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      非等差等比數(shù)列常見模型問題的探究

      2020-07-14 06:26:14南京外國語學(xué)校仙林分校
      關(guān)鍵詞:求通化簡通項

      南京外國語學(xué)校仙林分校

      教材中建立等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種特殊的數(shù)列模型,教學(xué)過程中,通過歸納法、疊(累)加法、逐差法和迭代法等基礎(chǔ)方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式,通過倒序相加法和首末求和法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式,通過歸納法、疊(累)乘法和迭代法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式,通過錯位相減法、等比定理法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式,根據(jù)學(xué)生分層教學(xué)情況,還可以介紹拆項法、乘法運算公式法和方程法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式.

      實際上遇到更多的是非等差等比數(shù)列,對于此類問題的常見模型做一些探究和方法總結(jié),學(xué)習(xí)數(shù)列知識對進一步理解函數(shù)的概念和體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值具有重要的意義.

      一、對于非等差等比數(shù)列,求其通項

      例1(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+3n(n ∈N?,n≥2),求通項公式an;

      解法1由題意知:an-an-1=3n,an-1-an-2=3n-1,···,a2-a1=32,疊加得:當n≥2時,所以當n=1時,a1=1符合上式,所以

      解法2當n≥2時,迭代得:

      當n=1時,a1=1符合上式,所以

      (2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,nan=(n-1)an-1(n ∈N?,n≥2),求通項公式an.

      解法1由題意知:

      疊乘得:當n≥2時,

      解法2由題意知:當n≥2時,迭代得:

      當n=1時,a1=1符合上式,所以

      解法3由題意知:nan=(n-1)an-1,則若將n·an視為整體,則當n≥2時,2·a2,3·a3,···,n·an,···構(gòu)成一個常數(shù)列,所以n·an=2·a2=1,即當n=1時,a1=1符合上式,所以

      方法小結(jié)對于例題中類等差等比數(shù)列通項公式的求解可以從多個角度求解,常規(guī)解法總結(jié)如下:

      (1)形如an-an-1=f(n)(n ∈N?,n≥2)的數(shù)列,應(yīng)用疊加法:即當n≥2時,

      注意:當n=1時不一定滿足上述形式,所以需要檢驗;應(yīng)用迭代法時,需要迭代后的式子方便求和化簡.

      例2(1)已知數(shù)列{an}中,a1+2a2+···+nan=n2(n+1),求通項公式an;

      解當n≥2時,a1+2a2+···+nan=n2(n+1),a1+2a2+···+(n-1)an-1=(n-1)2n,兩式相減得:nan=n2(n+1)-(n-1)2n=n(3n-1),所以an=3n-1,當n=1時,a1=2符合上式,所以an=3n-1.

      (2)已知數(shù)列{an}中,a1a2···an=n2,求通項公式an.

      解當n≥2時,a1a2···an=n2,a1a2···an-1=(n-1)2,兩式相除得:所以an=當n=1時,a1=1不符合上式,所以an=

      方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下:

      (1)形如a1+2a2+···+nan=f(n)的數(shù)列,a1=f(1),列出

      (2)形如a1a2···an=f(n)的數(shù)列,a1=f(1),列出

      注意:當n=1時不一定滿足上述形式,所以需要檢驗.

      二、對于非等差等比數(shù)列,求其前n項和

      例3(1)求數(shù)列{1+2n-1}的前n項和Sn;

      解分組求和:

      解裂項相消:

      (3)求數(shù)列{(-1)n(3n-2)}的前n項和Sn;

      解法1錯位相減法,

      錯位相減得:

      解法2項數(shù)分奇偶數(shù),并項相加法,

      當n=2k(k ∈N?),即時,

      解錯位相減法,

      兩式作差得:

      方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下:

      (1)形如an±bn(an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列)的數(shù)列,應(yīng)用分組求和法;

      (3)正負交替出現(xiàn)的數(shù)列形式,應(yīng)用錯位相減法或者對項數(shù)n進行分類(奇偶性),應(yīng)用并項相加法;

      (4)形如anbn(an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列)的數(shù)列,應(yīng)用錯位相減法.

      三、根據(jù)數(shù)列的遞推規(guī)律,求其通項

      例4(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,1(n ∈N?,n≥2),求通項an;

      解由得:an-3 =又a1-3 =-2,所以an-30,則所以數(shù)列{an-3}是首項為-2,公比為的等比數(shù)列,于是an-3 =(-2)·則當n=1時,a1=1符合該式,所以

      (2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=2an-1+2n(n ∈N?,n≥2),求通項an;

      解由an=2an-1+2n(n ∈N?,n≥2)得:又所以數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列,于是則當n=1時,a1=1符合該式,所以

      (3)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=求通項an.

