動態(tài)混合HGARCH模型的估計和預測①

李木易，方 穎*

(1.教育部計量經(jīng)濟學重點實驗室(廈門大學)，廈門 361005；2.廈門大學王亞南經(jīng)濟研究院與經(jīng)濟學院，廈門 361005；3.福建省統(tǒng)計科學重點實驗室(廈門大學)，廈門 361005)

0 引 言

自從Ding等[1]首次在美國標普500指數(shù)收益率的冪律轉換序列{|rt|d}上發(fā)現(xiàn)長記憶現(xiàn)象以來，金融資產(chǎn)波動率的長記憶性已作為資產(chǎn)收益率的10大經(jīng)驗特征之一而被廣泛接受[2](1)目前對于長記憶波動率產(chǎn)生的內(nèi)在原因學術界并沒有統(tǒng)一的解釋.Mikosch 和St?ric?[6]對金融時間序列的非平穩(wěn)性、長記憶性以及IGARCH產(chǎn)生的內(nèi)在原因進行了系統(tǒng)的研究.Baillie和 Morana[7]指出條件方差出現(xiàn)結構上的變化是導致波動率產(chǎn)生長記憶性的潛在原因之一..忽略波動率的長記憶性將會提高模型誤設的風險，不能精確量化波動率的產(chǎn)生機制和對未來波動率的預測，從而導致對整個市場風險的錯判.為刻畫波動率的長記憶性質(zhì)，Baillie[3]借用ARFIMA模型的思想，建立了FIGARCH模型，用來刻畫二階矩序列的長記憶性質(zhì).但FIGARCH模型的無條件方差不存在，因而無法對FIGARCH建立相應的統(tǒng)計推斷.Davidson[4]通過將經(jīng)典GARCH模型[5]和FIGARCH模型進行加權組合，得到雙曲GARCH模型(hyperbolic GARCH，HY-GARCH)，并討論了此模型寬平穩(wěn)解的存在性和參數(shù)估計的統(tǒng)計推斷.基于脈沖響應系數(shù)的衰減速度，可以將經(jīng)典GARCH模型稱為短記憶GARCH(脈沖響應系數(shù)呈快速的幾何衰減)，而將FIGARCH和HY-GARCH稱為長記憶GARCH(脈沖響應系數(shù)呈緩慢的雙曲衰減).

波動率有兩個本質(zhì)特征，一個是波動的振幅大小，一個是波動的衰減速度.HY-GARCH模型中既包含GARCH模型中沒有的記憶參數(shù)，也包含F(xiàn)IGARCH中沒有的振幅參數(shù)，因而可以從兩個維度刻畫波動率的經(jīng)驗特征.該模型也是目前最為廣泛使用的長記憶波動率模型之一.但HY-GARCH模型的表達形式不夠直觀，且因為振幅參數(shù)對脈沖響應系數(shù)的非線性影響，使得非負約束條件比在FIGARCH模型下更加復雜，繼而加大了優(yōu)化難度.基于這些原因，Li等[8]建立了新的雙曲GARCH模型(記為HGARCH)，該模型具有簡單的參數(shù)化形式，且與HY-GARCH一樣可以同時捕捉波動率的振幅大小和衰減速度兩個維度.與HY-GARCH模型相比，HGARCH所容許的參數(shù)空間與FIGARCH相同，簡化了參數(shù)約束條件的表達形式.實證分析也表明，該模型在擬合和預測上與HY-GARH模型有相同的優(yōu)良表現(xiàn).

在時間序列涵蓋較長時間范圍時，用單一的模型結構進行擬合是不合理的，使用含有結構變化的模型更能捕捉數(shù)據(jù)的動態(tài)特征.Davidson[4]也發(fā)現(xiàn)，用單一HY-GARCH模型對1997年～1998年亞洲金融危機爆發(fā)期間中國臺灣、韓國和印度尼西亞的美元匯率進行擬合時，3條序列的加權系數(shù)均大于1或者接近于1，這意味著整個過程仍然是爆炸的或非平穩(wěn)的；該現(xiàn)象在Li等[8]中也有類似發(fā)現(xiàn).

