最值問(wèn)題的求解策略

朱 麗

（江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)，215600）

最值問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，其考題方式呈多元化，既有選擇題或填空題，又有解答題，設(shè)問(wèn)靈活，綜合性強(qiáng)，注重考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，具有一定的難度.本文著重分析高中數(shù)學(xué)中涉及主要知識(shí)點(diǎn)的幾個(gè)最值問(wèn)題，供參考.

一、一元函數(shù)的最值

“導(dǎo)數(shù)法”是解題的主要方法，如果是二次函數(shù)或簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，也可考慮用“配方法”或“均值不等式”法.

點(diǎn)評(píng) 用導(dǎo)數(shù)求一元函數(shù)的最值，解題過(guò)程可以程序化，即先求導(dǎo)，求駐點(diǎn)，再判斷函數(shù)單調(diào)性，然后將駐點(diǎn)代人函數(shù)式求出最值.

二、多元函數(shù)的最值

一般是運(yùn)用“均值不等式”整體求出最值.如果條件允許，也可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng) 有些已知條件中給出了等式條件，運(yùn)用此等式是解題的關(guān)鍵，此題的結(jié)構(gòu)極為精巧，條件等式比較隱含，通過(guò)找出定點(diǎn)就使問(wèn)題變得真相大白了.

三、三角函數(shù)的最值

一般是將條件式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式，利用正弦、余弦函數(shù)的有界性求最值，或轉(zhuǎn)化為復(fù)合二次函數(shù)問(wèn)題求解.

例3 （2008年四川高考題）求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.

解析 7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin 2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin 2x+4cos2xsin2x=7-2sin 2x+sin22x=（1-sin 2x）2+6.由于sin 2x∈ ［-1，1］，且函數(shù)y=（1-x）2+6在［-1，1］上單調(diào)遞減，當(dāng)sin 2x=-1時(shí)，函數(shù)y有最大值（-1-1）2+6=10；當(dāng)sin 2x=1時(shí)，函數(shù)y有最小值（1-1）2+6=6，即函數(shù)的最大值10，最小值6.

點(diǎn)評(píng) 求三角函數(shù)的最值是高考中最常見(jiàn)的題型，一般都是中檔題.利用三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是解題的重點(diǎn).

四、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的最值

根據(jù)條件建立目標(biāo)函數(shù)，可變?yōu)橐辉瘮?shù)或三角函數(shù)最值問(wèn)題，但要注意自變量的取值范圍.

例4 （2004年全國(guó)高考題）某輪船航行過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與其速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為10千米／時(shí)時(shí)，燃料費(fèi)為10元／時(shí)，其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)180元. （1）輪船的速度為多少時(shí)，每千米航程成本最低？（2）若輪船限速不超過(guò)20千米／時(shí)，求每千米航程的最低成本.

點(diǎn)評(píng) 抓住題中的速度、時(shí)間、費(fèi)用之間的數(shù)量關(guān)系，可以得到關(guān)于每千米航程成本的分式型目標(biāo)函數(shù).觀察對(duì)比此題的兩小題，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)自變量范圍對(duì)求解優(yōu)化問(wèn)題方法選擇上的影響.

五、平面區(qū)域中的最值

利用平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合解題.

圖1

點(diǎn)評(píng) 抓住問(wèn)題的幾何特征，或分析問(wèn)題的幾何背景，以形助數(shù)、以形解數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法.

六、數(shù)列中的最值

根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合一些代數(shù)求最值的方法來(lái)求解.

例6 已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=-2n3+24n2+18n+2，（n∈N），求數(shù)列的最大值項(xiàng).

解析 ∵an+1-an=-2（n+1）3+24（n+1）2+18（n+1）+2-（-2n3+24n2+18n+2）=2n（21-3n）+40，當(dāng)n≤7時(shí)，an+1-an≥0，即an+1≥an，當(dāng)n≥8時(shí)，an+1-an＜0，即an+1＜an，∴數(shù)列｛an｝的最大值項(xiàng)可能為a7或a8，經(jīng)計(jì)算知a8=658為最大值項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 在數(shù)列｛an｝中，若an為最大值項(xiàng)，則an≥an+1且an≥an-1；若an為最小值項(xiàng)，則an≤an+1且an≤an-1.由此可列出不等式組求出正整數(shù)n.

七、立體幾何中的最值

運(yùn)用立體幾何知識(shí)，分析線面關(guān)系及數(shù)據(jù)結(jié)論，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)求解.

例7 二面角α-CD-β的度數(shù)為θ，A為α上一點(diǎn)，△ADC面積為S，且DC=m，過(guò)A點(diǎn)作直線AB交半平面β于B，使AB⊥DC，且與半平面β成30°角，當(dāng)θ為何值時(shí)，△BCD的面積取最大值，并求出最大值.

圖2

點(diǎn)評(píng) 用三角知識(shí)解決立體幾何中的求值問(wèn)題是常見(jiàn)形式，同樣用三角知識(shí)幫助解決有關(guān)的最值問(wèn)題也是正確的選擇.

八、解析幾何中的最值

將解析幾何問(wèn)題函數(shù)化，再用函數(shù)求最值的方法解題.

（2）當(dāng)k=0時(shí)，MN為橢圓的長(zhǎng)軸，

點(diǎn)評(píng) 在分析題意的基礎(chǔ)上，通過(guò)轉(zhuǎn)化向量關(guān)系，再利用斜率的相關(guān)運(yùn)算建立了關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系，為后續(xù)解題指明了方向.