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    基本不等式教學(xué)需注意的問(wèn)題及教學(xué)建議

    2020-09-02 07:24:23唐瑞趙思林
    關(guān)鍵詞:基本不等式教學(xué)建議教學(xué)問(wèn)題

    唐瑞 趙思林

    摘? ? 要:基本不等式是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的好素材.在基本不等式教學(xué)的新課引入中,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),可優(yōu)先考慮生活情境、弦圖法、“問(wèn)題串”法;對(duì)于基本不等式證明方法的選擇,除教材中提到的比較法、分析法和綜合法外,還有幾何法,而且可以利用“一題多證”培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

    關(guān)鍵詞:基本不等式;教學(xué)問(wèn)題;教學(xué)建議

    一、基本不等式的數(shù)學(xué)文化價(jià)值

    1.從趙爽的“弦圖”可發(fā)現(xiàn)基本不等式.中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中寫道:“以圖考之,倍弦實(shí),滿外大方,而多黃實(shí).黃實(shí)之多,即勾股差實(shí),以差實(shí)減之,開其余,得外大方.大方之面,即勾股并之.”[1]即:若直角三角形兩直角邊為[a,b,a>0,b>0],斜邊為[c],則

    2.從歐幾里得的矩形之變可發(fā)現(xiàn)基本不等式.歐幾里得最早給出了兩條已知線段的比例中項(xiàng)的作圖法,現(xiàn)行教材采用這種方法來(lái)發(fā)現(xiàn)和證明基本不等式.

    3.從芝諾多魯斯的等周問(wèn)題的結(jié)論可發(fā)現(xiàn)基本不等式.芝諾多魯斯研究等周問(wèn)題提出了命題,“在邊數(shù)相同、周長(zhǎng)相等的所有多邊形中,等邊且等角的多邊形的面積最大”.若矩形長(zhǎng)為b,寬為a,則與該矩形等周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為[a+b2],由此利用“正方形的面積不小于該矩形面積”可推出:

    二、基本不等式的教材分析

    (一)教材的地位與作用

    “基本不等式”是初中學(xué)過(guò)不等式的幾條簡(jiǎn)單性質(zhì)及一元一次不等式的解法、高中學(xué)過(guò)一元二次不等式的解法之后,人教A版教材從幾何背景(趙爽弦圖)中探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.基本不等式的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)在以下幾方面:一是發(fā)現(xiàn)和證明其他一些不等式的重要工具,如利用基本不等式可發(fā)現(xiàn)和證明n元算術(shù)—幾何平均值不等式[2];二是求解最值問(wèn)題的有力工具;三是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具;四是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn);五是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

    (二)教學(xué)目標(biāo)

    將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為:①能在具體的幾何問(wèn)題情境中,通過(guò)思維(觀察、抽象、概括等)及演繹推理得到基本不等式;②在多角度探索基本不等式的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法;③會(huì)運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題,體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.祝存建[3]強(qiáng)調(diào)“……感受數(shù)學(xué)形式化結(jié)論的一般形成過(guò)程——實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、歸納、抽象、概括,形成結(jié)論,體會(huì)數(shù)學(xué)的理性思維價(jià)值,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.”這就把探究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)(再創(chuàng)造)數(shù)學(xué)納入教學(xué)目標(biāo),其教學(xué)境界會(huì)大大提升.

    (三)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

    大部分教師都將“應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程”視為教學(xué)重點(diǎn);將“從不同角度探索基本不等式的證明,能利用基本不等式的模型求解函數(shù)最值”作為教學(xué)難點(diǎn).陶文晶[4]建議,應(yīng)該將基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件(簡(jiǎn)稱“一正、二定、三相等”)作為本節(jié)課的難點(diǎn).

    三、基本不等式教學(xué)需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

    基本不等式教學(xué)存在教師自身的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)不夠完善,不夠重視數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)等問(wèn)題.這說(shuō)明,對(duì)教師而言基本不等式貌似簡(jiǎn)單實(shí)則難.因此,教師自身提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常必要的.