      解由a1=1,an=得an0,所以(n ∈N?,n≥2),即:所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,于是則當n=1時,a1=1符合該式,所以

      方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下:

      (1)形如an=pan-1+q(n ∈N?,n≥2,p1)的數(shù)列,化簡為的形式,構(gòu)造新數(shù)列,令即bn=pbn-1,原數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化成數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,從而求得數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)形如an=pan-1+f(n)(n ∈N?,n≥2)的數(shù)列,兩邊同除pn,得構(gòu)造新數(shù)列,令即若剛好為常數(shù),原數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化成數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;若不是常數(shù),但可以求和,原數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為利用疊加法求數(shù)列{bn}的通項,從而求得數(shù)列{an}的通項公式;

      注意:當n=1時不一定滿足上述形式,所以需要檢驗;上面三種數(shù)列形式可以應(yīng)用迭代法求通項,但需要迭代后的式子方便求和化簡.

      例5已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+an+1=2n(n ∈N?),求通項an.

      解由題意知:a2=1.當n≥2時,an+an+1=2n,an-1+an=2(n-1),兩式相減得:an+1-an-1=2,所以{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列,所以

      變式已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=2n(n ∈N?),求通項an.

      解析的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公比為2的等比數(shù)列,所以

      方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下:

      (1)形如an+an+1=f(n)的數(shù)列,列出兩式作差得an+1-an-1=f(n)-f(n-1),即找到隔項間的關(guān)系;

      (2)形如anan+1=f(n)的數(shù)列,列出兩式作商得即找到隔項間的關(guān)系;

      上述兩種形式的數(shù)列,在找到隔項間的數(shù)列關(guān)系后,可以轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列,非等差等比數(shù)列或類等差等比數(shù)列求通項的方法.

      四、運用an與Sn之間的關(guān)系解決數(shù)列相關(guān)問題

      例6已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn=n2an(n ∈N?),求通項an.

      解當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,化簡得疊乘得

      方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下:

      形如含an,Sn的關(guān)系式的數(shù)列,利用an=將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含有an的關(guān)系式(或僅含有Sn的關(guān)系式)解題.

      注意:(1)當n=1時不一定滿足得到的通項公式,所以需要檢驗;

      (2)數(shù)列是從第1項起,還是從第2項或其他項起成等差等比數(shù)列;

      (3)有時候需要進行多次迭代,有時候需要從數(shù)列{an}的子數(shù)列去探究{an}成等差等比的條件,仔細審題.

      五、借助通項公式解決其他問題

      理解通項公式對于解決數(shù)列問題的重要性,通過對通項的研究解決某些數(shù)列的單調(diào)性和最值問題,感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會數(shù)學(xué)的整體性.

      例7已知數(shù)列{an}的通項an=試問該數(shù)列{an}有沒有最大項?若有,求出最大項的項數(shù);若沒有,說明理由.

      解法1假設(shè)數(shù)列{an}有最大項為an,則即化簡得解得

      因為n ∈N?,所以n=9或10,所以數(shù)列{an}有最大項,此時n=9或n=10.

      解法2因為

      所以當n<9且n ∈N?時,an+1-an>0,即an+1>an,此時數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當n=9時,an+1-an=0,即a10=a9;當n>9且n ∈N?時,an+1-an<0,即an+1<an,此時數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;即a1<a2<a3<···<a9=a10>a11>a12>···,所以數(shù)列{an}有最大項,此時n=9或n=10.

      方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下:

      1.數(shù)列的單調(diào)性:

      方法(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題;

      方法(2)利用an+1-an與0的關(guān)系或與1的關(guān)系(其中an>0)判斷(證明)數(shù)列的單調(diào)性.

      2.數(shù)列的最值:

      方法(1)先判斷數(shù)列的單調(diào)性,再求數(shù)列的最值;

      方法(2)根據(jù)數(shù)列最值的定義,對任意的n ∈N?,若第n項為數(shù)列的最大值,則若第n項為數(shù)列的最小值,則

      六、解決數(shù)列問題過程中常見的思想

      1.數(shù)列中的方程思想:等差數(shù)列兩個基本量a1,d,等比數(shù)列兩個基本量a1,q,等差數(shù)列和等比數(shù)列的兩個基本問題an,Sn都可以用兩個基本量來表示,利用基本量法解方程組;

      2.數(shù)列中的化歸和轉(zhuǎn)化思想:處理數(shù)學(xué)問題常??梢詫⒋鉀Q的額問題轉(zhuǎn)化為一類我們熟悉的問題來解決;

      3.數(shù)列中的函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想:數(shù)列是一種特殊的函數(shù),通項公式、前n項和公式都可以看成關(guān)于n的函數(shù),各自有其特殊的函數(shù)特點,因此一些數(shù)列問題可以用函數(shù)的思想進行分析,加以解決;

      4.數(shù)列中的數(shù)學(xué)建模思想:建立數(shù)列模型解決實際問題的過程中,可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力,提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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