直觀想象素養(yǎng)下的立體幾何教學(xué)實(shí)踐研究

【摘要】直觀想象素養(yǎng)是2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的六大核心素養(yǎng)之一，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究的熱點(diǎn)。本文以人教版教材中《直線與平面垂直的判定（一）》的教學(xué)設(shè)計(jì)為載體，在直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)實(shí)踐之間架設(shè)橋梁，探究在教學(xué)實(shí)踐中深入挖掘?qū)W生在探究知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程以及學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的心理特點(diǎn)和思維規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的落地生根。

【關(guān)鍵詞】直觀想象? ?立體幾何? ?教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。它含有兩個(gè)關(guān)鍵詞：“幾何直觀”和“空間想象”?！皫缀沃庇^”是指利用圖形對問題進(jìn)行描述與分析;“空間想象”是指通過直接感知周圍環(huán)境，學(xué)習(xí)得到二維平面和三維空間圖形及其性質(zhì)的理解。

一、基于直觀想象素養(yǎng)下的立體幾何教學(xué)實(shí)踐探究

學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的形成，主要是依托幾何圖形，進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考和想象，從而解決數(shù)學(xué)問題。課堂是落實(shí)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的主陣地，而教學(xué)設(shè)計(jì)是落實(shí)核心素養(yǎng)的載體。下面以《直線與平面垂直的判定（一）》教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)劇爸庇^想象素養(yǎng)下的立體幾何教學(xué)實(shí)踐研究”。

（一）復(fù)習(xí)舊知，啟迪新知

問題1.1：怎樣判定平面與平面平行？

問題1.2：直線和平面有幾種位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：

問題1.1的設(shè)計(jì)，為新課中“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”的證明，引導(dǎo)學(xué)生能類比聯(lián)想到“線不在多，兩條相交就行”。此問不單能溫故且能啟迪新知。

問題1.2的設(shè)計(jì)主要是承上啟下引出新課題。

建構(gòu)主義認(rèn)為：在新舊知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)上復(fù)習(xí)舊知識(shí)并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、聯(lián)想、分析，逐步進(jìn)入新知識(shí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到新知識(shí)就是舊知識(shí)的引申和拓展。在這里，教師有意引導(dǎo)學(xué)生去借助頭腦中已有的數(shù)學(xué)圖形和解決問題的方法，也讓學(xué)生能發(fā)揮幾何想象形成新的知識(shí)。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

問題2.1：我們一般如何判斷某位同學(xué)上課是否“坐得直”？

問題2.2：請同學(xué)們觀察學(xué)校升旗臺(tái)的旗桿與地面、港珠澳大橋的橋柱與水面是哪種位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

心理學(xué)研究表明：第一印象的作用最強(qiáng)。那么，教師要結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容和本班學(xué)情來設(shè)計(jì)問題，以最快的速度吸引學(xué)生的注意力到課堂學(xué)習(xí)。如問題2.1：這種從學(xué)生自身找情境素材，“感同身受”會(huì)更感親切，情感投入也會(huì)更強(qiáng)烈，同時(shí)也是借機(jī)進(jìn)行學(xué)習(xí)習(xí)慣與學(xué)習(xí)態(tài)度的德育滲透。為了提供更加豐富的線面垂直的情境，創(chuàng)設(shè)了2.2問題，積累各種直觀感知線面垂直的素材。這也是直觀想象素養(yǎng)形成的過程的最基礎(chǔ)模型：現(xiàn)實(shí)生活模型，為線面垂直的學(xué)習(xí)勾勒出基本的數(shù)學(xué)表象。

（三）觀察歸納，形成概念

線面垂直的定義（定義和圖形略）學(xué)習(xí)具有一定的抽象性，從現(xiàn)實(shí)生活模型到將線面垂直的數(shù)學(xué)表象進(jìn)行數(shù)學(xué)化的表達(dá)，是教學(xué)的難點(diǎn);教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀察：左手把筆垂直放于桌面上而右手在桌面隨意移動(dòng)另一只筆，觀察感知兩筆位置關(guān)系。通過師生互動(dòng)、反饋糾正提煉線面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言、從幾何直觀到抽象的數(shù)學(xué)化的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣與表達(dá)能力。

（四）概念辨析與小結(jié)