基于上述研究的啟發(fā)，本文考慮在長記憶的基礎上，采用時變模型來解釋波動率的結構變化.混合模型作為特殊的時變模型，已有很多文獻對其進行研究，例如Wong和Li[9]通過混合ARCH來刻畫波動率的變化情況，并捕捉極端厚尾情形；Cheng等[10]則將混合ARCH推廣到混合GARCH，指出該模型在VaR的失敗率檢驗上超過混合ARCH以及單一GARCH類模型.但以上這些模型都屬于短記憶波動率模型，不足以捕捉波動率的慢衰減性質(zhì).為此，Li等[11]將HY-GARCH模型中的加權系數(shù)看成區(qū)制變量，把HY-GARCH模型中的條件方差看成是短記憶平穩(wěn)GARCH模型和長記憶非平穩(wěn)FIGARCH模型的混合，構造了混合記憶(mixture memory)GARCH模型.該模型同時具備協(xié)方差平穩(wěn)、平方項雙曲衰減(波動率長記憶性)以及結構時變的特點.Klein和Walther[12]將其應用到原油價格波動率的預測時發(fā)現(xiàn)，相對其他離散型的GARCH模型，該模型具有更好的預測能力.Li等[13]進一步提出混合雙自回歸模型來同時刻畫均值和方差序列可能存在的不同成分結構.近年來混合記憶模型得到進一步擴展，如Catania[14]提出的動態(tài)自適應(dynamic adaptive)混合模型和Basatini和Rezakhah[15]提出的馬爾可夫平滑轉移HY-GARCH模型.

在Li等[11]的混合記憶GARCH模型中，由于限定了混合的兩個成分必須是GARCH和FIGARCH，因而對混合模型的靈活性造成一定損失.為了克服這一缺點，并且考慮到GARCH、IGARCH以及FIGARCH本身就是HGARCH模型的特殊形式，在本文中直接建立新的動態(tài)混合HGARCH模型，記為DM-HGARCH.DM-HGARCH模型的各個成分更具有一般性，可以由數(shù)據(jù)驅動決定每一個成分的實際結構，并且在一定條件下，可以同時具備協(xié)方差平穩(wěn)、波動率雙曲衰減以及結構變化3個重要性質(zhì).

國內(nèi)學術界關于金融市場波動率的長記憶性和混合分布的理論研究較少，實證研究較多.在股票指數(shù)方面，林宇[16]利用HY-GARCH模型及有偏學生t分布來捕捉中國滬深股市資產(chǎn)收益率的分布形態(tài)；曹廣喜等[17]利用雙長記憶模型對中國滬深股市收益率和波動率序列同時進行擬合，并比較了不同分布下的擬合與預測精度；李云紅等[18]對上證指數(shù)、深證指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)、標普500指數(shù)在不同時間區(qū)間內(nèi)的序列進行分析，指出收益序列的長記憶性具有時變特征；王安興和譚鮮明[19]利用混合分布和GARCH模型對中國上市公司股票波動率進行分組，可將異常股票找出并歸為同一組；近幾年對GARCH類模型波動率的長記憶性和時變性的研究，還可以參考文獻[20-26].

1 動態(tài)混合HGARCH模型

1.1 單一雙曲GARCH模型

Davidson[4]通過加權組合的思路，將平穩(wěn)短記憶GARCH與非平穩(wěn)長記憶FIGARCH相組合，得到新的HY-GARCH(p,d,q)模型

(1)

式中εt是均值為0且方差為1的獨立同分布序列；L為滯后算子；α≥0；0≤d≤1；Γ(·)代表伽馬函數(shù).

