方程在幾何題中的應(yīng)用

葉少梅

【摘要】在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念與教學(xué)知識(shí)之間存在著極為密切的聯(lián)系，為優(yōu)化教學(xué)活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解，教師應(yīng)努力嘗試?yán)靡呀?jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決后續(xù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，依靠既得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生解答數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問(wèn)題。本文針對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)展開(kāi)論述，思考方程在幾何題教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】方程? ?幾何題? ?應(yīng)用

方程是基于西方數(shù)學(xué)理論發(fā)展而來(lái)的學(xué)習(xí)模塊，通過(guò)對(duì)方程的計(jì)算、對(duì)未知數(shù)的選擇，學(xué)生能夠在較短的時(shí)間內(nèi)明確掌握解題方向，并剔除其他信息對(duì)于教學(xué)活動(dòng)的干擾，依靠方程，對(duì)客觀學(xué)習(xí)問(wèn)題做出回應(yīng)。但在以往的教學(xué)活動(dòng)中，方程多應(yīng)用于抽象數(shù)字的計(jì)算當(dāng)中，幫助學(xué)生利用方程解決幾何問(wèn)題，這是一次極具代表性的數(shù)學(xué)嘗試。

一、推理證明，解決面積問(wèn)題

方程從數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)方程，教師能夠幫助學(xué)生在所掌握的數(shù)學(xué)材料中提取新的可用知識(shí)，并根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的相關(guān)表述構(gòu)建全新的數(shù)學(xué)模型，促使問(wèn)題中已知的、未知的題干信息構(gòu)成新的數(shù)量關(guān)系。在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中，方程的應(yīng)用極為廣泛，但大多以抽象數(shù)據(jù)的計(jì)算、數(shù)量關(guān)系的計(jì)算為核心任務(wù)，對(duì)于空間幾何問(wèn)題的影響并不明顯，要將方程融合到幾何問(wèn)題當(dāng)中，教師應(yīng)明確把握方程問(wèn)題與幾何問(wèn)題的相同點(diǎn)、共同點(diǎn)，依靠?jī)煞N不同解題方式的相互輻射，重新定義數(shù)學(xué)解題活動(dòng)。

方程思想從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，幾何問(wèn)題則強(qiáng)調(diào)圖形的位置關(guān)系、大小關(guān)系，其差別較為明顯，利用方程解決幾何問(wèn)題，其教學(xué)實(shí)質(zhì)等同于“數(shù)形轉(zhuǎn)化”，基于這一觀點(diǎn)，教師可將涉及到數(shù)字換算的數(shù)學(xué)問(wèn)題提取出來(lái)，依靠方程建立新的數(shù)字關(guān)系，從而幫助學(xué)生解決幾何問(wèn)題。以初中數(shù)學(xué)教材《平行線(xiàn)及其判定》的相關(guān)學(xué)習(xí)為例，在這一板塊的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生可能會(huì)接觸到圖形的折疊、變形，求面積問(wèn)題，如圖所示：

在這一幾何結(jié)構(gòu)中，圖形的形狀、邊長(zhǎng)、角度等性質(zhì)在不斷改變，直接求解的難度較大，教師可利用方程發(fā)起推理證明活動(dòng)，幫助學(xué)生梳理圖形之間的數(shù)量關(guān)系。在這一過(guò)程中，教師可幫助學(xué)生利用方程確定相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，已知AD=8，AB=4，根據(jù)所給圖形得出BE=x，則AE=8-x，BE=ED，進(jìn)而列出解題方程式。在求解環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠利用等腰三角形的基本性質(zhì)、平行線(xiàn)的基本概念等數(shù)學(xué)知識(shí)確定相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而對(duì)方程進(jìn)行求解，得出正確答案。與傳統(tǒng)的解題方法相比，其所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)材料并不復(fù)雜，僅要求學(xué)生利用方程知識(shí)與已掌握的知識(shí)發(fā)起互動(dòng)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，解題的開(kāi)放性更強(qiáng)。

二、主觀推測(cè)，解決思考問(wèn)題

在初中階段的幾何教學(xué)活動(dòng)中，部分教學(xué)問(wèn)題在提問(wèn)時(shí)并沒(méi)有給出一個(gè)明確的思考目標(biāo)，其要求學(xué)生計(jì)算最終的長(zhǎng)度、面積，或?qū)D形是否全等等內(nèi)容進(jìn)行判定，針對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，其解題活動(dòng)很容易受到學(xué)生主觀意識(shí)的干擾，如果學(xué)生能夠以積極的態(tài)度回應(yīng)相關(guān)問(wèn)題，向著“猜測(cè)”的方向不斷靠攏，其所提出的答案的合理性也能夠在一定程度上被保障。

