巧解圓中的范圍問題

吳 亭

（江蘇省木瀆高級中學(xué)，215000）

解析幾何就是在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，利用“數(shù)”的辦法來解決“形”的問題.其運(yùn)算量大，過程繁瑣，對思維要求也高，是高考的難點(diǎn)之一.如果我們能夠充分挖掘圖形的幾何關(guān)系，結(jié)合嚴(yán)密的代數(shù)運(yùn)算，就可相對巧妙地處理圓中的范圍問題.

一、分析動靜關(guān)系，巧用轉(zhuǎn)化思想

1.轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2=1，圓M：（x+a+3）2+（y-2a）2=1（a為實(shí)數(shù)）.若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P、Q，使得 ∠OQP=30°，則a的取值范圍為________.

分析 問題中的圓心M動中有定，它在定直線2x+y+6=0上運(yùn)動，P，Q分別是定圓O與動圓M上的動點(diǎn).可以考慮將等量關(guān)系“∠OQP=30°”轉(zhuǎn)化為關(guān)于“線段OQ長”的不等關(guān)系，從而求出參數(shù)a的取值范圍.

解 過Q作QR與圓O切于點(diǎn)R，則∠OQR≥30°，得OQ≤2.又OM-1≤OQ≤OM+1，

評注 在動態(tài)問題的分析中，將動點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線綜合考慮，巧妙地將動態(tài)問題向靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化，可以有效避免盲目地尋找方程或不等式和進(jìn)行相對繁瑣的代數(shù)運(yùn)算.

2.轉(zhuǎn)化為定角問題

例2 已知圓C：x2+y2=4和直線l：x+y-3=0，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B，使得以AB為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)范圍是_______.

分析 實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對“以AB為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)P”的處理感到棘手，易被問題導(dǎo)向直線與圓的位置關(guān)系.而轉(zhuǎn)化為∠APB=90°，問題則變得常規(guī)而親切了.

解 由以AB為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)P，知∠APB=90°.過點(diǎn)P作PQ、PR與圓C切于Q、R，則 ∠QPR≥ ∠APB=90°，即∠OPR≥45°，故OP≤ 22.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，則，解得

評注 定直線上的動點(diǎn)與圓上兩個動點(diǎn)構(gòu)成定角的問題是學(xué)生熟悉的，在變換表述方式后，我們需要通過對條件的挖掘，根據(jù)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)作出判斷，將未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化.

二、巧找“隱圓”，運(yùn)用軌跡

1.利用垂徑定理發(fā)現(xiàn)“隱圓”

分析 問題中的條件“直線l交圓于A，B兩點(diǎn)”和目標(biāo)“”均指向弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理發(fā)現(xiàn)弦AB中點(diǎn)的軌跡是以CP為直徑的圓.

評注 垂徑定理和“隱圓”在圓中應(yīng)用廣泛，教學(xué)時(shí)要注重對學(xué)生“隱性”軌跡意識的培養(yǎng)，將兩者結(jié)合起來考察，體現(xiàn)了分析問題時(shí)對常規(guī)思路的重視.當(dāng)然，阿波羅尼斯圓在圓中的考察也很普遍.

2.軌跡法中的純粹性問題

例4 已知定點(diǎn)M（-1，2），動點(diǎn)N在單位圓x2+y2=1上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形OMPN，則點(diǎn)P到直線2x+y+5=0距離的取值范圍是_______.

分析 從條件“OM，ON為鄰邊作平行四邊形OMPN”出發(fā)，可以得到點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心，1為半徑的圓上.然而點(diǎn)P的軌跡不是整個圓，還需要去掉兩個點(diǎn).

評注 在利用軌跡法巧妙發(fā)現(xiàn)“隱圓”時(shí)，需要檢驗(yàn)軌跡的純粹性.剔除“隱圓”上不合題意的點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性.另外，可以作如下變式：

變式1 將“以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形OMPN”改為“”，則軌跡中不需要剔除直線OM與圓M的兩個交點(diǎn)，（答案為：

變式2 將問題中的“直線2x+y+5=0”改為“直線3x+4y+15=0”，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡“隱圓”依然要去除兩點(diǎn)，而這兩點(diǎn)到直線的距離卻不被剔除.（答案為：［3，5］）

三、深入分析圖形，巧用幾何關(guān)系

例5 已知圓C：x2+（y-1）2=r2（2≤r≤3），點(diǎn)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M.若OA=OM，則直線AB的斜率的取值范圍是_______.

分析 在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生利用垂徑定理可以發(fā)現(xiàn)OAMC四點(diǎn)共圓，之后的代數(shù)法選擇正弦定理或者韋達(dá)定理計(jì)算量都較大.此時(shí)不妨分析幾何圖形特征，由點(diǎn)A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，聯(lián)想到圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)D與A關(guān)于原點(diǎn)O對稱，得OA=OM=OD.又CM⊥AM，知M、C、D三點(diǎn)共線，則問題迎刃而解.

解 設(shè)圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)為D，則OA=OM=OD，易得 ∠AMD=900.又∠AMC=900，故M，C，D三點(diǎn)共線，所以kAB·kCD=-1.因?yàn)?，所?/p>

評注 借助圓的幾何特征，發(fā)現(xiàn)關(guān)系OA=OM=OD，并與平面幾何中的結(jié)論“直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半”建立聯(lián)系，巧妙地將復(fù)雜計(jì)算變得十分簡潔.

例6 已知圓O：x2+y2=4，兩個定點(diǎn)A（2，2），B（m，1），P為圓O上任意一點(diǎn)，且PA

（1）求常數(shù)m的值；

（2）過點(diǎn)E（2，t）作直線l與圓C：x2+y2=m交于M、N兩點(diǎn)，若M點(diǎn)恰好是線段NE的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 第（1）小題利用恒成立可得m=1；第（2）小題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將問題轉(zhuǎn)化為兩圓位置關(guān)系，也可以借助垂徑定理，通過圖形中的幾何關(guān)系來解決.

評注 由垂徑定理構(gòu)造直角三角形，巧妙利用勾股定理建立關(guān)系，最終轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離問題.

圓中的范圍問題本質(zhì)是以圓為背景的動態(tài)問題.通常從建立動點(diǎn)與圓心或弦中點(diǎn)的關(guān)系入手，充分利用圓的幾何性質(zhì)，挖掘隱性軌跡，辯證認(rèn)識動靜的關(guān)系，考慮將動態(tài)問題向靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化.從而在定性分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行定量運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合，化繁為簡.