不容小覷的“填空壓軸題”

康海芯

各地的中考數(shù)學(xué)試題中填空題的最后一道題，因?yàn)榭疾榈谋尘靶路f鮮活，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，更側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用，已然成為一類不容小視的壓軸題。這就要求我們有較強(qiáng)的理解、分析和解決問(wèn)題的能力，為幫助大家掌握填空壓軸題的命題特點(diǎn)和解題策略，老師將結(jié)合2019年的部分中考試題加以分析，供大家參考。

一、探究最值型

例1（2019·江蘇南通）如圖1，?ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+23PD的最小值等于。

【解析】如圖2所示，題中已知B、D是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)AD至E，可知∠PDE=60°。要得到長(zhǎng)為23PD的線段，只要過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，即可構(gòu)造Rt△PDE，可得EP=23PD，即PB+23PD=PB+PE。要得PB+PE的最小值，只要點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線且BE⊥AD，那么要求的最小值即為BE的長(zhǎng)。在Rt△ABE中，AB=6，∠BAE=60°，依據(jù)BE3sin∠A=AB，解得BE=33，即PB+2PD的最小值為33。

【點(diǎn)評(píng)】解答這類最值問(wèn)題時(shí)，常用的方法是構(gòu)造直角三角形，把兩條線段之和最值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題。

二、圖形變換型

例2（2019·江蘇鹽城）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式是。

【解析】根據(jù)已知條件無(wú)法直接求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合題中∠ABC=45°聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，即過(guò)A作AF⊥AB交BC于F，得到AB=AF，隨后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可。過(guò)F作FE⊥x軸于E，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=OB=1，EF=OA=2，求得F（2，-2），最后利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=13x-1。

【點(diǎn)評(píng)】解答這類圖形變換問(wèn)題時(shí)，若題中出現(xiàn)直角三角形和45°兩個(gè)條件時(shí)，我們可以考慮作垂線構(gòu)造“一線三直角”模型，利用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)來(lái)求解。

例3（2019·江蘇揚(yáng)州）如圖5，在△ABC中，AB=5，AC=4，若進(jìn)行以下操作，在邊BC上從左到右依次取點(diǎn)D1、D2、D3、D4......過(guò)點(diǎn)D1作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E1、F1;過(guò)點(diǎn)D2作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E2、F2;過(guò)點(diǎn)D3作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E3、F3......則4（D1E1+D2E2+...+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+...+D2019F2019）=。

【解析】根據(jù)題中條件D1F1∥AC，D1E1∥AB，利用平行線分線段成比例定理D1F1BF1D1F1AB-D1E1可得AC=AB，即AC=AB。因?yàn)锳B=5，AC=4，則有4D1E1+5D1F1=20;同理有如下規(guī)律4D2E2+5D2F2=20，......，4D2019E2019+5D2019F2019=20，因此4（D1E1+D2E2+...+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+...+D2019F2019）=20×2019=40380。

【點(diǎn)評(píng)】解答這類規(guī)律探究問(wèn)題時(shí)，我們常用的方法是由特殊出發(fā)，多算幾組線段的長(zhǎng)，多比較幾組數(shù)，發(fā)現(xiàn)循環(huán)組，即可快速找到解決思路。

例4（2019·江蘇常州）如圖6，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE=2BE，點(diǎn)M、N在線段BD上。若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN=。

【解析】題中M、N在線段BD上，但位置沒(méi)有指明，而△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則應(yīng)考慮分類討論求解，即分以下兩種情況。1如圖7，當(dāng)MN為等腰△PMN的底邊時(shí)，作PF⊥MN于F，則∠PFM=∠PFN=90°。由矩形的性質(zhì)得出AB=CD，BC=AD=3AB=310，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=10，BD=AB2+AD2=10。證明PFPD3△PDF∽△BDA，得出AB=BD，求出PF=2。CE=2BE=210，則CE=2CD。∠PFN=∠C=90°，∠PNF=∠DEC，證得△PNF∽△DEC，得出NF=CE=2，求出NF=2PF=3，再由PFCD等腰三角形的性質(zhì)得出MF=NF，即可得出MN=2NF=6。2如圖8，當(dāng)MN為等腰△PMN的腰時(shí)，作PF⊥BD于F。由1得PF=32，MF=3。設(shè)MN=PN=x，則FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程為（3）2+（3-x）2=x2，解方程即可解得x=15，即MN=15。綜上所述，MN的長(zhǎng)為6或15。

【點(diǎn)評(píng)】解答涉及圖形形狀是等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，要分清是等腰直角三角形、等腰鈍角三角形、等腰銳角三角形中的哪個(gè)，涉及直角三角形要分清哪個(gè)角是直角，涉及平行四邊形的線段時(shí)注意分類考慮邊和對(duì)角線，涉及相似三角形時(shí)注意分類考慮對(duì)應(yīng)邊。

五、函數(shù)幾何綜合型

例5（2019·浙江寧波）如圖9，過(guò)原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=x（k>0）的圖像交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限。點(diǎn)C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)D。AE為∠BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為E，連接DE。若AC=3DC，△ADE的面積為8，則k的值為。

