǎo)十分重要，從人文角度出發(fā)，教師應(yīng)該給予學(xué)生更多的自信心.