數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的化歸思想與深度學(xué)習(xí)

顧文銓

摘? ? 要：數(shù)學(xué)解題教學(xué)中教師要運(yùn)用化歸思想，達(dá)成知識關(guān)聯(lián)，形成方法遷移，構(gòu)成思想整合，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);深度學(xué)習(xí);化歸思想

數(shù)學(xué)解題思想是靈魂，知識模塊是軀體，軀體的驅(qū)動需要靈魂的指引.本文以2020年溫州市數(shù)學(xué)二模卷中一道題的課堂講解為例，嘗試讓學(xué)生在化歸思想的引領(lǐng)下，經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生的解題思想、能力得到有效提升，這樣有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

一、化歸思想與深度學(xué)習(xí)的案例

（一）開門見山，引入化歸，達(dá)成知識關(guān)聯(lián)

化歸思想，其實我們在日常分析問題，解決問題時經(jīng)常用到，只不過絕大多數(shù)情況下我們只是停留在怎么解決所遇到的問題的層次，從而導(dǎo)致我們目光較淺，沒有認(rèn)識問題實質(zhì).所以在解題教學(xué)中，教師要讓學(xué)生跳出只追求解題結(jié)果的局限，能夠高屋建瓴，從解題思想的高度來對待所遇到的問題.

本節(jié)課開始，投影打出標(biāo)題：化歸思想.緊接著給出引例，三例齊出：

（1）5個大學(xué)生分配到三個單位，每個單位至少分配一人，有（? ）種分配方法;

（2）5個義工分別到3個社區(qū)參加服務(wù)，每個社區(qū)至少去一個，有（? ）種安排方法;

（3）5本不同的書獎勵給3個同學(xué)，每人至少一本，有（? ）種獎勵辦法.

這個時候，我們不再讓學(xué)生一個個題目算完，也不需要把這三個題目做完，而是引導(dǎo)學(xué)生分析出問題本質(zhì)都一樣，我們可以將各種情境化歸成我們熟悉的問題.將這個問題串用作本節(jié)課的開頭，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的信心.

（二）一題多解，各自化歸，形成方法遷移

在解決問題時，思維受阻則需要我們將其化歸到另外的情形，這種化歸是解決問題的有效策略，也是獲取成功的思維方式.常見的化歸方法有這些：換元變形，將無理式化為有理式，高次化成低次式;特殊和一般的轉(zhuǎn)化，一般問題特殊化，特殊問題一般化尋求解題思路;主元思想、正難則反等.在一題多解時，將其上升到思想方法的高度.正所謂欲窮千里目，更上一層樓.站在思想的高度，就有統(tǒng)攬全局的魄力和信心.

我們使用化歸思想，總是基于這樣的一個流程：從不熟悉問題到解答中，我們將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的、方便易解的問題，然后解決轉(zhuǎn)化出的問題，從而解決問題.這里涉及知識的遷移與聯(lián)系，和SOLO分類理論不謀而合.

方法溯源：柯西不等式在選修教材中出現(xiàn)幾年，雖然再次退出舞臺，但它的影響仍在.因為本題結(jié)構(gòu)和柯西不等式結(jié)構(gòu)類似，所以我們可以聯(lián)想，將其轉(zhuǎn)化成柯西不等式使用的結(jié)構(gòu)形式，從而達(dá)到解題的目的.

（三）方法小結(jié)，理解化歸，構(gòu)成思想整合

以上五種方法，無一例外都用到了化歸的思想.化歸思想在使用過程中，構(gòu)成思想整合基本原則：①熟悉化原則，將陌生的問題化歸熟悉的問題.比如方法二，經(jīng)過處理，變成我們非常熟悉的含參二次方程有解，求參數(shù)范圍的問題.②簡單化原則，將復(fù)雜問題簡單化，通過解決簡單化問題最終達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的.比如方法一，通過換元，將原先看不出具體意義的代數(shù)式變成圓的方程，配上后面的直線方程，思路一下清晰.③和諧化原則，通過結(jié)構(gòu)的變換，將其和已知的一些不等式建立一一對應(yīng)的聯(lián)系.比如方法五，我們通過結(jié)構(gòu)的配湊，將其構(gòu)造成柯西不等式的使用結(jié)構(gòu)，達(dá)到妙解的目的.

二、對化歸思想與深度學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)思考

（一）化歸思想教學(xué)有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)是個體在解決復(fù)雜的現(xiàn)實問題過程中表現(xiàn)出來的綜合性能力，新的課程標(biāo)準(zhǔn)給出數(shù)學(xué)六個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.這六個方面的達(dá)成無一不涉及化歸思想，因此，專家認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)聯(lián)與化歸[1]?.

