唯一neat環(huán)的一些性質(zhì)

王 菲, 應(yīng)志領(lǐng), 張 晶

(南京郵電大學(xué)理學(xué)院, 南京 210023)

文中所涉及的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán)．Nicholson[1]在研究模的可消去性問(wèn)題時(shí), 首次將每個(gè)元素都可以寫(xiě)成冪等元與可逆元和的環(huán)R稱(chēng)為clean環(huán)．近五十年來(lái),很多環(huán)論研究者探討了環(huán)的相關(guān)clean性, 如強(qiáng)clean環(huán)[2],唯一clean環(huán)[3-4], 唯一強(qiáng)clean環(huán)[5], 強(qiáng)Jn-clean環(huán)[6],m-clean環(huán)[7]等．其中, 環(huán)中的每個(gè)元素都可以唯一地表示成冪等元與可逆元和的環(huán)R稱(chēng)為唯一clean環(huán)．由于clean環(huán)的同態(tài)像仍是clean環(huán), McGovern[8]將環(huán)R的每個(gè)非平凡的同態(tài)像都是clean的環(huán)定義為neat環(huán)．受上述研究的啟發(fā), 本文引入唯一neat環(huán)的定義, 并給出一些等價(jià)刻畫(huà), 探討了群環(huán)是唯一neat環(huán)的充分條件或必要條件．

對(duì)于一個(gè)環(huán)R, 用N*(R)和J(R)分別表示環(huán)R的素根和Jacobson根, 其中N*(R)=0的環(huán)R稱(chēng)為是半素環(huán); 記Zn為整數(shù)環(huán)Z模n的剩余類(lèi)環(huán);Mn(R)和Tn(R)分別表示環(huán)R上的n階矩陣環(huán)和上三角矩陣環(huán)．更多的記號(hào)和術(shù)語(yǔ)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]．

1 唯一neat環(huán)的定義及性質(zhì)

由于唯一clean環(huán)的同態(tài)像仍是唯一clean的[4], 受neat環(huán)定義的啟發(fā), 本文引入如下環(huán)類(lèi):

定義1如果環(huán)R的任意一個(gè)非平凡的同態(tài)像都是唯一clean的, 那么R稱(chēng)為唯一neat環(huán)．

命題 1設(shè)環(huán)R是交換環(huán), 則下列條件等價(jià):

1)R是唯一neat環(huán);

2)R/aR是唯一clean環(huán), 其中a∈R{0,1};

3)R/aR是唯一neat環(huán), 其中a∈R{1}．

證明 1)?2)．當(dāng)a≠0且a≠1時(shí),aR是R的非零真理想, 故R/aR是R的非平凡同態(tài)像．由唯一neat環(huán)的定義可知,R/aR是唯一clean的．

1)?3)．由1)?2)可知．

2)?1)．設(shè)S為R的非平凡同態(tài)像, 則存在一個(gè)非零真理想I使得S?R/I．取I中的非零元素a, 顯然a≠0,1．由條件可知,R/aR是唯一clean環(huán)．因(R/aR)/(I/aR)?R/I, 故R/I是R/aR的同態(tài)像．由唯一clean環(huán)的同態(tài)像仍是唯一clean的, 知R/I是唯一clean環(huán), 即R是唯一neat環(huán)．

3)?1)．取a=0可知．

定理1若R是交換唯一neat環(huán), 但不是唯一clean環(huán), 則R一定為半素環(huán)．

2 唯一neat群環(huán)

對(duì)于群G和環(huán)R, 群環(huán)RG是clean環(huán)、唯一clean環(huán)或neat環(huán)的充分條件或必要條件都已得到深入地研究[8-11], 本文將研究群環(huán)RG的唯一neat性．

命題 2如果群環(huán)RG是唯一neat環(huán), 其中J(R)≠0且G≠{1}, 那么R是唯一clean環(huán)且G是一個(gè)2-群．

證明 記RG的增廣理想為Δ(RG), 有RG/Δ(RG)?R．因?yàn)槿篏≠{1}, 所以R是RG的非平凡同態(tài)像, 即R是唯一clean環(huán)．由文獻(xiàn)[9]中定理20可知,R/J(R)是布爾環(huán), 從而Z2是R的同態(tài)像．又J(R)≠0, 故Z2是R的非平凡同態(tài)像, 知Z2G是RG的非平凡同態(tài)像, 且是唯一clean環(huán)．同時(shí), 由文獻(xiàn)[9]中定理5知G是一個(gè)2-群．

如果R是唯一clean環(huán)且G是一個(gè)2-群, 不能知道RG是否為唯一neat環(huán), 但對(duì)于一些特殊情況是成立的．

命題 3如果R是一個(gè)不同構(gòu)于Z2的布爾環(huán), 且G≠{1}是一個(gè)局部有限群, 那么群環(huán)RG是唯一neat環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)G是一個(gè)2-群．

證明 必要性．因?yàn)镽是一個(gè)不同構(gòu)于Z2的布爾環(huán), 所以Z2是R的非平凡同態(tài)像,Z2G是RG的非平凡同態(tài)像, 是唯一clean環(huán)．再由文獻(xiàn)[9]中定理5知G是一個(gè)2-群．

充分性．由文獻(xiàn)[9]中引理9易得．

命題 4如果R是一個(gè)J(R)≠0的環(huán), 且G≠{1}是一個(gè)局部有限群, 那么群環(huán)RG是唯一neat環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是唯一clean環(huán)且G是一個(gè)2-群．

命題 5如果R是一個(gè)J(R)≠0的環(huán), 且G≠{1}是一個(gè)可解群, 那么群環(huán)RG是唯一neat環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是唯一clean環(huán)且G是一個(gè)2-群．