以初中數(shù)學(xué)教材《三角形全等的判定》的相關(guān)教學(xué)為例，針對(duì)該類(lèi)問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以下類(lèi)型的推導(dǎo)題：兩個(gè)三角形放置在同一平面內(nèi)，每個(gè)三角形上都有一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)何時(shí)兩個(gè)三角形能夠形成全等三角形？如下圖所示：

這類(lèi)問(wèn)題中雖然給出了明確的數(shù)量關(guān)系，但如果只依靠學(xué)生的主觀推導(dǎo)，計(jì)算的壓力較大，且容易出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤，教師可利用方程對(duì)該類(lèi)開(kāi)放性較強(qiáng)的問(wèn)題做出回應(yīng)，幫助學(xué)生更為積極的掌握解題方式。在解題活動(dòng)中，教師可幫助學(xué)生確定兩個(gè)三角形形成全等三角形的數(shù)量關(guān)系：（1）AC=BQ，AP=BP;（2）AC=PB，AP=BQ，在不同的全等關(guān)系下羅列對(duì)應(yīng)的方程組，依靠數(shù)量關(guān)系得出最終答案。傳統(tǒng)的教學(xué)方法要求學(xué)生獨(dú)立對(duì)CP、QB、PB等邊的長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生的運(yùn)算壓力較大，很容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，而在方程組的協(xié)助下，其能夠直接擺脫無(wú)關(guān)變量對(duì)于問(wèn)題的干擾，圍繞問(wèn)題的著力點(diǎn)建立方程式，進(jìn)而對(duì)方程問(wèn)題做出回應(yīng)。

三、數(shù)形結(jié)合，確定數(shù)學(xué)關(guān)系

數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的理想化方法，通過(guò)對(duì)數(shù)字材料的定向加工，教師能夠依靠直觀幾何圖形為學(xué)生創(chuàng)造觀察與思考的對(duì)象，從而實(shí)現(xiàn)抽象問(wèn)題的具體化處理，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。但對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)來(lái)說(shuō)，教學(xué)活動(dòng)中所涉及到的相關(guān)知識(shí)以未知數(shù)的求值、位置關(guān)系的判定為主，在建立空間關(guān)系之后，幾何圖形可能會(huì)對(duì)原本的數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生干擾，基于這一特點(diǎn)，教師可利用方程轉(zhuǎn)化教學(xué)思路，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)思考問(wèn)題。

以初中數(shù)學(xué)教材《全等三角形》的相關(guān)學(xué)習(xí)為例，在這一板塊的教學(xué)活動(dòng)中，可能會(huì)涉及到位置關(guān)系推導(dǎo)問(wèn)題、相似三角形推導(dǎo)問(wèn)題，在這一板塊，學(xué)生需要對(duì)角、邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行整理，從而根據(jù)所得的大量數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，然后才能得出正確答案，如下圖所示：

在問(wèn)題中，Q是AB上不斷運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，P是OA上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，二者的運(yùn)動(dòng)速度不同，問(wèn)到運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后，兩個(gè)三角形成為相似三角形？在對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，教師可幫助學(xué)生圍繞P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別建立方程組，將對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)未知數(shù)的求解，縮小學(xué)生的解題范圍。通過(guò)導(dǎo)入時(shí)間t，利用二者的速度之差建立方程式，提高運(yùn)算效率。在這一過(guò)程中，學(xué)生無(wú)需對(duì)客觀圖形進(jìn)行推導(dǎo)，圖形作為載體給出數(shù)據(jù)，在利用方程解題的過(guò)程中，解題速度大幅提升。

結(jié)語(yǔ)

方程在幾何題中的應(yīng)用越來(lái)越常見(jiàn)，在利用方程幫助學(xué)生解決幾何問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)將幾何概念與數(shù)字從問(wèn)題中提取出來(lái)，依靠所給出的數(shù)學(xué)材料，重新確定數(shù)學(xué)關(guān)系，利用方程優(yōu)化解題方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李國(guó)峰. 利用方程求解幾何問(wèn)題[J]. 數(shù)理天地：初中版， 2016， 000（004）：P.31-32.

[2]海楠. 列方程解初中幾何題舉例[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué)：初中版， 2010， 000（012）：P.17-18.

[3]楊燕. 中考中的幾何、方程綜合題[J]. 中學(xué)生數(shù)理化：初中版， 2003， 000（007）：4-6.