揭開斐波那契數(shù)列的神秘面紗

萬(wàn)廣磊

有這樣一個(gè)數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368......這個(gè)數(shù)列前兩個(gè)數(shù)均為1，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

公元前200年左右，一位印度數(shù)學(xué)家在研究用箱子包裝物件長(zhǎng)度恰好為1和2時(shí)的方法時(shí)首先描述了這個(gè)數(shù)列。到了中世紀(jì)，來(lái)自意大利的數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例引入這組數(shù)列，故又稱為“兔子數(shù)列”，后來(lái)命名為“斐波那契數(shù)列”。

在自然界中，一些植物的花瓣、萼片、果實(shí)的數(shù)目以及排列的方式，都是非常貼合斐波那契數(shù)列的。在一定條件下，我們通過(guò)細(xì)致觀察可以發(fā)現(xiàn)，向日葵的花盤中有2組螺旋線，一組以順時(shí)針?lè)较虮P繞，另一組則按照逆時(shí)針?lè)较虮P繞，并且彼此相嵌。雖然不同的向日葵品種中，這些順逆螺旋的數(shù)目并不固定，但這些數(shù)目往往不會(huì)超出34和55、55和89、89和144這三組數(shù)字，每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。

再比如樹木的生長(zhǎng)。新生的枝條需要一段“休息”時(shí)間供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。一株樹苗在一年后長(zhǎng)出一條新枝，第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā);此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝丫數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。

我們觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目也具有斐波那契數(shù)：3、5、8、13、21......通常來(lái)說(shuō)，百合花花瓣數(shù)為3，梅花花瓣數(shù)為5，飛燕草花瓣數(shù)為8，萬(wàn)壽菊花瓣數(shù)為13，向日葵有21和34兩個(gè)數(shù)目的花瓣數(shù)，雛菊有34、55和89三個(gè)數(shù)目的花瓣數(shù)。

為什么自然界中有如此之多的斐波那契數(shù)列巧合呢？這是植物在大自然中長(zhǎng)期適應(yīng)和進(jìn)化的結(jié)果，是為了讓自己最充分地利用陽(yáng)光和空氣，繁育更多的后代。當(dāng)然，受氣候或病蟲害的影響，很多植物生長(zhǎng)不一定嚴(yán)格按照斐波那契數(shù)列。

眾多的數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)于斐波那契數(shù)列的研究熱情很高，也編擬出了很多與之有關(guān)的數(shù)學(xué)趣題，下面我們一起來(lái)看看吧。

一、臺(tái)階的走法

面對(duì)11級(jí)臺(tái)階，小敏一步只能上1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階，那么1級(jí)臺(tái)階只有1種走法，記為（1）;2級(jí)臺(tái)階有兩種走法，記為（1、1），（2）;3級(jí)臺(tái)階有3種走法，記為（1、1、1），（1、2），（2、1）;4級(jí)臺(tái)階有5種走法，記為（1、1、1、1），（1、1、2），（1、2、1），（2、1、1），（2、2）......小敏發(fā)現(xiàn)，當(dāng)臺(tái)階數(shù)分別為1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)、5級(jí)、6級(jí)......逐漸增加時(shí)，上臺(tái)階的不同走法依次為1、2、3、5、8、13......這就是著名的斐波那契數(shù)列。那么小敏上到11級(jí)臺(tái)階共有（? ）種不同走法。

A.34B.89C.144D.233

【解析】根據(jù)題意可知，第7級(jí)的走法有8+13=21種，第8級(jí)的走法有13+21=34種，第9級(jí)的走法有21+34=55種，第10級(jí)的走法有34+55=89種，第11級(jí)的走法有55+89=144種。故選C。

二、黃金分割比

“相鄰兩個(gè)斐波那契數(shù)的比值隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割比5-1=20.6180339887...”是斐波那契數(shù)列的另一個(gè)性質(zhì)。請(qǐng)?zhí)骄坎聹y(cè)該數(shù)列中的第2020項(xiàng)與2021項(xiàng)的比值與黃金分割比的大小關(guān)系為（）。

【解析】根據(jù)數(shù)列可知，斐波那契數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值大于黃金分割比，偶數(shù)項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值小于黃金分割比。因?yàn)榈?020項(xiàng)是偶數(shù)項(xiàng)，所以第2020項(xiàng)與2021項(xiàng)的比值小于黃金分割比。故選C。

三、斐波那契螺旋線

如圖，矩形ABCD是由以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼接而成的，在每個(gè)正方形中作一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分。在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）。

【解析】由已知可得，矩形ABCD的面積為（3+5）×（2+3+8）=104，又因?yàn)殛幱安糠值拿娣e為4（12+12+22+32+52+82）=26π，所以26ππ該點(diǎn)取自陰影部分的概率為104=4。故選D。

四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8......人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。設(shè)a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5......則（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7+a6a8）-（a22+a32+a42+a52+a62+a72）=（）。

A.0B.-1C.1D.2

【解析】因?yàn)閍1a3-a22=1×2-1=1，a2a4-a32=1×3-22=-1，a3a5-a42=2×5-32=1……

所以（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7+a6a8）-（a2+a2+a2+a2+a2+a2）=0。故選A。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）