相比經(jīng)典GARCH模型，此模型中有兩個額外參數(shù)α和d.參數(shù)α控制了波動的振幅大小(稱為振幅參數(shù))，繼而決定過程的矩存在條件.參數(shù)d控制了波動帶來的沖擊消散的速度(稱為記憶參數(shù)).由πj的表達式可知，記憶的衰減速度與d成反比，d值越大，脈沖系數(shù)衰減速度越快；相反，d值越小，脈沖系數(shù)衰減速度越慢.從HY-GARCH條件方差的形式可以進一步發(fā)現(xiàn)，此模型包含了經(jīng)典GRACH、IGARCH以及FIGARCH等模型.例如，當α=1，0

(2)

式中α≥0，0≤d≤1.

關于該模型的可識別性、(弱)平穩(wěn)解存在條件、高階矩條件、擬似然估計(QMLE)的漸近性質(zhì)以及雙曲記憶檢驗，詳見文獻[8]，這里只做簡單概括.該模型仍然由α和d兩個參數(shù)來控制波動的振幅和消散速度.相比HY-GARCH，該模型中θ(L)只是簡單的將FIGARCH的脈沖響應重新尺度化(rescale).當α=1時，該模型退化為FIGARCH.同時，由于α≥0，使得該模型中條件方差的非負約束和FIGARCH模型中相同[28].因此，HGARCH模型同時擁有協(xié)方差平穩(wěn)(當0<α<1)以及波動率雙曲衰減兩個性質(zhì)，同時參數(shù)化形式比HY-GARCH模型更為直觀簡單.Li等[8]實證分析表明，該模型與HY-GARCH模型在有限樣本下，有同樣的擬合和預測表現(xiàn).

1.2 混合HGARCH模型

受混合模型的啟發(fā)，考慮如下含有K個成分的混合HGARCH模型

(3)

(4)

值得注意的是，Wong和Li[9]的混合ARCH模型，Cheng等[10]的混合GARCH模型，以及Li等[11]的混合記憶GARCH模型都是模型(3)的特殊形式，因而模型(3)更具有一般性，可以降低模型誤設的風險.但對于模型(3)，需要重新給出弱平穩(wěn)解和高階矩的存在條件.為此，將模型(3)中的條件方差重新表達成如下式的ARCH(∞)模型

(5)

式中對每一個i都有

假設1

j=1,2,…，i=1,…,K

2)當di=0或者di=1時，此時退化成GARCH模型或者IGARCH模型，可參考經(jīng)典GARCH模型的非負條件[29].

假設2

定理1在假設1和假設2下，模型(3)存在唯一的不可預期(non-anticipative)且方差有限的嚴平穩(wěn)解.

假設3

M是正整數(shù).

4)定理2給出了模型(3)高階矩存在的充分條件，是定理1的推廣.特別地，當M=1時，定理2退化成定理1.

考慮更一般的混合概率是動態(tài)時變函數(shù)的情形，此時pi變成pit，表示t時刻波動率來自第i個成分的概率.由于金融市場的動態(tài)性絕大多數(shù)時候都可以用震蕩或平靜兩個狀態(tài)來刻畫，因此只考慮有兩個混合成分的簡單情形.這里采用邏輯斯特函數(shù)作為連接函數(shù)(link function).連接函數(shù)的具體形式則依賴于實際經(jīng)濟意義和研究目的，可以是解釋變量的線性或者非線性函數(shù)，這里不做具體討論.值得注意的是，如果在邏輯斯特函數(shù)中引入外生變量Xt，此時平穩(wěn)性的討論將更為復雜.由于本文的重點是考慮動態(tài)混合時間序列自回歸模型，因此這里假設連接函數(shù)只依賴自身的歷史信息，是個自激勵過程.本文使用的連接函數(shù)具體形式如下

(6)

即

進一步，可以利用極大似然比檢驗，針對原假設H0:λ1=…=λp=0，檢驗混合概率是否為常數(shù).如果接受原假設，則表示混合概率不隨時間變化而變化.

