大道至簡，規(guī)避討論

王曉

[摘? 要] 分類討論是解析數(shù)學(xué)問題十分常用的方法，但解析過程中對學(xué)生的分類能力、討論思維有著較高的要求. 在實(shí)際解題時(shí)可以采用一定的策略方法來合理規(guī)避分類討論，提高解題效率. 文章結(jié)合實(shí)例深入探討數(shù)形結(jié)合、函數(shù)性質(zhì)、分離參數(shù)、變換主元四種規(guī)避策略，提出相應(yīng)建議.

[關(guān)鍵詞] 規(guī)避;分類討論;數(shù)形結(jié)合;函數(shù);參數(shù);主元

分類討論是高中數(shù)學(xué)重要的解題思想和方法策略，可將復(fù)雜的問題拆分為若干個(gè)基本問題，解析時(shí)需分為“分類”和“討論”兩個(gè)過程，但對學(xué)生的解析思維有著較高的要求. 若分類的標(biāo)準(zhǔn)確定有誤，很容易造成討論的過程不完善，勢必會(huì)造成解題錯(cuò)誤. 從解法優(yōu)化角度來看，在解題時(shí)若能轉(zhuǎn)化思維角度或采用解題策略來簡化甚至規(guī)避分類討論，則可以提升解題效率，下面對規(guī)避策略加以探究.

滲透數(shù)形結(jié)合，規(guī)避分類討論

數(shù)形結(jié)合在求解函數(shù)問題中有著廣泛的應(yīng)用，實(shí)際上該方法策略也可用于規(guī)避分類討論，即求解某些代數(shù)類問題時(shí)，可以構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，并繪制函數(shù)圖像，利用函數(shù)圖像的直觀性來解題.該規(guī)避策略常用于涉及含參函數(shù)、方程、不等式等問題中.

例1：ax3-x2+x+1=0是關(guān)于x的方程，已知該方程在（0，+∞）上的實(shí)數(shù)解有且僅有一個(gè)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：題干所給方程是一個(gè)含有參數(shù)a的關(guān)于x的一元三次方程，無法直接獲得其解，常規(guī)解法是對a的取值范圍加以討論. 此時(shí)我們就可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，基于方程構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，通過研究函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：可將原方程變形為--=a，可設(shè)f（x）= --=（x>0），則f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=-. 分析可知在（0，3）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，在（3，+∞）上單調(diào)遞減，又可求得f（3）=>0，f（1）=-1，在（3，+∞）上f（x）>0. 從而可以繪制圖1所示的圖像，由圖可知當(dāng)a=或a≤0時(shí)函數(shù)與x軸有唯一的交點(diǎn)，即對應(yīng)的方程在（0，+∞）上的實(shí)數(shù)解有且僅有一個(gè)，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為aa=，a≤0 .

總結(jié)與指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合規(guī)避分類討論的最大優(yōu)勢是圖像直觀，可以直接獲得解題突破的關(guān)鍵信息. 但在學(xué)習(xí)時(shí)需要掌握解讀函數(shù)圖像的方法，能夠從函數(shù)圖像中提煉出曲線交點(diǎn)、變化趨勢，值域、定義域，以及曲線之間的相對位置等內(nèi)容，并能夠用關(guān)系式來表示.

活用函數(shù)性質(zhì)，規(guī)避分類討論

函數(shù)性質(zhì)在分析取值類問題中有著廣泛的應(yīng)用，對于一些涉及變量討論的取值問題，則可以充分利用函數(shù)的性質(zhì)來加以簡化，規(guī)避討論. 例如常用的函數(shù)對稱性、單調(diào)性等. 一般利用函數(shù)性質(zhì)來規(guī)避分類討論時(shí)，需要根據(jù)題干性質(zhì)提取原函數(shù)的關(guān)鍵性質(zhì)，并用函數(shù)關(guān)系或不等式來具體化，逐步將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程組或不等式組.

例2：對于函數(shù)f（x），其在定義域[-1，1]上是偶函數(shù)，并且在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，已知f（1+m）

分析：題干給出了函數(shù)f（x）的性質(zhì)及單調(diào)區(qū)間，需要根據(jù)函數(shù)間的不等關(guān)系來求m的取值范圍，常規(guī)的做法是討論函數(shù)的定義域，確定每個(gè)區(qū)間上的情形，但該方法相對較為煩瑣，此時(shí)就可以利用該函數(shù)的對稱性來規(guī)避分類討論. 函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則必然滿足f（x）=f（-x）=f（x），后續(xù)只需要利用該對稱性質(zhì)來加以分析即可.

解：f（x）在定義域[-1，1]上是偶函數(shù)，則根據(jù)偶函數(shù)圖像的對稱性可知該函數(shù)滿足f（x）=f（-x）=f（x），從而可將不等式轉(zhuǎn)化為f（1+m）

總結(jié)與指導(dǎo)：函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)可以解決多類型問題，例如方程、不等式等問題. 而在學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注函數(shù)構(gòu)建的方法，建立函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，掌握問題轉(zhuǎn)化的技巧與思路.

合理分離參數(shù)，規(guī)避分類討論

參數(shù)取值的不確定性是造成分類討論的原因之一，因此在分析某些函數(shù)取值問題時(shí)，則可以考慮采用分離參數(shù)法，通過將參數(shù)與函數(shù)分離的方式來規(guī)避討論. 在求解時(shí)首先對函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行分離，等價(jià)轉(zhuǎn)化問題，一般將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式問題或函數(shù)取值問題，然后利用相關(guān)性質(zhì)來對其取值加以分析.

