“一題多解和一題多變”在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的應(yīng)用策略探析

摘 要：高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系較為繁雜，若在課堂上學(xué)生只懂固定的解題套路，那么他們也無(wú)法完成知識(shí)學(xué)習(xí)的活學(xué)活用，教師應(yīng)基于一題多解和一題多變方法，幫助學(xué)生開(kāi)拓解題思路。對(duì)某些解題思想進(jìn)行融匯，借助一題多解和一題多變教學(xué)方法提高學(xué)生的解題能力。文章基于一題多解與一題多變?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維上的應(yīng)用展開(kāi)探索，提出了小心做題陷阱、數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變、培養(yǎng)開(kāi)放思維、提高問(wèn)題分析能力等應(yīng)用要點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生解題思維的開(kāi)闊，借以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：一題多解與一題多變;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維

一題多解與一題多變教學(xué)模式是培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的一條有效出路，教師可以借由題目的發(fā)散變化形成學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。在教學(xué)時(shí)基于講授原理幫助學(xué)生搞懂解題策略，由此提高學(xué)生的知識(shí)理解能力。在教學(xué)時(shí)教師不僅要講授基本的做題方法，更要幫助學(xué)生抓住正確題意，了解解題關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、 一題多解與一題多變教學(xué)模式應(yīng)用的價(jià)值

所謂一題多解，它即要求學(xué)生從多個(gè)視角去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用不同方案去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法。通過(guò)一題多解教學(xué)模式的滲透，教師可以強(qiáng)化各零散數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

由零散的高中數(shù)學(xué)知識(shí)連接成一個(gè)整體，完成學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展提高。一題多變則是教師由一道題進(jìn)行轉(zhuǎn)變，將其發(fā)散為一類題的教學(xué)方法。在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師可以依托這一類題目的應(yīng)用。考慮題目本身所包含的具體條件，在一題多解與一題多變方法應(yīng)用過(guò)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維敏捷性。由某些已知的條件對(duì)其進(jìn)行拓展，讓學(xué)生尋求一些可以補(bǔ)充的條件，增強(qiáng)其實(shí)際背景。應(yīng)用多變方式，開(kāi)展不同類型的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生在不同情形下了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決步驟。這要求學(xué)習(xí)者與出題人共同探討問(wèn)題，在多變解題過(guò)程中教師可以培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題歸納、概括總結(jié)能力。而在一題多解與一題多變題目演示下，學(xué)生的思維靈活性也能夠得到拓展。

二、 一題多解與一題多變教學(xué)模式應(yīng)用的具體策略

（一）避免掉入做題陷阱

按照不同角度、不同思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一道題目展開(kāi)探索。應(yīng)用不同的方法，解出該道問(wèn)題。在教學(xué)時(shí)教師也應(yīng)該基于一題多解與一題多變對(duì)題目做出引導(dǎo)，發(fā)揮學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生快速找準(zhǔn)題目的已知條件，從而順利切入問(wèn)題，節(jié)約大量的解題時(shí)間。

例如在教學(xué)某道例題——如果關(guān)于x的方程sin2x+cosx+a=0有實(shí)根，求解a的取值范圍。面對(duì)該道題目，學(xué)生大多認(rèn)為此道題目是非常簡(jiǎn)單的。但是該道題目卻隱含著一個(gè)容易忽略的條件，不少學(xué)生提筆就做，他們沒(méi)有了解到x取值范圍的重要性。教師此時(shí)就應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生重新分析題目，理解三角函數(shù)sinx與cosx這兩者之間的聯(lián)系。學(xué)生會(huì)跟隨教師的思路了解到

sin2x=1-cos2x，由此題目中的方程也可以被教師轉(zhuǎn)變?yōu)閏os2x-cosx-1-a=0。教師需帶領(lǐng)學(xué)生理解題目中的x有實(shí)根實(shí)際上就是要求我們?nèi)ふ襝osx所對(duì)應(yīng)的具體實(shí)數(shù)，由m=cosx去進(jìn)行化簡(jiǎn)。這樣一來(lái)，原本還有一些復(fù)雜的三角函數(shù)方程就轉(zhuǎn)變成了學(xué)生能夠理解的二次方程m2-m-1-a=0。