2 模型估計方法

2.1 EM 算法

由于混合模型中存在不可觀測的啞變量Zit，在這種情況下文獻中通常采用EM算法進行參數(shù)估計.暫且假設εt服從正態(tài)分布，且假設均值為0，則偽對數(shù)似然函數(shù)(pseudo-log-likelihood)為

(7)

在模型滿足一定條件下，利用EM算法可以求得L*(θ)的最大值點，即θ的偽最大似然估計量.但為了更容易處理似然函數(shù)L*(θ)的優(yōu)化問題，將啞變量Zit加入似然函數(shù)，并且將{yt,zit,t=1,…,n，i=1,…,K}看作樣本.現(xiàn)考慮如下對數(shù)似然函數(shù)形式

(8)

將函數(shù)L(θ)稱為完整對數(shù)似然函數(shù)，相應地，L*(θ)稱為不完整對數(shù)似然函數(shù).

由于Zit不可觀測，按照混合模型的一般慣例，采用迭代EM算法對L(θ)求解偽極大似然估計[30].迭代EM算法的兩個步驟如下：

①求期望(E步) 假定θ的初始值θ0，對缺失數(shù)據(jù){zkt}用其條件期望(用τkt表示)來替代.依據(jù)Wong和Li[9]，該步可表述為

(9)

式中g(·)為標準正態(tài)分布的密度函數(shù).顯然，當混合成分只有兩個時，有τ1t=1-τ2t.

i=1,…,K

以及

2.2 估計的漸近方差

根據(jù)Louis[31]的缺失數(shù)據(jù)原則，觀測信息矩陣可以通過以下方式計算

(10)

(11)

其中

詳細證明可以參考文獻[9，11].值得注意的是，當誤差項εt不滿足正態(tài)分布時，參數(shù)估計的漸近方差將有更復雜的表達式.這將留作以后研究.

3 模擬結果

利用蒙特卡羅模擬試驗，研究EM算法在DM-HGARCH模型中參數(shù)估計的有限樣本表現(xiàn).由于本文主要研究二階矩性質(zhì)，所以在整個試驗過程中將均值項μt都設定為0.為考察序列本身的自反饋行為，邏輯斯特連接函數(shù)設定為只依賴于yt的歷史值，不包含其他外生變量，且考慮只有兩個混合成分的情況.數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程如下

(12)

式中εt～i.i.d.N(0,1).

P(Z2t=1)=p2t=1-p1t

以上參數(shù)設置滿足條件方差的非負約束條件[28]，并且在兩個條件方差中，d的取值均大于0.5，這是為了保證d的估計的漸近正態(tài)性[32].兩個波動率成分均為HGARCH(1,d,0)結構，都沒有包含自回歸多項式δ(·)部分，原因在于即使包含δ(·)部分，其對應的脈沖響應系數(shù)呈幾何衰減，當滯后階數(shù)足夠大時，衰減速度則完全由更慢的雙曲衰減所控制，因而該部分不改變波動率記憶的根本屬性.不失一般性，本文只考慮上述簡化的模型.

由表1可以看出，隨著樣本量的增大，兩個波動率成分和連接函數(shù)部分的參數(shù)估計的乖離率和均方差都在逐漸減小，與估計的漸近性質(zhì)基本保持一致.并且觀察到，在第一部分條件方差HGARCH1中，α的真實值大于1，即此過程是非平穩(wěn)的，但參數(shù)估計仍然表現(xiàn)良好，說明EM迭代估計法對于非平穩(wěn)過程的參數(shù)估計也是有效的.另外，由于(1-B)d展開式中，πj=O(j-1-d)，表明脈沖響應系數(shù)的衰減速度與d的取值呈負相關，即d值越大，衰減越快，d的參數(shù)估計的漸近方差越??；d值越小，衰減越慢，d的參數(shù)估計的漸近方差越大.這在表1中也有所體現(xiàn).