【解析】根據(jù)題中已知條件無(wú)法利用面積法求出k的值，嘗試考慮連接OE、CE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸，DG⊥AF。由已知條件第一句可得A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴O是AB的中點(diǎn)。∵BE⊥AE，∴OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，再由AE為∠BAC的平分線，可得∠OAE=∠CAE，則AD∥OE，進(jìn)而可得S△ACE=S△AOC=12。設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，k），由已知條件AC=3DC，DH∥AF，可得3DH=AF，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（3m，）。由證明△DHC∽△AGD，得到S△HDC=4S△ADG，所以S=S+S+S=1k+4k+1k=12，解方程即可求出k的值為6。

【點(diǎn)評(píng)】解答反比例函數(shù)與幾何圖形問(wèn)題時(shí)，采用的方法是通過(guò)設(shè)未知數(shù)表示圖形中的某條線段的長(zhǎng)，利用等量關(guān)系（相似性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等）列方程解決問(wèn)題。

（作者單位：廣東省深圳市龍華中學(xué)）

初中數(shù)學(xué)規(guī)律探索問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一類題型，也是近年來(lái)中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型。就其形式而言有數(shù)式、圖形、數(shù)形結(jié)合等方式。下面，老師就以數(shù)式型規(guī)律探索題為例，談?wù)劷獯鸺记伞?/p>

例1（2019·湖北武漢）觀察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：250、251、252......299、2100。若250=a，用含a的式子表示這組數(shù)的和是（）。

A.2a2-2aB.2a2-2a-2

C.2a2-aD.2a2+a

【分析】我們要通過(guò)觀察，分析、歸納其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題。解決本題的難點(diǎn)在于得出規(guī)律：2+22+23+...+2n=2n+1-2。那么250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249），將規(guī)律代入計(jì)算即可。

解：∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......

∴2+22+23+...+2n=2n+1-2，∴250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，

∴原式=2a-a。

故選C。

例2（2019·山東濟(jì)寧）已知有理數(shù)a=?1，我們把1稱為a的差倒數(shù)，1-a如：2的差倒數(shù)是1=-1，-1的差倒數(shù)是1-（-1）=2。如果a1=-2，a2是a1的差111-2倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)......依此類推，那么a1+a2+...+a100的值是（）

【分析】解決本題，我們要通過(guò)從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況。求出數(shù)列的前4個(gè)數(shù)，從而得出

這個(gè)數(shù)列以-2，1，3依次循環(huán)，且-2+131323+2=-6，再求出這100個(gè)數(shù)中有多少個(gè)周期，從而得出答案。

解：∵a=-2，∴a=1=1，a=121-（-2）33

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

1=3，a=1=-2......

1-13241-32

13∴這個(gè)數(shù)列以-2，，依次循環(huán)，

13132且-2+3+2=-6，

故選A。

例3（2019·湖南株洲）從-1，1，2，4四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)（記作ak，bk）構(gòu)成一個(gè)數(shù)組MK={ak，bk}（其中k=1，2......S，且將{ak，bk}與{bk，ak}視為同一個(gè)數(shù)組），若滿足：對(duì)于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，則S的最大值（）。

【分析】找出ai+bi共有幾個(gè)不同的值是解題的關(guān)鍵。求出ai+bi的值，結(jié)合對(duì)于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，即可得出S的最大值。

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5個(gè)不同的值。

又∵對(duì)于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?

aj+bj，

∴S的最大值為5。

故選C。

例4（2019·貴州安順）如圖1，將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第3行、第4列的數(shù)是12，則位于第45行、第7列的數(shù)是。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀

察，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題。觀察圖表可知第n行第一個(gè)數(shù)是n2，可得第45行第一個(gè)數(shù)是2025，再觀察每一行數(shù)字的變化規(guī)律，從而推出

結(jié)果。

解：觀察圖表可知第n行第一個(gè)數(shù)是n2，

∴第45行第一個(gè)數(shù)是2025，

∴第45行、第7列的數(shù)是2025-6=2019。

故答案為2019。

例5（2019·海南）有2019個(gè)數(shù)排成一行，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和。如果第一個(gè)數(shù)是0，第二個(gè)數(shù)是1，那么前6個(gè)數(shù)的和是，這2019個(gè)數(shù)的和是。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律。我們可以根據(jù)題意寫出這組數(shù)據(jù)的前幾個(gè)數(shù)，從而依據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律解決問(wèn)題。

解：由題意可得，這列數(shù)為：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1......

∴前6個(gè)數(shù)的和=0+1+1+0+（-1）+（-1）=0，

∵2019÷6=336...3，

∴這2019個(gè)數(shù)的和=0×336+（0+1+1）=2。

故答案為0，2。

例6（2019·安徽）觀察以下等式：

......

按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫出第6個(gè)等式：;（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：

（用含n的等式表示），并證明。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出2=1+1的規(guī)

2n-1nn（2n-1）律，并熟練加以運(yùn)用。

解：（1）第6個(gè)等式為2=1+1。21111666

（2）=+。2n-1nn（2n-1）

證明：∵右邊=1+1

nn（2n-1）

2n-1+1=2=左邊。

n（2n-1）2n-1

∴等式成立。

故答案為2=1+

探索規(guī)律型試題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的歸納、猜想的思考方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。根據(jù)條件中的信息，結(jié)合自己掌握的知識(shí)，做出一種可能存在的規(guī)律性的結(jié)論推斷，這就是歸納、猜想的過(guò)程。解決這類問(wèn)題的思路是從簡(jiǎn)單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，經(jīng)過(guò)提煉、歸納、猜想，尋找到一般的規(guī)律，從而解決問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）