高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的類型及特點分析

胡琳 熊丙章 童莉

[摘? 要] 高考數(shù)學題的創(chuàng)新響應了時代的號召，在改革發(fā)展的時代大背景下，立足新課標理念，評析了近三年典型高考全國卷理科數(shù)學創(chuàng)新型試題的四大類型：立德樹人型、趣味邏輯型、高等背景型、閱讀理解型，通過列舉近三年典型高考全國卷理科數(shù)學試題，對各類型試題的特點做了分類分析，整體把握了高考試題的創(chuàng)新點.

[關(guān)鍵詞] 高考數(shù)學;創(chuàng)新型試題;類型及特點

習近平總書記在全國兩會重要講話中提出“三個第一”的重要論斷，即“發(fā)展是第一要務，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動力.”其中，創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力. 《義務教育數(shù)學課程標準 （2011年版 ）》指出“要注重發(fā)展學生的創(chuàng)新意識”[1]，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：數(shù)學教育承載著培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的任務，要促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展[2]. 2017年考試大綱說明提出“高考數(shù)學命題應該加強用創(chuàng)新型試題來檢驗學生的創(chuàng)新意識，高考數(shù)學創(chuàng)新型試題是指從測量考生的發(fā)展性學力和創(chuàng)造性學力著手突出能力檢驗的試題[3]. 2009年趙思林[4]教授探究了創(chuàng)新型試題的類型，2018年趙思林[5]等人將高考數(shù)學創(chuàng)新型試題分為觀察分析型、閱讀理解型、合情推理型等12類，2019年劉成龍[6]等人將其分為公式證明型、問題推廣型等4類，但創(chuàng)新型試題可從背景、類型、特點等多角度入手，因此本文著重評析了近三年典型高考全國卷理科數(shù)學創(chuàng)新型試題的四大類型：立德樹人型、趣味邏輯型、高等背景型、閱讀理解型，并從中體會到所包含的四大特點，即觀念新、思維新、背景新、呈現(xiàn)新.

立德樹人型，觀念新

“立德”即樹立德行，自古以來“立德”是需要堅守的重要品德，“立德”最早在《左傳》中出現(xiàn)，即“大上有立德，其次有立功”. 因此“數(shù)學教學應具有德育功能”，高考數(shù)學試題應該延續(xù)中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng)，將“德”滲透到高考數(shù)學試題中，使之得以弘揚，這也是高考數(shù)學試題的創(chuàng)新之處. “立德樹人”涵蓋豐厚的文化底蘊，育人于無聲無息中，以數(shù)學文化等觀念立意，詮釋了有內(nèi)涵、有價值的觀念角度，提升了試題這一文本的潛在高度. 如2017年全國卷Ⅰ理科第2題的“太極圖”;2018年全國卷Ⅱ理科第8題的“哥德巴赫猜想”、全國卷Ⅲ理科第3題的“榫卯問題”;2019年全國卷Ⅰ理科第6題的“卦”、全國卷Ⅱ理科第4題的“登月問題”、全國卷Ⅱ理科第16題的“印信問題”.

例1（2019年高考全國卷Ⅱ理科第4題）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系. 為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行. L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上. 設地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：+=（R+r）.設α=，由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為（? ）

A. RB. R

C. RD. R

評析：本例以嫦娥四號登月為命題背景，通過介紹我國航天事業(yè)的偉大成就，進而拋出了數(shù)學計算問題，體現(xiàn)了高考命題時對“德育”的引導，也凸顯了立德樹人的思想方針，此命題角度充分體現(xiàn)了觀念的新穎性.

趣味邏輯型，思維新

邏輯是思維的規(guī)律，也是創(chuàng)新的起點，將邏輯增添趣味，從而使得思維得到活躍，促進了學習、研究的興趣，為學生的“思維靈活度”的培養(yǎng)提供了催化劑，提升了學生的邏輯思維能力等. 趣味邏輯型試題以獨特的視角、靈活的思考，帶給學生新穎的思維情境，幫助學生打開邏輯的大門，對于學生邏輯思維能力的培養(yǎng)十分有利. 如2017年全國卷Ⅱ理科第7題的“詢問成績問題”;2018年全國卷Ⅰ理科第7題的“最短路徑問題”;2019年全國卷Ⅰ理科第15題的“籃球問題”.

例2（2017年高考全國卷Ⅱ理科第7題）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績. 老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績. 看后甲對大家說：我還是不知道我的成績. 根據(jù)以上信息，則（? ）

A. 乙可以知道四人的成績

B. 丁可以知道四人的成績

C. 乙、丁可以知道對方的成績

D. 乙、丁可以知道自己的成績

評析：本例以學生向老師詢問考試成績?yōu)榍榫常?lián)系了師生之間的生活情境，頗具趣味性，極大地激發(fā)了學生“用腦”“用心”去思考問題情境，使得學生有邏輯的思考空間，并且學生緊張的思緒得以放松，體現(xiàn)了對學生的人文關(guān)懷，此題新穎、有趣，充分展現(xiàn)了邏輯的趣味性、思維的新穎性.