表1 模型(12)中EM估計在有限樣本下的表現(xiàn)Table 1 Finite-sample performance of EM estimation in model (12)

4 實證分析

圖1 上證指數(shù)的原始價格序列Pt、對數(shù)收益率yt、yt的自相關圖和的自相關圖Fig.1 Shangzheng index:Original pricePt，log-return yt，autocorrelations of yt，autocorrelations of

圖2 標普500指數(shù)的原始價格序列Pt、對數(shù)收益率yt、yt的自相關圖和的自相關圖Fig.2 S&P500 index:Original pricePt，log-return yt，autocorrelations of yt，autocorrelations of

在擬合部分，將每一個樣本集都分為兩個部分，1至n-500用于樣本內(nèi)(訓練集)擬合，最后500個數(shù)據(jù)用于樣本外 (測試集) 預測效果的評價.表2報告了DM-HGARCH模型和單一HY-GARCH模型的擬合結果.由于HY-GARCH和HGARCH 有相同的表現(xiàn)，為節(jié)約篇幅，此處僅匯報單一HY-GARCH模型的實證結果.

表2 參數(shù)估計結果Table 2 Estimation results of parameters

表3 基于1步向前和5步向前預報區(qū)間覆蓋率的預報效果比較(95%置信水平下)Table 3 Comparison of forecasting performance based on the 1-day-ahead and 5-days-ahead predictive interval coverage rate(under 95% confidence level)

從表3可以看出，當預測步長為1時，上證指數(shù)和標普500指數(shù)基本都能通過檢驗(p值超過0.05表示通過檢驗)，且上下尾覆蓋率接近95%.但是當預測步長增加到5時，只有標普500指數(shù)通過相應檢驗，而對上證指數(shù)檢驗的所有p值均為極端小值，因而拒絕原假設.Conrad[27]指出，長記憶GARCH模型在多步預測上會有更好的表現(xiàn)，這與表3中給出的對標普500指數(shù)的1步預測和5步預測結果相吻合.綜上所述，在對上證指數(shù)和標普500指數(shù)兩支序列的實證分析中，本文發(fā)現(xiàn)DM-HGARCH模型對后者在1995年～2014年的日收益率序列的波動具有更好的解釋和預測能力.

值得注意的是，田存志等[36]通過對現(xiàn)代經(jīng)典金融理論和新金融理論進行梳理和歸納，指出金融市場具有多元的記憶模式，即在不同時間區(qū)段上會表現(xiàn)出不同的記憶類型，有時表現(xiàn)為長記憶，有時表現(xiàn)為短記憶，甚至是白噪聲.因而這里的實證分析只是在基于給定的有限樣本，通過模型選擇、風險測度的預測等標準進行比較，得出DM-HGARCH模型在該時間段內(nèi)對標普500指數(shù)的波動率具有更好的解釋和預測能力.但是對不同時間段的不同樣本，可能會有不一樣的實證結果.對“金融市場是否存在長記憶”和長記憶的產(chǎn)生機制，相應的理論基礎在文獻中尚且匱乏.這也是作者未來的研究方向之一.

5 結束語

當時間序列跨度較長時，其觀測值往往來自不同的驅動機制，混合模型是簡單有效的捕捉結構變化的模型.本文在Li等[8]的基礎上提出一類動態(tài)混合HGARCH模型，該模型可以同時刻畫波動率的長記憶性和結構變化，并且在一定條件下，存在協(xié)方差平穩(wěn)解.本文討論了模型的弱平穩(wěn)解存在條件，研究了EM算法進行參數(shù)估計的大樣本性質(zhì)，并用蒙特卡羅模擬展現(xiàn)該估計方法在有限樣本下的表現(xiàn).最后利用該模型對上證指數(shù)和標普500指數(shù)進行實證分析.從擬合結果和預測結果兩方面來看，DM-HGARCH模型對標普500指數(shù)的擬合和預測能力遠好于單一的HY-GARCH模型，但對上證指數(shù)的擬合效果一般.值得注意的是，本文中給出的動態(tài)混合模型可以推廣到多個混合成分(即混合成分的個數(shù)大于2)，但是如何確定混合成分的個數(shù)，目前仍是混合時間序列研究的難點，也是本文的局限所在.