“正方形半角”模型在中考?jí)狠S題中的應(yīng)用

張杰

【數(shù)學(xué)模型】如圖1，若在正方形ABCD中，E、F分別在AD、CD上，且∠EBF=45°。則有如下結(jié)論：

（1）EF=AE+CF;

（2）△EDF的周長(zhǎng)=AD+CD=正方形周長(zhǎng)的一半。

【解析】如圖2，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，延長(zhǎng)DC到G，使CG=AE，可以證明△ABE≌△CBG，所以BE=BG，∠ABE=∠CBG。因?yàn)椤螮BF=45°，所以∠GBF=45°，所以∠EBF=∠GBF，所以△EBF≌△GBF，從而證明EF=FG=FC+CG=FC+AE，△EDF的周長(zhǎng)=AD+CD=正方形周長(zhǎng)的一半。

【點(diǎn)評(píng)】在中考?jí)狠S題中，特別是動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，如果出現(xiàn)正方形中存在45°的三角形時(shí)，我們可以加以應(yīng)用。命題者通常會(huì)把點(diǎn)E、F作為兩邊的動(dòng)點(diǎn)，產(chǎn)生的Rt△EDF的邊長(zhǎng)改變，面積也會(huì)改變，但周長(zhǎng)不變，圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中就存在著變量與不變量，這也是最近幾年壓軸題的一個(gè)非常顯著的特點(diǎn)。

（2019·江蘇徐州）如圖3，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上?！鰽OB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，P在反比例函數(shù)y=9x的圖像上。PA的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C，PB的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)D，連接CD。

（1）求∠P的度數(shù)及點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）求△OCD的面積;

（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】（1）如圖4，過(guò)點(diǎn)P分別作PE、PF、PN垂直于y軸、x軸、AB，垂足分別為E、F、N，容易求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），∠APB的度數(shù)為45°。

（2）（解法1）如圖5，連接OP，

∵∠APB=45°，∠POF=45°。

∴∠PCO=∠DPO，且∠POC=∠DOP=135°，

∴△PCO∽△DPO，

即CO·DO=PO2=（3

∴△COD的面積=9。

（解法2）設(shè)OA=a，OB=b，則AE=3-a，BF=3-b。根據(jù)正方形中45°三角形模型得AB=AE+BF，∴AB=6-a-b。

∵AB2=OA2+OB2，

【點(diǎn)評(píng)】解法1的巧妙在于利用相似關(guān)系求出CO與DO的乘積，技巧性比較強(qiáng)。但考試的時(shí)候，我們?cè)诤芏痰臅r(shí)間內(nèi)難以想出這個(gè)思路。

解法2考慮到OA、OB長(zhǎng)度可以改變，這樣OC與OD的長(zhǎng)度也會(huì)改變，△COD的形狀隨之發(fā)生改變，但面積是否改變要看OC與OD的乘積。我們通過(guò)把OC、OD用OA、OB表示，運(yùn)用代數(shù)式的變形求出結(jié)果。利用“正方形半角”模型得AB=EA+FB，結(jié)合勾股定理構(gòu)建相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。這樣的思路比較簡(jiǎn)單，容易上手，好突破，也能為同學(xué)們高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

【解析】（3）（解法1）這里從“正方形半角”模型更容易入手。此問(wèn)就轉(zhuǎn)化成這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，當(dāng)Rt△AOB的周長(zhǎng)為一定值時(shí)，求它的面積的最大值。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們猜想這個(gè)直角三角形為等腰直角三角形時(shí)面積最大。

如圖6，過(guò)點(diǎn)P分別作PE、PF、PN垂直于y軸、x軸、AB，垂足分別為E、F、N。設(shè)OA=a，OB=b，

則AN=AE=3-a，BN=BF=3-b，∴AB=6-a-b，∴OA+OB+AB=6，

∴a+b+a2+b2=6，

∴2ab+2ab≤6，∴（2+2）ab≤6，

∴ab≤3（2-2），∴ab≤54-362，

∴S△AOB=12ab≤27-182，

∴△AOB的面積的最大值為27-182。（解法2）如圖7，取AB的中點(diǎn)M，連接PM、OM，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系知OM≥OP-PM=32-PM。因?yàn)辄c(diǎn)P在△AOB的外角平分線上，點(diǎn)P到AB的距離為3，

PM的最小值為3，所以O(shè)M≥32-3，此時(shí)

AB≥62-6。因?yàn)镾△AOB=S正方形PEOF-S△ABP-

S△APE-S△BPF，根據(jù)“正方形內(nèi)45°三角形”

模型AB=AE+BF，且點(diǎn)P到AB的距離為

3，可以證明S△ABP=S△APE+S△BPF。所以S△AOB1

=S正方形PEOF-2S△ABP=9-2×2×AB×3=9-3AB，所以當(dāng)AB=62-6時(shí)，S△AOB的面積有最大值，最大值為9-3（62-6）=27-182。

【點(diǎn)評(píng)】解法2是從幾何角度先得到AB的取值范圍，再利用“正方形半角”模型得到三角形之間的面積關(guān)系，最后根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出答案。

在今后的解題過(guò)程中，同學(xué)們?nèi)绻軓囊恍?shù)學(xué)模型的角度去思考問(wèn)題，便易于找到解決問(wèn)題的突破口，降低解題的難度。實(shí)際上許多復(fù)雜的問(wèn)題都可以看成是由一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型組合變化形成的。在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，希望同學(xué)們對(duì)一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型加以總結(jié)、積累和應(yīng)用，這樣你們解題能力會(huì)不斷提高。

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市寶堰中學(xué)）