陜西省岐山縣蔡家坡高級中學
題目(《數(shù)學通報》2019年10月號問題2510[1])已知a,b,c>1,a+b+c+2≥abc,求證:
文[2]的作者在《數(shù)學通報》2019年11期給出了如下的
證明條件等價于即
注意到,當a≥b≥c>1,時,有于是,應用切比雪夫不等式,得
文[2]的證明中,不等式(?)跳躍性太大,它不是由切比雪夫不等式直接得到的.按文[2]的證明,由切比雪夫不等式得到的不等式應該為:
而由不等式(??)要推出不等式(?),并不是顯然的,還應該有適當?shù)淖C明.下面的另證,調整思路,兩次應用切比雪夫不等式,嚴格的證明問題2510.
證明由已知,
不妨設a≥b≥c>1,先證明
所以,
由切比雪夫不等式,得
所以
即不等式(1)成立.
已知條件a,b,c>1,a+b+c+2≥abc可推廣為:ai>1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N),
比較復雜,用起來也不方便.而
并且這個等價條件易于推廣,使用方便,因此,可以考慮用等價條件作為已知條件進行推廣.按照這個思路,下面對問題2510進行推廣.
定理1已知ai>1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈則
證明由先證明不妨設a1≥a2≥...≥an>1,由有則而由切比雪夫不等式,得
由切比雪夫不等式,得
定理2已知ai>k(i=1,2,···,n,n≥3,n ∈N,0<k<則
證明由先證明不妨設a1≥a2≥...≥an>k,由有則
由切比雪夫不等式,得
所以
即不等式(3)成立.
定理3已知ai>1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N),m≥則
定理4已知ai>k(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N,0<則
為證明定理3、定理4,先證明下面的引理:
引理已知h,k>0,r,m ∈N+,r≤m,x>0,則
(i)當h>k時,函數(shù)
y=是減函數(shù);
(ii)當h<k時,函數(shù)
y=是增函數(shù).
證明設則
A′B展開式同次排成一列,得菱形狀圖表.
x2m-r-1項的系數(shù)分布:
xm-r-1項的系數(shù)分布:
同理,AB′展開式中x2m-r-1項的系數(shù)分布:
xm-r-1項的系數(shù)分布:
所以,得A′B-AB′展開式中兩邊(橫、側)的通項:故當h>k時,y′≤0,函數(shù)
y=是減函數(shù);當h<k時,y′≥0,函數(shù)
y=是增函數(shù).
驗證r=1時,由①②分別得時,由①②分別得3時,由①得其和與上面計算的分子上的結果一致,并且,其增減性符合引理.
下面證明定理3、定理4:
證明由定理1的證明知且
由切比雪夫不等式,得
所以
即不等式(4)成立.
由切比雪夫不等式,得
所以
即不等式(5)成立.