判斷下列問題的對錯(cuò)。若錯(cuò)的話，你能通過反例來操作確認(rèn)嗎？

1.一條直線與平面內(nèi)的無數(shù)多條直線垂直，則這條直線與平面垂直。（? ? ?）

2.如果一條直線垂直一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線。（? ? ?）

通過概念辨析，引導(dǎo)學(xué)生從課本的字里行間挖掘概念定義的內(nèi)涵和外延，從中體會(huì)數(shù)學(xué)語言的精準(zhǔn)，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。本節(jié)課設(shè)置了2個(gè)問題，辨析“任意一條”與“無限多條”直線的區(qū)別，更突出定義中的“任意一條”這個(gè)核心詞語的重要性，比起老師告訴學(xué)生它的重要性，還不如讓學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象下“碰壁”，印象更深刻。

小結(jié)：1.由線線垂直→線面垂直;

2.由線面垂直→線線垂直（證明線線垂直的重要方法）。

如a⊥α? ? b?α

適時(shí)的引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，有助于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)屬性。使學(xué)生清晰明確，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

（五）探究活動(dòng)：直觀感知→合理猜想→操作確認(rèn)→合情推理歸納判定定理

若用定義判定線面垂直的話，需在平面的任意一條（無限條）判斷與直線垂直，顯然這過于繁瑣且難操作。簡潔是數(shù)學(xué)之美，引導(dǎo)學(xué)生思考是否有易于操作的方法來判定線面垂直？

1.直觀感知、合理猜想

問題4.1：打開的書直立于桌面，觀察書脊與桌面位置關(guān)系，書脊與書跟桌面的兩條交線又都是什么位置關(guān)系，你是否對判定線面垂直有些合理的猜想呢？

問題4.2：由平面與平面平行的判定方法，類比線面垂直判定，有何猜想呢？

設(shè)計(jì)意圖：在定義中的無限條的垂直的操作困難，引導(dǎo)學(xué)生思考可否轉(zhuǎn)化為有限條垂直即可。設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生觀察事物進(jìn)行直觀感知后作出合理猜想或者利用已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和的方法進(jìn)行類比，然后再去操作確認(rèn)或證明，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和體會(huì)合情推理在解決數(shù)學(xué)問題中的作用。這也是由數(shù)學(xué)表象進(jìn)階到數(shù)學(xué)想象的過程。想象后的頓悟，是創(chuàng)新能力的源泉。

2.操作確認(rèn)

課本P65（題略）探究：隨著折痕AD的變動(dòng)，觀察幾何結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

問題5.1：折痕AD與桌面垂直嗎？

問題5.2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)物進(jìn)行直觀感知→合理猜想→動(dòng)手操作確認(rèn)→應(yīng)用合情推理歸納出直線與平面垂直的判定方法。通過折三角形的探究性問題的設(shè)計(jì)，觀察D點(diǎn)在BC邊移動(dòng)的過程當(dāng)中，AD與BC出現(xiàn)兩種位置關(guān)系：垂直與不垂直關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生得出初步結(jié)論：當(dāng)AD與BD、DC都垂直時(shí)，AD垂直于平面。從而確認(rèn)直線與平面的判定的方法。這種使數(shù)學(xué)問題置于現(xiàn)實(shí)背境下，通過學(xué)生直覺感知、猜想、動(dòng)手操作確認(rèn)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程獲得直線與平面的判定方法，提高了學(xué)生動(dòng)手操作能力和幾何直觀想象力，從而使直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)真正地在教學(xué)課堂中落地。

3.合情推理，引導(dǎo)歸納判定定理

問題6：通過上面的探究，同學(xué)們能歸納直線與平面垂直的判定方法嗎？學(xué)生完成，即使語言不太規(guī)范也要有“靜待花開”的耐心，教師及時(shí)糾正即可。

文字語言描述：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

通過直觀感知、操作確認(rèn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納直線與平面垂直的判定方法，培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，這在立體幾何的教學(xué)中尤為重要。

（六）直線與平面垂直的判定定理的辨析與簡單應(yīng)用

例1：判斷對錯(cuò)，若錯(cuò)的話找到反例圖形確認(rèn)。

（1）兩條平行直線中，若其中一條直線與平面垂直，則另一條也與平面垂直。（? ? ? ?）

（2）若直線垂直于一個(gè)平面α的兩條直線，則這條直線垂直于平面α。（? ? ? ?）

例2? 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

求證 平面BC1⊥A1B1CD

變式（備用）：在例2的正方體中，若在A1D中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E.