這時(shí)學(xué)生容易出現(xiàn)的一大錯(cuò)誤又凸顯了，部分學(xué)生認(rèn)為方程應(yīng)該有實(shí)根。所以他們斷定判別式Δ=4a+5≥0，最后成功的求解出了a的取值范圍。但是實(shí)際上學(xué)生在不經(jīng)意間卻落入了命題人的命題陷阱，他們沒(méi)有了解未知量的取值關(guān)系。教師在教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生尋找陷阱，如a≥-5/4時(shí)就一定會(huì)有Δ≥0。這時(shí)矛盾就出現(xiàn)了，cosx=m有實(shí)根是不是一定標(biāo)志著x就有實(shí)根呢？教師可以帶領(lǐng)學(xué)生重新審視余弦函數(shù)，讓學(xué)生了解余弦函數(shù)的值域是位于[-1，1]的，所以我們也無(wú)法保證cosx在這一區(qū)間一定有實(shí)根。在教學(xué)時(shí)教師應(yīng)努力幫助學(xué)生找準(zhǔn)一題多解的變化形式，如改變題目自變量取值范圍的條件x，求出cosx的范圍，換元轉(zhuǎn)變成m2-m-1-a=0。讓學(xué)生通過(guò)一題多變理解數(shù)學(xué)題目的解題套路，認(rèn)識(shí)到一元二次方程求解根式和集合交集以及并集的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，避免落入做題陷阱，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

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（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的一題多變

高中階段的數(shù)學(xué)題目大多具有一定的規(guī)律，其整體改變過(guò)程是離不開(kāi)一定規(guī)則的。在教學(xué)時(shí)教師應(yīng)通過(guò)選取合適的例題，通過(guò)一題多思、一題多變，由某一道題目擴(kuò)展出同一類型的題目。在有效教學(xué)過(guò)程中，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)。幫助學(xué)生找準(zhǔn)數(shù)學(xué)解題的基本套路，要求學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，最終認(rèn)知數(shù)學(xué)題的解題規(guī)律。

例如在教學(xué)某道例題——已知函數(shù)f（x）=x2-x，求其單調(diào)性。在這一題目提出之后，教師很快就由該道題目延伸出一系列類型的題目如：變式①，討論函數(shù)f（x）=x-ax，a∈R的單調(diào)性。變式②，討論函數(shù)f（x）=x3-ax，a∈R在[1，+∞）上的單調(diào)性。變式③，已知函數(shù)f（x）（x∈R）圖象上任一點(diǎn)（x，y0）處的切線方程為y-y0=（x-3）（x2-1）（x-x0），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間。變式④，若函數(shù)f（x）=x-ax在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。變式⑤，若函數(shù)f（x）=x-1sinx+asinx在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是？從這一系列的變式題做出探討來(lái)看，它主要還是不含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷問(wèn)題。學(xué)生大多都能夠快速解答出這一類題目，教師借由該類題目也可以鞏固學(xué)生已經(jīng)了解過(guò)的知識(shí)。讓學(xué)生知曉利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)f（x）單調(diào)性的應(yīng)用步驟，理解這一類型題目所融入的數(shù)學(xué)思想。由變式①可以得知，這主要是含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷問(wèn)題。教師在教學(xué)時(shí)可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想對(duì)其作出延伸改變，在探討過(guò)程中關(guān)注數(shù)與形的變化關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)單調(diào)性的變化規(guī)律。變式③主要是把函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的幾何知識(shí)進(jìn)行交匯，幫助學(xué)生搞懂其中的交融思想。變式④應(yīng)用了思維的逆向，讓學(xué)生求解函數(shù)的單調(diào)性。變式⑤可通過(guò)函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生求某一參數(shù)的具體取值范圍。在圖像模式結(jié)合下，求解出該道題目的正確答案。在這樣的層層遞進(jìn)教學(xué)過(guò)程中，教師可以由某些難點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行分層講解。由逐漸細(xì)化幫助學(xué)生完成學(xué)習(xí)方法的遷移，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的活學(xué)活用，由此強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)解題，但“題海戰(zhàn)術(shù)”只能夠得到一些基本的解題思路與解題方法，它難以幫助學(xué)生實(shí)際的了解到數(shù)學(xué)解題規(guī)律。教師正確的做法應(yīng)該是“少而精”，在數(shù)學(xué)問(wèn)題研討方面由某些經(jīng)典問(wèn)題要求學(xué)生在做題過(guò)程中學(xué)會(huì)舉一反三。著重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)思維，結(jié)合具體的一題多解與一題多變教學(xué)模式增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

