如何破解高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值問題

翁貽聲

摘 要：三角函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)。由于三角函數(shù)最值問題的求解難度比較大，所以很多學(xué)生在遇到這類題目時(shí)經(jīng)常會(huì)無從下手。無刺激，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要詳細(xì)講解這類題目的解題思路、方法，并教會(huì)學(xué)生如何尋找突破解題難題，高效率解題。文章就此展開了論述，簡單闡述了如何應(yīng)用換元法、配方法、數(shù)形結(jié)合法等突破三角函數(shù)最值問題，提高學(xué)生解題效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);最值問題

就目前來看，三角函數(shù)最值問題的求解教學(xué)現(xiàn)狀并不樂觀。大部分學(xué)生仍是傾向于單一的解題思路、方法，解題效率非常低下。因此，為了改變這一現(xiàn)狀，提升學(xué)生的解題效率，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)創(chuàng)新三角函數(shù)最值問題教學(xué)，從而使學(xué)生掌握更多的解題方法。

一、換元法解題

換元法是一種比較常見的解題方法。具體來說，是引入特定的變量取代其中的已知變量、代數(shù)式，然后再進(jìn)行簡化、求解。但通常情況下，多是替換掉其中比較復(fù)雜的變量、代數(shù)式，從而降低三角函數(shù)的解題難度。在講解換元法的應(yīng)用時(shí)，教師還應(yīng)讓學(xué)生多注意三角函數(shù)的定義域、取值范圍，以免造成疏漏，影響到最終的計(jì)算結(jié)果。

例如這樣一道題目：求函數(shù)的最值。在看到這道題目時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)若要求解該函數(shù)的最值，主要就是進(jìn)行函數(shù)變形，以便能夠利用三角函數(shù)有界性進(jìn)行計(jì)算、求值。在具體求解過程中就可應(yīng)用換元法，其解題思路是將原始化簡為，也就是。這時(shí)令，，然后就可以進(jìn)行化簡，并求解最終的計(jì)算結(jié)果。從中能夠看出，換元法的最大優(yōu)點(diǎn)就是可以清晰地展示出函數(shù)取值范圍，并簡化題目計(jì)算難度。但是教師在教學(xué)中，應(yīng)重點(diǎn)講解如何選擇換元部分，迅速找到解題突破口。

二、配方法解題

從三角函數(shù)最值求解問題來看，配方法的應(yīng)用也非常廣泛。具體來說，配方法是指增加合適的單項(xiàng)式，將原來的三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而后找到取值的限定條件，并最終求解出其最值。一般情況下，采用配方法多是將無規(guī)則的多項(xiàng)式變成有規(guī)律的多項(xiàng)式。如將其轉(zhuǎn)化為正余弦公式、二倍角公式展開式等。其中最關(guān)鍵的步驟就是合理選擇配方所需的單項(xiàng)式。

例如這樣一道題目：求的最值。的形式類似于平方公式所以，在求解過程中可嘗試配方將其轉(zhuǎn)換成為標(biāo)準(zhǔn)的平方公式。即，然后就能得到。而sinx的取值范圍已經(jīng)確定，再進(jìn)行簡單計(jì)算就能得出函數(shù)的最值。一定要注意，學(xué)生在求解最值時(shí)還應(yīng)密切關(guān)注對稱軸與已知定義域之間的關(guān)系。如果對稱軸在已知定義域之內(nèi)，則對稱點(diǎn)對應(yīng)的值應(yīng)為最大或最小值，而后再判斷已知定義域的兩個(gè)點(diǎn)與對稱點(diǎn)橫坐標(biāo)的距離，準(zhǔn)確劃分其最大或最小值。如果對稱軸不在已知定義域內(nèi)，則需要先判定已知定義域是在函數(shù)上升區(qū)域內(nèi)，還是在下降區(qū)域內(nèi)。而后再計(jì)算最值?？偟膩碚f，換元法也是一種非常有效的三角函數(shù)最值求解方法。

三、數(shù)形結(jié)合法

對于一些比較復(fù)雜的三角函數(shù)來說，傳統(tǒng)的最值求解方法并不適用。而利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行分析、判斷，就能直觀地得到最終的結(jié)果。但在應(yīng)用這種方法之前，學(xué)生要理清題目給出的已知條件之間的關(guān)系，而后準(zhǔn)確畫圖、分析。教師在教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)講授其應(yīng)用過程，以便學(xué)生能夠充分了解到如何準(zhǔn)確畫圖、分析以及哪些三角函數(shù)題目適合這種方法。

例如這樣一道題目：求函數(shù)的值域。通常情況下，大部分學(xué)生只知道sinx的取值范圍，但是再次疊加后，學(xué)生就無法判斷最終的函數(shù)值域。最重要的是學(xué)生不能采用常規(guī)的計(jì)算方法，進(jìn)行化簡、求解。對此，也只有采用數(shù)形結(jié)合方法判斷函數(shù)值域。首先，先假設(shè)t=sinx，那么t的取值范圍就是[-1，1]。這時(shí)在了解t的取值范圍后，我們再畫圖觀察這個(gè)范圍內(nèi)的余弦函數(shù)圖像變化情況。如圖1所示，余弦函數(shù)是以x=0為對稱軸的，cost在-1，1處的函數(shù)值是相同的，且均為最小值。而其最大值為x=0對應(yīng)的余弦函數(shù)值。也就是說所求函數(shù)的值域范圍為。從中能夠看出在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法判斷三角函數(shù)最值時(shí)，也應(yīng)當(dāng)充分考慮函數(shù)的對稱軸問題，以免影響到最終的最值計(jì)算結(jié)果。

四、其它解題方法

除卻上述三種方法外，還可采用化一法、不等式法、判別式法。其中化一法是指使用降冪公式、倍角公式、三角函數(shù)和差公式等，進(jìn)行原三角函數(shù)的降冪化簡，從而降低解題難度。但是若要應(yīng)用這種方法，學(xué)生必須要熟練掌握這些公式，并能準(zhǔn)確計(jì)算。不等式法是指將三角函數(shù)化簡成為不等式形式，然后依據(jù)已知條件，判斷三角函數(shù)的最值。判別式法是指進(jìn)行三角函數(shù)的整理，而后依據(jù)實(shí)根條件進(jìn)行三角函數(shù)最值的判定。這種方法比較適合分式函數(shù)、無理三角函數(shù)的求解。

綜上所述，求解三角函數(shù)最值問題的關(guān)鍵是要依據(jù)給出的條件，準(zhǔn)確選擇解題方法。這樣不僅能縮短解題時(shí)間，而且還能降低解題難度，簡化運(yùn)算。所以，在三角函數(shù)最值問題的講解中，教師應(yīng)將教學(xué)重點(diǎn)放在如何靈活應(yīng)用方法突破三角函數(shù)最值問題之上，從而使學(xué)生熟練掌握各種解題方法。

參考文獻(xiàn)

[1]李濟(jì)澤.淺析高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值的問題求解方法[J].農(nóng)家參謀，2017（19）：180.

[2]沈依銘.高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題求解方法[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2017（02）：12.

[3]辛星.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中函數(shù)最值的問題求解方法分析[J].科技風(fēng)，2017（03）：266.