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      用裂項相消法解多類數(shù)列求和問題

      2020-07-14 02:32:56安徽省蕪湖市第一中學
      中學數(shù)學研究(廣東) 2020年11期
      關鍵詞:裂項公比消法

      安徽省蕪湖市第一中學

      數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一,數(shù)列求和更是高考??紗栴},數(shù)列求和主要有公式法、裂項相消法、錯位相減法、并項轉(zhuǎn)化法、分組轉(zhuǎn)化法等.筆者發(fā)現(xiàn),很多時候我們可以通過待定系數(shù)法構造數(shù)列{bn}滿足an=bn+1-bn,利用裂項相消法來對數(shù)列{an}求和,一步到位得到Sn=bn+1-b1,這樣的做法可以大大的減少計算量,提高解題效率,現(xiàn)通過具體例題介紹這種做法,供讀者參考學習.

      1 解決公式法求和問題

      例1求12+22+32+···+n2.

      解析令an=n2,問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前n項和.構造數(shù)列{bn}滿足an=bn+1-bn,設bn=xn3+yn2+zn,則x(n+1)3+y(n+1)2+z(n+1)-(xn3+yn2+zn)=n2,整理得3xn2+(3x+2y)n+x+y+z=n2,所以3x=1,3x+2y=0,x+y+z=0,解得故

      點評自然數(shù)平方和公式常見的證明方法有兩種,一是先通過不完全歸納法猜想再用數(shù)學歸納法證明,這種方法雖容易,但計算繁瑣;二是利用公式n3-(n-1)3=3n2-3n+1迭加,這種方法的技巧性很強,一時難以想到.在這里,將n2構造成數(shù)列{bn}的前后兩項之差,最后成為裂項相消求和形式,一步到位得到答案.

      2 解決錯位相減法求和問題

      例2求公比為q(q1)的等比數(shù)列{an}的前n項和.

      解析由題知an=a1qn-1,構造數(shù)列{bn}滿足an=bn+1-bn,設bn=xqn,則xqn+1-xqn=a1qn-1,解得所以故

      點評等比數(shù)列求和公式課本上是用錯位相減法推導得到的,利用待定系數(shù)法構造新數(shù)列裂項相消求和大大簡化了計算.另外我們也可以通過

      直接裂項求和,但是此法技巧性強,難以想到.

      例3已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,前n項和Sn(n ∈N?),{bn}是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,

      (1)求{an}和{bn}的通項公式;

      (2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和Tn.

      解析(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0).由題知解得q=2,則bn=2n,所以a4-2a1=8,S11=11×16,即3d-a1=8,11a1+55d=11×16,解得d=3,a1=1,則an=3n-2.

      (2)由(1)得a2nb2n-1=(6n-2)22n-1=(3n-1)4n,構造數(shù)列{cn}滿足a2nb2n-1=cn+1-cn,設cn=(xn+y)4n,則(x(n+1)+y)4n+1-(xn+y)4n=(3n-1)4n,整理得3xn+4x+3y=3n-1,則3x=3,4x+3y=-1,解得所以故

      點評對于等差乘等比型數(shù)列,通常的做法是錯位相減法.雖然錯位相減法是一種固定模式的做法,學生容易掌握,但是計算繁瑣復雜,學生在實際解題時會做卻難以算出正確結(jié)果,而用待定系數(shù)法構造數(shù)列{bn}使得an=bn+1-bn,很容易裂項相消求出結(jié)果.

      3 解決并項轉(zhuǎn)化法求和問題

      例4已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-n.

      (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)若bn=(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

      解析(1)n≥2時,

      又a1=1,所以an=4n-3.

      (2)由(1)得bn=(-1)n(4n-3),構造數(shù)列{cn}滿足bn=cn+1-cn,設cn=(-1)n(xn+y),則

      整理得2xn+x+2y=-4n+3,解得則故

      點評對于通項公式是an=(-1)nf(n)的數(shù)列求和,還可以采用并項轉(zhuǎn)化求和,如本題可以構造數(shù)列{dn}滿足dn=b2n-1+b2n=4,然后對項數(shù)n分奇偶數(shù)討論,得

      4 解決分組轉(zhuǎn)化法求和問題

      例5在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an.

      (1)證明數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;

      (2)若bn=4log2(an+1)+3,求數(shù)列{(-1)nbnbn+1+n·2n}的前n項和Tn.

      解析(1)由題得an+2-an+1=2(an+1-an),且a2-a1=2,則數(shù)列{an+1-an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an+1-an=2n.n≥2時,

      又a1=1,因此an=2n-1.

      (2)由(1)得bn=4n+3,則

      構造數(shù)列{cn}滿足(-1)nbnbn+1+n·2n=cn+1-cn,設cn=(-1)n(xn2+yn+z)+(sn+t)2n,則

      整理得

      所以2x=-16,2(x+y)=-40,x+y+2z=-21,s=1,2s+t=0,解得x=-8,y=-12,

      點評本題也可以用分組轉(zhuǎn)化求和,數(shù)列{(-1)nbnbn+1+n·2n}的通項可以分為兩個部分,一是數(shù)列{(-1)nbnbn+1},用并項轉(zhuǎn)化求和得二是數(shù)列{n·2n},用錯位相減求和得(n-1)2n+1+2.

      5 解決特殊數(shù)列{(An2+Bn+C)qn}求和問題

      例6已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=2(n+1).

      (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

      解析(1)n≥2時,

      又a1=2,因此an=n2+n.

      (2)由(1)得anbn=(n2+n)構造數(shù)列{cn}滿足anbn=cn+1-cn,設cn=(xn2+yn+z)則

      整理得-xn2+(2x-y)n+x+y-z=2n2+2n,所以-x=2,2x-y=2,x+y-z=0,解得x=-2,y=-6,z=-8,故

      因此Sn=cn+1-c1=

      點評對于數(shù)列平常所用的數(shù)列求和法是求不出它的前n項和的,但是通過待定系數(shù)法構造數(shù)列{cn},使得接著利用裂項相消法求和即可得到答案.

      本文介紹的通過待定系數(shù)法構造新數(shù)列,再利用裂項相消法求和,為我們提供了一種新的數(shù)列求和方法,但是同學們在日常學習中,要結(jié)合自身掌握程度和實際情況,選擇最佳的求和方法,不要一味追求某一種解法,要學會從不同解法中汲取不同的數(shù)學思想,提高自身的數(shù)學核心素養(yǎng).

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