例3：已知函數(shù)f（x）=-ax（x>0且x≠1），如果存在x∈[e，e2]使得f（x）≤成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)f（x）內(nèi)含有參數(shù)a，討論特定條件下關(guān)于函數(shù)的不等式成立，而a的取值不確定，常規(guī)思路是設(shè)定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論對應(yīng)條件下不等式成立的情形. 但該種思路相對較為煩瑣，可以采用分離參數(shù)的方式，將參數(shù)a集中到不等式的一邊，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

解：存在x∈[e，e2]，使得f（x）≤成立，代入函數(shù)解析式，則有-ax≤，可將其變形為a≥-，則需要分析-的值域，可以構(gòu)建函數(shù)g（x）=-，其中x∈[e，e2]，則有a≥g（x）min. 通過分析g（x）的導(dǎo)函數(shù)可以確定函數(shù)g（x）在區(qū)間[e，e2]上單調(diào)遞減，則g（x）min=g（e2）=-，即a≥-，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

總結(jié)與指導(dǎo)：分離參數(shù)是重要的數(shù)學(xué)方法，從表面上來看是將參數(shù)轉(zhuǎn)移到符號(hào)的一側(cè)，實(shí)際上是為了方便構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)回避討論. 需要注意的是在分離參數(shù)時(shí)要嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)運(yùn)算法變式，關(guān)注參數(shù)對應(yīng)的取值.

靈活變換主元，規(guī)避分類討論

對于某些含參不等式問題，如果從常規(guī)的角度來設(shè)定主元求解，有時(shí)需要對參數(shù)的取值加以討論，其過程較為復(fù)雜，此時(shí)可以考慮采用變換主元的方法，即設(shè)定參數(shù)為不等式的主元，然后分析參數(shù)與未知數(shù)之間的變化，并借助相應(yīng)的函數(shù)知識(shí)來對參數(shù)的取值加以討論，從而獲得最終答案.

例4：已知不等式mx2-2x-m+1<0，對于滿足m≤2的一些m均成立，試求x的取值范圍.

分析：上述為含參不等式，表面上是關(guān)于x的一元二次不等式，需要討論滿足成立條件下的m的取值. 為避免分類討論則可以采用變換主元的策略，即將不等式視為是關(guān)于m的一元一次不等式，則對應(yīng)的解集就為[-2，2]，求x的取值范圍，可以通過分析參數(shù)m與x的變化來完成.

解：根據(jù)不等式來設(shè)定函數(shù)，設(shè)f（m）=（x2-1）m+（1-2x），可將其設(shè)為是關(guān)于m的一次函數(shù)，對應(yīng)的圖像就為一條直線，根據(jù)題意可知當(dāng)m∈[-2，2]時(shí)，直線位于y軸的下方，因此需要滿足的條件為f（-2）<0，f（2）<0，可得不等式組-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0，可解得

總結(jié)與指導(dǎo)：變換主元實(shí)際上是變換問題視角，在主元變換的過程中需要嚴(yán)格遵循函數(shù)、方程、不等式的設(shè)定要求. 在學(xué)習(xí)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生多角度看待問題，拓展解題視野.

解后深度反思，思考教學(xué)建議

分類討論可以促進(jìn)問題的條理性，但思維過程較為煩瑣，需要確保討論過程不“重”不“漏”，這也是在解析問題時(shí)要合理規(guī)避分類討論的原因所在. 上述是對規(guī)避分類討論四種策略的實(shí)例探究，下面基于突破過程提出兩點(diǎn)建議.

建議1：關(guān)注問題轉(zhuǎn)化的過程

從上述四種策略來看，規(guī)避分類討論實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化問題視角，將對應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為分析過程較為簡潔的問題，例如轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題、不等式問題等. 因此在學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注問題轉(zhuǎn)化的策略，學(xué)習(xí)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，如利用函數(shù)值域來分析不等式、方程取值. 一般問題轉(zhuǎn)化時(shí)可以按照如下步驟進(jìn)行：首先確定問題類型，思考對應(yīng)的知識(shí)關(guān)聯(lián)，結(jié)合知識(shí)聯(lián)系點(diǎn)對問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用等價(jià)問題的性質(zhì)定理來探究結(jié)論.

建議2：關(guān)注規(guī)避策略的思想

解題過程中所用的方法策略背后隱含的是數(shù)學(xué)思想，因此實(shí)際上就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成了思路構(gòu)建，例如上述對問題轉(zhuǎn)化就是化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用體現(xiàn)，而數(shù)形結(jié)合分析問題的過程中滲透著數(shù)形結(jié)合思想. 因此學(xué)習(xí)分類討論的規(guī)避策略就需要立足對應(yīng)數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)內(nèi)涵，深刻理解思想方法解析問題的精髓所在. 數(shù)學(xué)思想與知識(shí)定理同等重要，在探究運(yùn)用過程中可以提升自我的思維品質(zhì)，因此在教學(xué)中需要教師重點(diǎn)引導(dǎo)，合理滲透.

總之，規(guī)避分類討論的策略有很多，上述只是其中四種較為常用的，而規(guī)避過程實(shí)際上就是問題轉(zhuǎn)化過程，該過程中需要學(xué)生深刻理解問題，破除思維定式，充分利用關(guān)聯(lián)知識(shí)來合理轉(zhuǎn)化. 而轉(zhuǎn)化解題同樣可以鍛煉思維，因此對提升思維能力有著極大的幫助.