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    最值問(wèn)題的求解策略

    2020-07-09 06:04:40
    關(guān)鍵詞:駐點(diǎn)等式最值

    朱 麗

    (江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué),215600)

    最值問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn),其考題方式呈多元化,既有選擇題或填空題,又有解答題,設(shè)問(wèn)靈活,綜合性強(qiáng),注重考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,具有一定的難度.本文著重分析高中數(shù)學(xué)中涉及主要知識(shí)點(diǎn)的幾個(gè)最值問(wèn)題,供參考.

    一、一元函數(shù)的最值

    “導(dǎo)數(shù)法”是解題的主要方法,如果是二次函數(shù)或簡(jiǎn)單的分式函數(shù),也可考慮用“配方法”或“均值不等式”法.

    點(diǎn)評(píng) 用導(dǎo)數(shù)求一元函數(shù)的最值,解題過(guò)程可以程序化,即先求導(dǎo),求駐點(diǎn),再判斷函數(shù)單調(diào)性,然后將駐點(diǎn)代人函數(shù)式求出最值.

    二、多元函數(shù)的最值

    一般是運(yùn)用“均值不等式”整體求出最值.如果條件允許,也可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題.

    點(diǎn)評(píng) 有些已知條件中給出了等式條件,運(yùn)用此等式是解題的關(guān)鍵,此題的結(jié)構(gòu)極為精巧,條件等式比較隱含,通過(guò)找出定點(diǎn)就使問(wèn)題變得真相大白了.

    三、三角函數(shù)的最值

    一般是將條件式化為一個(gè)復(fù)合角的三角函數(shù)式,利用正弦、余弦函數(shù)的有界性求最值,或轉(zhuǎn)化為復(fù)合二次函數(shù)問(wèn)題求解.

    例3 (2008年四川高考題)求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值與最小值.

    解析 7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin 2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin 2x+4cos2xsin2x=7-2sin 2x+sin22x=(1-sin 2x)2+6.由于sin 2x∈ [-1,1],且函數(shù)y=(1-x)2+6在[-1,1]上單調(diào)遞減,當(dāng)sin 2x=-1時(shí),函數(shù)y有最大值(-1-1)2+6=10;當(dāng)sin 2x=1時(shí),函數(shù)y有最小值(1-1)2+6=6,即函數(shù)的最大值10,最小值6.

    點(diǎn)評(píng) 求三角函數(shù)的最值是高考中最常見(jiàn)的題型,一般都是中檔題.利用三角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是解題的重點(diǎn).

    四、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的最值

    根據(jù)條件建立目標(biāo)函數(shù),可變?yōu)橐辉瘮?shù)或三角函數(shù)最值問(wèn)題,但要注意自變量的取值范圍.

    例4 (2004年全國(guó)高考題)某輪船航行過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與其速度的立方成正比,已知當(dāng)速度為10千米/時(shí)時(shí),燃料費(fèi)為10元/時(shí),其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)180元. (1)輪船的速度為多少時(shí),每千米航程成本最低?(2)若輪船限速不超過(guò)20千米/時(shí),求每千米航程的最低成本.

    點(diǎn)評(píng) 抓住題中的速度、時(shí)間、費(fèi)用之間的數(shù)量關(guān)系,可以得到關(guān)于每千米航程成本的分式型目標(biāo)函數(shù).觀察對(duì)比此題的兩小題,可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)自變量范圍對(duì)求解優(yōu)化問(wèn)題方法選擇上的影響.

    五、平面區(qū)域中的最值

    利用平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合解題.

    圖1

    點(diǎn)評(píng) 抓住問(wèn)題的幾何特征,或分析問(wèn)題的幾何背景,以形助數(shù)、以形解數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法.

    六、數(shù)列中的最值

    根據(jù)數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合一些代數(shù)求最值的方法來(lái)求解.

    例6 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=-2n3+24n2+18n+2,(n∈N),求數(shù)列的最大值項(xiàng).

    解析 ∵an+1-an=-2(n+1)3+24(n+1)2+18(n+1)+2-(-2n3+24n2+18n+2)=2n(21-3n)+40,當(dāng)n≤7時(shí),an+1-an≥0,即an+1≥an,當(dāng)n≥8時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,∴數(shù)列{an}的最大值項(xiàng)可能為a7或a8,經(jīng)計(jì)算知a8=658為最大值項(xiàng).

    點(diǎn)評(píng) 在數(shù)列{an}中,若an為最大值項(xiàng),則an≥an+1且an≥an-1;若an為最小值項(xiàng),則an≤an+1且an≤an-1.由此可列出不等式組求出正整數(shù)n.

    七、立體幾何中的最值

    運(yùn)用立體幾何知識(shí),分析線面關(guān)系及數(shù)據(jù)結(jié)論,通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)求解.

    例7 二面角α-CD-β的度數(shù)為θ,A為α上一點(diǎn),△ADC面積為S,且DC=m,過(guò)A點(diǎn)作直線AB交半平面β于B,使AB⊥DC,且與半平面β成30°角,當(dāng)θ為何值時(shí),△BCD的面積取最大值,并求出最大值.

    圖2

    點(diǎn)評(píng) 用三角知識(shí)解決立體幾何中的求值問(wèn)題是常見(jiàn)形式,同樣用三角知識(shí)幫助解決有關(guān)的最值問(wèn)題也是正確的選擇.

    八、解析幾何中的最值

    將解析幾何問(wèn)題函數(shù)化,再用函數(shù)求最值的方法解題.

    (2)當(dāng)k=0時(shí),MN為橢圓的長(zhǎng)軸,

    點(diǎn)評(píng) 在分析題意的基礎(chǔ)上,通過(guò)轉(zhuǎn)化向量關(guān)系,再利用斜率的相關(guān)運(yùn)算建立了關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系,為后續(xù)解題指明了方向.

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