證明? BC1⊥B1E

設(shè)計(jì)中的例1（1）繼續(xù)讓學(xué)生遵循“直觀感知——操作確認(rèn)”判斷其正確性;（2）幫助學(xué)生理解透判定線面垂直的關(guān)鍵核心詞“相交直線”，培養(yǎng)學(xué)生分類解決問題的思辨能力。

例2 借助經(jīng)典幾何體“正方體”設(shè)計(jì)題型，使學(xué)生初步感受自己剛才探究結(jié)論的應(yīng)用，找到“學(xué)有所用”的樂趣。變式題（備用）是在例2基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，培養(yǎng)學(xué)生由線線垂直→線面垂直→線線垂直的推理與轉(zhuǎn)化的能力。由于B1E是動(dòng)直線，給學(xué)生造成一定的心理壓力，同時(shí)也激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的動(dòng)力。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與水平，對例題適當(dāng)?shù)耐诰?，可以提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

（七）學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成檢測

選用的是課本P67練習(xí)1：已知：在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC.求證：VB⊥AC;

加深學(xué)生對線面垂直以及定義的理解，培養(yǎng)學(xué)生由線線垂直→線面垂直→線線垂直的推理與轉(zhuǎn)化的能力。同時(shí)檢查學(xué)生答題的規(guī)范。但需要做輔助線，估計(jì)部分學(xué)困生有一定的困難，教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)：在等腰三角形條件下要產(chǎn)生線線垂直，能進(jìn)行哪些合理猜想？引導(dǎo)學(xué)生對圖形直觀與經(jīng)驗(yàn)直觀相結(jié)合所產(chǎn)生的想象。

（八）課堂小結(jié)（略）

二、基于直觀想象素養(yǎng)下的立體幾何初步的教學(xué)實(shí)踐的思考

1.構(gòu)建以問題為導(dǎo)向，實(shí)現(xiàn)直觀想象素養(yǎng)在課堂教學(xué)實(shí)踐中落地生根。

構(gòu)建以問題為導(dǎo)向，以層層遞進(jìn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程。讓學(xué)生在探索過程經(jīng)歷直觀想象的幾個(gè)階段：以現(xiàn)實(shí)生活模型提出問題，這是直觀現(xiàn)象的起點(diǎn)→觀察現(xiàn)實(shí)生活模型形成數(shù)學(xué)表象，是直觀想象的原型直觀階段→由基于原型直觀形成的數(shù)學(xué)表象，借助數(shù)學(xué)直感，展開數(shù)學(xué)想象，這是表象直觀階段→歸納總結(jié)形成新的數(shù)學(xué)表象。在整個(gè)探究過程中，能讓學(xué)生置身于思考問題與解決問題、幾何直觀與空間想象交替的動(dòng)態(tài)過程中，真正實(shí)現(xiàn)了在教學(xué)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

2.培養(yǎng)學(xué)生三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化能力，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

在立體幾何的教學(xué)中，符號(hào)語言、文字語言、圖形語言三種語言轉(zhuǎn)換能力在邏輯推理證明中的重要性是不言而喻的。教師積極引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材上經(jīng)過千錘百煉的最規(guī)范、最簡潔、最高度概括的[數(shù)學(xué)語言[④] ，既可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語感，對使用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言規(guī)范答題很有幫助，同時(shí)在閱讀教材中讓幾何直觀與空間想象在學(xué)生頭腦中交替出現(xiàn)，共生并存，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

3.引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“有邏輯的思考”，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

在立體幾何的教學(xué)中，要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察進(jìn)行合理猜想、類比、聯(lián)想來促進(jìn)學(xué)生的思維活動(dòng)、發(fā)現(xiàn)問題，并利用轉(zhuǎn)化、平面化等數(shù)學(xué)思想思考問題、解決問題。引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“有邏輯的思考”，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

克萊因說過：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握”?？梢娭庇^對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。在立體幾何的教學(xué)實(shí)踐中，善于利用學(xué)生身邊的情境和幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析，加強(qiáng)借助直觀想象進(jìn)行歸納并概括同類實(shí)物的特征與共性，在學(xué)生親身經(jīng)歷整個(gè)直觀到抽象的思維過程中，讓學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)在教學(xué)實(shí)踐中能得到不斷的提升。

【參考文獻(xiàn)】

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》人民教育出版社2017版、P6.

[2]吳寶立《現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究》2018年第31卷的“觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)探究”.

[3]章建躍《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第12期“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革”、P1-P3.

[4]蔡少霞《師道》2019年第340期“探究普通學(xué)校高中生數(shù)學(xué)語言能力轉(zhuǎn)化的培養(yǎng)策略 ”、P152.

[5]姚永祥《中學(xué)數(shù)學(xué)參考—理科版》2017年第08期“基于提升直觀想象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考”.