高等背景型，背景新

高等背景型試題是指將高等數(shù)學知識、方法等作為素材來命制的試題.該類試題的創(chuàng)新體現(xiàn)在三個方面：一是命題素材創(chuàng)新，即拓寬了命題素材選取范圍，打破了源于教材的傳統(tǒng);二是試題背景創(chuàng)新，即試題含有豐富的高等數(shù)學背景;三是解答方法創(chuàng)新，即可用初等方法，也可以運用高等數(shù)學知識解答. 實踐表明，高等背景型試題具有積極作用：凸顯能力立意的命題原則;強化中學數(shù)學與高數(shù)知識間的銜接;展示新穎的數(shù)學背景;豐富試題的內(nèi)涵;拓寬試題解法;考查學生創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識[7]. 該類試題為學生個性發(fā)展、超前學習、創(chuàng)新拓展提供了更為廣闊的視角. 如2017年全國卷Ⅲ理科21題的“柯西不等式”;2018年全國卷Ⅰ理科第21題的“拉格朗日中值定理”、全國卷Ⅲ理科第21題的“洛必達法則”;2019年全國卷Ⅲ第23題的“柯西不等式”.

例3（2018年高考全國卷Ⅲ理科第21題）函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（Ⅰ）若a=0，證明：當-10時，f（x）>0;

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

評析：本例含有洛必達法則的高等數(shù)學背景.在第（Ⅱ）中運用到了洛必達法則，對的分子分母分別求導再求極限，從而求解a值. 洛必達法則的使用條件是分子分母極限均為0，本例的解答方法和命制過程充滿了創(chuàng)造性. 命制試卷時要注意構(gòu)造出滿足條件的分式，從而運用洛必達法則巧妙解答，背景具有深刻性.

閱讀理解型，呈現(xiàn)新

閱讀，字典的解釋是“看文字并理解它的意思”. 閱讀屬于信息輸入加工形式，是人類汲取知識、認識世界、可持續(xù)發(fā)展能力的一個重要方式[8]. 而數(shù)學閱讀是指學生根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，通過閱讀數(shù)學材料（數(shù)學公式、方法、圖形、符號、文字等）汲取信息，建構(gòu)數(shù)學意義和方法的心理和智力過程[8]. 從心理學角度分析，數(shù)學理解的本質(zhì)是學習者在頭腦中形成關(guān)于這個知識的內(nèi)部網(wǎng)絡，即建立了該知識的圖式[9]. 可見，閱讀是促進理解的重要手段. 閱讀理解型試題是指以閱讀材料形式呈現(xiàn)的試題. 閱讀材料往往介紹一個新定義、一種新規(guī)則、一種新運算等等，這些新的信息需要學習在考場上現(xiàn)場加工、內(nèi)化、運用，這一過程正是新課程倡導的閱讀自學的數(shù)學學習方式. 如2017年全國卷Ⅰ理科第12題的“激活碼問題”、全國卷Ⅱ理科第3題的“塔燈問題”;2018年全國卷Ⅰ理科第3題的“餅圖問題”;2019年全國卷Ⅰ理科第4題的“斷臂維納斯”、全國卷Ⅲ理科第3題的“四大名著”.

例4（2019年高考全國卷Ⅰ理科第4題）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比為（≈0.618，稱作黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此. 此外最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是. 若某人滿足上述兩個黃金分割比例，腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（? ）

A. 165 cm ? B. 175 cm

C. 185 cm ? D. 190 cm

評析：本例是典型的閱讀理解型試題，問題之間相互貫穿，體現(xiàn)了問題呈現(xiàn)的新穎性，題中數(shù)字多、文字多、比值多，對學生閱讀能力要求很高. 解答時，學生需要經(jīng)歷信息篩選→信息加工→信息應用，整個過程為：通過閱讀認識頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比、頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比都為，結(jié)合比值與人體之間的關(guān)系，理清人體各分布的比值，然后將比值運用到題設中. 解答過程中包含對黃金分割比例的認識、理解、運用，著重考查學生的信息加工能力、閱讀理解能力.

創(chuàng)新作為高考命題的風向標，已有深刻體現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)在近三年的高考數(shù)學試題命制中，立德樹人型、趣味邏輯型、高等背景型、閱讀理解型這四類創(chuàng)新題型，在高考中呈現(xiàn)得較為頻繁，表現(xiàn)出穩(wěn)步上升的趨勢，因此在教學中應該多加練習，熟悉典型高考數(shù)學創(chuàng)新型試題. 隨著不斷地創(chuàng)新發(fā)展，使得創(chuàng)新型試題的題型多種多樣，其類型及特點也會隨之改寫、升華，我們應該把握大體趨勢，以適應自身素養(yǎng)的提升和高考的需求.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2011.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2017.

[3]? 教育部考試中心. 2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明：理科[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[4]? 趙思林. 高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的幾種類型[J]. 高中數(shù)學教與學（人大復?。?009（5）.

[5]? 趙思林，李雪梅. 高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的若干類型與評析[J]. 內(nèi)江師范學院學報，2018（2）.

[6]? 劉成龍，胡琳. 高考數(shù)學創(chuàng)新型試題的幾種類型及評析[J]. 中學數(shù)學，2019（5）.

[7]? 劉成龍，余小芬. 高等數(shù)學背景下高考命題的問題及建議[J]. 中國數(shù)學教育，2017（22）.

[8]? 劉成龍，黃祥勇. 2014年中考成都卷第23題分析及啟示[J]. 中學數(shù)學，2015（2）.

[9]? 喻平. 數(shù)學教育心理學[M]. 南寧：廣西教育出版社，2004.