    (一)新課的引入:滲透數(shù)學(xué)文化或聯(lián)系生活實(shí)際

    基本不等式的引入方式大致分為五種:一是從基本不等式的歷史背景引入,如人教A版利用趙爽的“弦圖”引入;二是從其他學(xué)科知識(shí)引入,如在蘇教版教材中,通過(guò)天平稱重,引導(dǎo)學(xué)生利用物理知識(shí)得出數(shù)學(xué)公式;三是從生活實(shí)際問(wèn)題引入[5],如利用“裝箱”問(wèn)題引入;四是從代數(shù)問(wèn)題引入,如通過(guò)賦值比較[ab]與[a+b2]的大小,由特殊到一般歸納出基本不等式;五是采用公理化思想的方法,即是直接把“[a2≥0]([a∈R])”作為不等式的一個(gè)公理,由此推導(dǎo)出基本不等式,這樣處理,突出了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,可以回避花花草草的煩瑣情境,降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.曾萍等[6]對(duì)“弦圖”引入法提出質(zhì)疑:(1)用“弦圖”表示重要不等式的等號(hào)成立的條件不易直接從“弦圖”看出;(2)分別以[a、b]替換[a、b]的思路不自然;(3)證明方法單一,不利于培養(yǎng)發(fā)散思維.對(duì)此,她利用AMA軟件,通過(guò)對(duì)原圖形的伸縮變化,減少視覺(jué)對(duì)圖形位置改變的處理,減少注意力的分散;用“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)重要不等式進(jìn)行變形,得到基本不等式;分別從幾何視角和函數(shù)視角解釋基本不等式,以增強(qiáng)對(duì)不等式的理解.但需注意,若用趙爽的“弦圖”引入,則會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)“育人”之效應(yīng),一是可激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)主義情感,二是可滲透數(shù)學(xué)文化的教育.張忠旺[7]認(rèn)為第一種引入方式中的“弦圖”的本質(zhì)就是完全平方公式的變形,也即基本不等式的幾何意義;第二、三種引入方式過(guò)于復(fù)雜,耗時(shí)較長(zhǎng),沖淡了教學(xué)目標(biāo);第四種引入方式有虛假之感;第五種引入方式的困難在于學(xué)生對(duì)“公理”的理解并不容易.

    每種引入方式都有利有弊,應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況選擇合適的引入方式.綜合來(lái)看,利用“天平稱重”引入基本不等式是較佳的方式,不僅聯(lián)系生活實(shí)際,而且涉及物理知識(shí),最重要的是避免了人教A版中“替換”的不自然過(guò)程,通過(guò)分析真實(shí)重量,直接得到[ab]和[a+b2],再通過(guò)猜測(cè)、驗(yàn)證得出基本不等式.這個(gè)引入方式自然、簡(jiǎn)潔,有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想,有利于學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)(再創(chuàng)造)數(shù)學(xué)的過(guò)程,但會(huì)增加學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷.

    (二)證明方法的選擇

    人教A版教材僅給出三種證明方法:分析法、綜合法及幾何模型法.用人教A版中第一種證明方法即分析法有困難,難點(diǎn)在于學(xué)生不容易理解為什么可以這樣證明以及證明的書寫格式,其原因是學(xué)生還沒(méi)有接觸過(guò)分析法的邏輯依據(jù),教師需對(duì)分析法證明的合理性做適當(dāng)說(shuō)明.用分析法證明不等式,在2003年前的教材中雖然安排了2學(xué)時(shí),但仍有很多學(xué)生學(xué)得很艱難甚至痛苦;現(xiàn)行的人教A版教材只安排幾分鐘,可能教材編寫專家低估了分析法的教學(xué)難度,需要評(píng)估這種安排的實(shí)際效果.黃婭[8]對(duì)教師采用的證明方法調(diào)查發(fā)現(xiàn),采用作差法、幾何模型法、分析法、函數(shù)單調(diào)性、弦圖法分別占59.3%,51.9%,48.1%,14.8%,11.1%.需要說(shuō)明的是,不少教師同時(shí)選用了2~3種引入方法.基本不等式的證明的教學(xué),應(yīng)重視它和其他知識(shí)(平面幾何、三角、數(shù)列、向量等)的內(nèi)在聯(lián)系,體現(xiàn)它“基本”的一面——證明的多樣性與變形的多樣性,從而幫助學(xué)生對(duì)基本不等式的本質(zhì)的理解.

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