“以直代曲”思想在函數(shù)中的應(yīng)用

深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部

在近幾年的全國(guó)高考?jí)狠S題、數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，常常遇到與指數(shù)類函數(shù)、對(duì)數(shù)類函數(shù)、二次函數(shù)等非直線型的函數(shù)不等式，這類不等式多數(shù)是與函數(shù)零點(diǎn)、數(shù)列求和有關(guān)，用“以直代曲”思想方法對(duì)這類不等式進(jìn)行證明，往往更方便、更簡(jiǎn)單.下面談?wù)劇耙灾贝彼枷敕椒ㄔ诤瘮?shù)中的一些應(yīng)用.

一、利用切線或割線來逼近曲線

在數(shù)學(xué)上最容易處理的函數(shù)是線性函數(shù)，通過將函數(shù)在局部轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，是我們處理問題時(shí)達(dá)到簡(jiǎn)單、方便、高效的目的.

我們知道如果連續(xù)函數(shù)f(x)(x ∈(a,b))在(a,b)上是上凸函數(shù)(f′′(x)＜0)，y=g(x)是曲線y=f(x)在(a,b)上的一條切線，y=h(x)是連結(jié)點(diǎn)A(a,f(a))、B(b,f(b))的一條割線，則當(dāng)x ∈(a,b)時(shí)，h(x)＜f(x)≤g(x)(如圖1)；反之，若f(x)是下凸函數(shù)(f′′(x)＞0)，則當(dāng)x ∈(a,b)時(shí)，h(x)＞f(x)≥g(x)(如圖2).

例如函數(shù)f(x)= lnx是上凸函數(shù)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線為y=x-1，則有l(wèi)nx≤x-1，同理有不等式ex≥x+1，這兩個(gè)不等式就是我們經(jīng)常使用的不等式.

1 利用“以直代曲”證明不等式

利用切線或割線來逼近曲線進(jìn)行放縮，是證明不等式的一種重要方法.

例1已知f(x)=xlnx-a,a＜0，設(shè)x1,x2(x1＜x2)是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，求證：ea+1＜x2-x1＜2a+1+e-2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

分析由于函數(shù)y=xlnx是下凸函數(shù)，曲線的切線都在圖像下方，則可構(gòu)造兩割線、兩切線分別證明左、右兩邊不等式.

證明函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即方程xlnx=a的解，令g(x)=xlnx，因?yàn)閯t函數(shù)g(x)為下凸函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與直線y=a交于兩點(diǎn)(x1,a)、(x2,a)(如圖3).

圖3

圖4

圖5

設(shè)曲線y=g(x)在x=e-2和x=1處的切線分別為l1:y=-x-e-2和l2:y=x-1，直線y=a與直線l1、l2分別交于點(diǎn)(x′1,a)、點(diǎn)(x′2,a)(如圖4)，則有x′1＜x1＜x2＜x′2.因?yàn)閤′1=-a-e-2，x′2=1+a，所以x2-x1＜x′2-x′1=(a+1)-(-a-e-2)=2a+1+e-2.

由g′(x)= 0，得設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)的割線為l1′:y=-x，經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)的割線為直線y=a與直線l1′、l2′分別交于點(diǎn)(x1′′,a),(x2′′,a)(如圖5)，則有x1＜x1′′＜x2′′＜x2.又因?yàn)閤1′′=-a，x2′′=(e-1)a+1，所以因此，原不等式成立.

2 利用“以直代曲”求最值

例2已知函數(shù)設(shè)且a+b+c=3，若不等式f(a)+f(b)+f(c)≤λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值.

分析由于條件中給出a+b+c=3，則需將f(x)放縮成關(guān)于kx+m的形式，又由于a,b,c在條件中處在等價(jià)對(duì)稱位置，因此，可考慮用曲線y=f(x)在x=1處的切線來逼近曲線y=f(x).

解函數(shù)f(x)在x=1處的切線為y=4-x，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以f(x)≤4-x.所以f(a)+f(b)+f(c)≤(4-a)+(4-b)+(4-c)=12-(a+b+c).

因?yàn)閍+b+c=3，所以f(a)+f(b)+f(c)≤12-3=9.故要使不等式f(a)+f(b)+f(c)≤λ恒成立，必須λ≥9.又因?yàn)?當(dāng)a=b=c=1時(shí)，滿足條件a+b+c=3，且f(a)+f(b)+f(c)=9，因此，λ的最小值為9.

例3已知求的最大值.

分析給出的條件和需求的代數(shù)式都不是關(guān)于a,b,c的對(duì)稱式，若進(jìn)行換元，令6a=2x2,3b=2y2,2c=2z2，則命題轉(zhuǎn)化為在滿足條件x+y+z=3 下，求的最大值.此時(shí)條件和需求的代數(shù)式都是關(guān)于x,y,z的對(duì)稱式，則可考慮用曲線在x=1處的切線進(jìn)行放縮求最值.

解設(shè)6a=2x2,3b=2y2,2c=2z2，則x+y+z=3，

下面證明當(dāng)0≤x≤3時(shí)，不等式成立.因?yàn)?/p>

又因?yàn)楫?dāng)x ∈[0,3]時(shí)，有2x3-3x2-8x-13 =x2(x-3)+x(x2-9)+x-13＜0，所以不等式成立，即則有

因?yàn)閤+y+z=3，所以等號(hào)當(dāng)x=y=z=1時(shí)取得，因此，所求最大值為

二、利用矩形來逼近曲邊梯形

根據(jù)定積分定義我們知道，如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則其中

將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，如果f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減，且f(x)＞0，根據(jù)函數(shù)圖像，則f(x)在第i個(gè)小區(qū)間上的曲邊梯形面積大于且小于因此，根據(jù)定積分定義可以得到下列不等關(guān)系：

圖6

圖7

如果f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則得到與上述不等式相反的結(jié)論.因此，對(duì)一些求和型的不等式(或我們可以通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用定積分定義進(jìn)行證明.

例4(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試)求證不等式：

分析因?yàn)樗钥煽闯墒莕個(gè)小矩形面積的和.若將每個(gè)小矩形放縮成曲邊梯形，則可利用定積分定義證明該不等式.

證明令則f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，所以因?yàn)?/p>

總之，“以直代曲”思想本質(zhì)上是利用非線性函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的凸性，恰當(dāng)利用切線、割線或矩形，將函數(shù)值運(yùn)算放縮為線性運(yùn)算或較簡(jiǎn)單的代數(shù)式運(yùn)算.對(duì)于一些不等式的證明問題和最值的求解問題，運(yùn)用“以直代曲”方法，往往能化繁為簡(jiǎn).