例如在教學(xué)某道題目——已知等差數(shù)列的通項(xiàng)an=a1+n-1，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生共同探討等差數(shù)列通項(xiàng)推論過(guò)程。讓學(xué)生了解a2=a1+d、a3=a2+d、an=a1+（n-1）d。由定義還可以得知an-an-1=d，所以an-1-an-2=d。依次類推，將兩邊的式子進(jìn)行累加就可以得到等差數(shù)列的一般通項(xiàng)式了。在上述問(wèn)題推導(dǎo)過(guò)程中，教師可以要求學(xué)生運(yùn)用不同的思路去得出問(wèn)題的正確答案，了解不同問(wèn)題設(shè)置的思維要點(diǎn)。在應(yīng)用一題多解與一題多變教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維時(shí)，教師應(yīng)努力尋找解法上的便捷性。由學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)做出延伸探討，通過(guò)不斷地延伸分析幫助學(xué)生找準(zhǔn)最佳的學(xué)習(xí)方案。對(duì)于同一道題目，教師也應(yīng)該要求學(xué)生利用自己的批判性思維對(duì)其做出強(qiáng)化。分析應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，聯(lián)合實(shí)際問(wèn)題，由此強(qiáng)化自身的思維能力。

（四）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析能力

對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，運(yùn)用一題多解和一題多變方法進(jìn)行延伸。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角去切入問(wèn)題，了解這一類型問(wèn)題的解決關(guān)鍵。在教學(xué)時(shí)教師也應(yīng)該由學(xué)生的思維拓展做出研討，著重學(xué)生問(wèn)題解決能力的發(fā)展。

例如在教學(xué)某道例題——已知a、b≥0，a+b=a，求a2+b2的取值范圍。對(duì)于該道題目，其實(shí)際解決方法還是很多的，教師可以要求學(xué)生分別應(yīng)用函數(shù)方法、三角換元法來(lái)求解題目。對(duì)于該道題目的函數(shù)方法解答來(lái)講，由于a+b=1，所以b=1-a。由此可以得知a2+b2=2a2-2a+1，最終根據(jù)a的取值范圍。求解出該道題目的正確答案，得到a2+b2的最小值為1/2。其次，教師也可以由三角換元法，結(jié)合題目的已知條件將a假設(shè)為cosx、b假設(shè)為sinx。將sinx與cosx帶入題目，通過(guò)參數(shù)轉(zhuǎn)變將其變?yōu)閷W(xué)生熟悉的三角函數(shù)問(wèn)題。應(yīng)用基本的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行課堂改革，完成學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題分析能力的發(fā)展，由此幫助學(xué)生強(qiáng)化自身的思維能力。

思維能力是學(xué)生各項(xiàng)能力發(fā)展的核心，在高中數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)由合適選擇例題，做出課堂引導(dǎo)。幫助學(xué)生培養(yǎng)開(kāi)放思維、著重學(xué)生問(wèn)題分析能力的發(fā)展、避免學(xué)生出現(xiàn)做題錯(cuò)誤、要求學(xué)生探討題目根本，通過(guò)以上方法的應(yīng)用克服學(xué)生在做題過(guò)程中的思維定式狀況。讓學(xué)生由一道題目聯(lián)想到一類題目，完成自我發(fā)散性思維的成長(zhǎng)。教師也應(yīng)該努力尋找數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的新角度，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，致力于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：江猷敏，福建省建甌市，福建省建甌第一中學(xué)。