運(yùn)算能力貫穿于學(xué)生整個學(xué)習(xí)生涯，首先知道怎么算，其次需要算出結(jié)果.在這個一題多解過程中，針對不同的解法，總是配合相應(yīng)的復(fù)雜程度不一的運(yùn)算量.正確求解出最后結(jié)果，這對學(xué)生的運(yùn)算能力要求很高.一個不動筆的課堂是沒有生氣的，學(xué)生在已有思路或者在教師引導(dǎo)下得到解題思路，然后通過一番計算得到最終結(jié)果，自身運(yùn)算能力得到提升，信心得到提升，運(yùn)算能力這個核心素養(yǎng)最終得到落實.

邏輯推理能力在各個方法的轉(zhuǎn)化過程中得到訓(xùn)練.如何將一個問題轉(zhuǎn)化到另外一個熟悉的問題上去，這里是通過一系列知識的關(guān)聯(lián)而成的.問題A化歸成問題B，問題B化歸成問題C，有一些定理、公理我們將其轉(zhuǎn)化.比如這里的方法三：為什么會想到三角換元，這是因為平方和等于常數(shù)，條件和這個非常相似，我們才建立起這個聯(lián)系，通過換元手段實現(xiàn)知識遷移.

在分析過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象也得到提升.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，我們在落實過程中不是單一的，而是很多綜合在一起落實下去，潤物細(xì)無聲地落實下去.

（二）學(xué)生經(jīng)歷化歸思想是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)過程

深度教學(xué)是指教師借助一定的活動情境帶領(lǐng)學(xué)生超越表層的知識符號學(xué)習(xí)，進(jìn)入知識內(nèi)在的邏輯形式和意義領(lǐng)域，挖掘知識內(nèi)涵的豐富價值，完整地實現(xiàn)知識教學(xué)對學(xué)生的發(fā)展價值，是在滿足學(xué)生需求的基礎(chǔ)上，對學(xué)生潛在學(xué)習(xí)能力的激發(fā).本節(jié)課中，我們通過一題多解，對自身知識體系不斷進(jìn)行重組提升.從以往的見題解題，解題再解題上升到化歸思想的高度.由以往的數(shù)據(jù)不同、情境不同導(dǎo)致題目不同的現(xiàn)象得到緩解，學(xué)生對于題目類型的歸類能力得到提升，做一題通一類.在化歸思想的指引下，新題、難題在固有知識的組合分解下，為我們的求解提供了可能.比如方法三，在該視角下，已知一個二元等式，求一元線性目標(biāo)式最值，我們都可以借助于判別式法這個通法來處理.掌握好一次式設(shè)t，帶入消元，得到二次含參方程，利用判別式求解參數(shù)范圍，即目標(biāo)式范圍.這樣我們就撇去數(shù)據(jù)的不同、代表元的不同，從根本上認(rèn)識此類問題.

（三）深度學(xué)習(xí)提升學(xué)生高階思維水平

本節(jié)課主題化歸思想，題目難度屬于SOLO分類層次理論中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，是一種高階思維.SOLO分類層次是從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象的思維結(jié)構(gòu).思維結(jié)構(gòu)由低到高依次為前結(jié)構(gòu)水平（P）、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平（U）、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平（M）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（R）和抽象拓展結(jié)構(gòu)水平（E）.解決此類問題需要我們能夠?qū)⒃O(shè)定的情境或已經(jīng)經(jīng)歷過的范圍內(nèi)利用相關(guān)知識進(jìn)行概括.而我們的深度學(xué)習(xí)，也恰恰就是抓住問題本質(zhì)，不同的知識點(diǎn)進(jìn)行交匯，建立起聯(lián)系從而達(dá)到解決問題的目的.這里的一題多解，每一個方法對應(yīng)都是一個知識點(diǎn)，然后我們將它應(yīng)用到這個具體問題中來.解決問題是深度學(xué)習(xí)的最終目的，我們教師在課堂上要多給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會，讓其完成自身的知識積累.

解題數(shù)學(xué)，不能全部以應(yīng)試、做題為主，不僅要重視培養(yǎng)能力和講授知識，更加要注意育人，力求通過具體的教學(xué)過程，讓學(xué)生形成正確價值觀念促進(jìn)其全面發(fā)展.不僅要授之以魚，更要授之以漁.通過深度學(xué)習(xí)，進(jìn)一步落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，構(gòu)建其知識體系，加深其對知識的理解，提高其知識加工的能力，把零散的、碎片化的知識模塊有機(jī)地組合到一起，多打磨，多推敲，讓數(shù)學(xué)解題教學(xué)彰顯獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格.

參考文獻(xiàn)：

[1]朱培培.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)引入部分的關(guān)聯(lián)與化歸——以圓的概念引入為例[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（4）：20.