再談2015年北京高考理科數(shù)學(xué)壓軸題與“數(shù)學(xué)黑洞”問(wèn)題

李啟超　張燕

【摘要】甘志國(guó)先生在文獻(xiàn)[1]中指出2015年北京高考理科數(shù)學(xué)壓軸題的命題背景是一類(lèi)“數(shù)學(xué)黑洞”問(wèn)題，并且作為對(duì)2015年壓軸題的推廣，在文末提出了一個(gè)猜想. 本文中我們指出這個(gè)猜想在一般情況下不成立，然后借助初等數(shù)論歐拉定理等知識(shí)給出該猜想成立的一個(gè)充分條件和嚴(yán)格證明.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；歐拉定理；原根；循環(huán)軌道；數(shù)學(xué)黑洞

1 “數(shù)學(xué)黑洞”的概念與相關(guān)例題

已知定義在有限集合S={a1，a2，…，an}到自身的映射σ：S→S，如果對(duì)于集合S的某個(gè)非空真子集S0={b1，b2，，…，bm}S滿(mǎn)足σ（bi）=bi+1， 1≤i

我們指出，很多“數(shù)學(xué)黑洞”型問(wèn)題在離散動(dòng)力系統(tǒng)理論、組合圖論和數(shù)論的研究中有重要意義. 事實(shí)上，近年來(lái)很多高考數(shù)學(xué)題和競(jìng)賽題目往往有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景，例如2010年北京高考數(shù)學(xué)壓軸題背景是通信技術(shù)中的糾錯(cuò)碼理論[3]，2014年北京高考數(shù)學(xué)壓軸題背景是多工序流水線(xiàn)時(shí)間最優(yōu)化問(wèn)題[5]，這些數(shù)學(xué)題目新穎大氣，數(shù)學(xué)思想豐富，有效地?cái)U(kuò)展了廣大考生的數(shù)學(xué)視野.

文獻(xiàn)[1]中，甘志國(guó)先生指出2015年北京高考理科數(shù)學(xué)壓軸題的命題背景就是一種“數(shù)學(xué)黑洞”型問(wèn)題，為方便讀者我們將問(wèn)題陳述如下：

問(wèn)題1（2015年北京卷理科第20題）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*且a1≤36，

從而a1=1 時(shí)，|M|=8.

容易知道，當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)a1為奇數(shù)時(shí)，M={an[JB（|]n∈[WTHZ]N[WTBX]*[JB）]}中元素個(gè)數(shù)才可能有最大值.

① 當(dāng)a1為奇數(shù)， 且不是3的倍數(shù)時(shí)，a3，a4，…都是4的倍數(shù)且不是3的倍數(shù)，a3，a4，…只能在{4， 8， 16， 32， 28， 20}中取值，此時(shí)|M|中最多有8個(gè)元素.

② 當(dāng)a1為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)時(shí)，a3，a4，…都是12的倍數(shù)，a3，a4，…只能在{12， 24， 36}中取值，此時(shí)|M|中最多有5個(gè)元素.

綜上，M={an[JB（|]n∈[WTHZ]N[WTBX]*[JB）]}中元素個(gè)數(shù)最大值為8. 證畢.

說(shuō)明我們將在本文第二節(jié)說(shuō)明循環(huán)軌道的長(zhǎng)度與初等數(shù)論中的歐拉定理相關(guān)，并嚴(yán)格證明問(wèn)題一的一種推廣形式.“數(shù)學(xué)黑洞”型問(wèn)題及其解題思想在近年來(lái)的高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中時(shí)有出現(xiàn)，我們?cè)僭嚺e一例：

問(wèn)題2（2015年北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽決賽第五題）有一種叫做“嚴(yán)格對(duì)插洗牌”的撲克牌洗牌方法，每洗一次牌（牌的張數(shù)是偶數(shù)）） 即是完成如下兩步操作：

①將這疊牌（2n 張）的前 n 張分為第一組，后 n 張為第二組；

②從兩組中按順序依次交替摸牌，直至摸完為止，依照摸出的順序?qū)⑴婆懦梢慌?比如，對(duì)于A、2、3、4、5、6這6張牌，并依此順序從左到右排成一排，第一次嚴(yán)格對(duì)插洗牌之后的牌序變?yōu)锳、4、2、5、3、6.問(wèn)題：

（1）對(duì)于順序?yàn)?、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10張牌，經(jīng)過(guò)2017次嚴(yán)格對(duì)插洗牌之后，第5張是什么牌？標(biāo)記為9的牌在哪個(gè)位置？

（2）如果對(duì)于任意排好順序的20張牌，最少經(jīng)過(guò)多少次嚴(yán)格對(duì)插洗牌之后，牌的順序變回到初始位置？

分析解決本題第（2）小問(wèn)的關(guān)鍵是引入字母，將每次“洗牌”描述成一個(gè)映射，并且觀(guān)察到這個(gè)映射的迭代將陷入“數(shù)學(xué)黑洞”.

解答（1）洗牌后第5張牌是3；標(biāo)記為9的牌是第8張，過(guò)程略.

（2）容易觀(guān)察到，每次“洗牌”不改變第一張和最后一張牌的編號(hào). 我們不妨將處于中間的（2n-2）張牌重新編號(hào)為1，2，…，k，…，2n-2，每次洗牌，這些牌的位置序號(hào)一直在變化.每次洗牌看做一個(gè)映射，則牌的位置序號(hào)變化滿(mǎn)足映射：

2x（mod（2n-1））， x∈{1，2，…，2n-2}.

映射σ是這2n-2張牌所成集合到自身的一個(gè)映射，滿(mǎn)足

σk（x）=2kx（mod 2n-2），k=1，2，3…，

這個(gè)數(shù)列只能在{1，2，…，2n-2}中取值，后一項(xiàng)由前一項(xiàng)唯一決定，因而當(dāng)k足夠大時(shí)，數(shù)列將陷入循環(huán)，即陷入“數(shù)學(xué)黑洞”.

經(jīng)過(guò)k次洗牌后，原來(lái)編號(hào)為x的牌位置序號(hào)變成

2kx（mod（2n-1））.

若經(jīng)過(guò)k次洗牌后，牌的順序回到初始位置，k須滿(mǎn)足2k≡1（mod（2n-1）），當(dāng)2n-1=19時(shí)，不難直接驗(yàn)證得，k 至少為φ（19）=18. 所以，至少要經(jīng)過(guò)18次洗牌后，牌的順序回到初始位置.

2甘志國(guó)先生的一個(gè)猜想與初等數(shù)論

甘志國(guó)先生在文[1]的結(jié)尾處提出了一個(gè)猜想，陳述如下：

致謝我們感謝北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院童行偉教授的有益的修改建議.

參考文獻(xiàn)

[1]甘志國(guó). 2015年高考北京卷數(shù)學(xué)（理科）壓軸題的背景是數(shù)學(xué)黑洞問(wèn)題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（7）：42-45.

[2]潘承洞， 潘承彪. 初等數(shù)論[M]. 北京：北京大學(xué)出版社. 1992.

[3]李啟超， 榮賀. 從高中數(shù)學(xué)試題到糾錯(cuò)碼理論[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 2016， 55（4）：47-51.

[4]Michael Ecker著， 劉強(qiáng)譯. 數(shù)學(xué)黑洞的魅力[J]. 世界科學(xué)， 1993（10）：6-6.

[5]華羅庚，王元. 數(shù)學(xué)模型選談[M].大連：大連理工出版社.