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    “六何”認(rèn)知鏈理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)*
    ——以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”為例

    2020-07-09 06:04:42張麗杰
    關(guān)鍵詞:倒序項(xiàng)數(shù)三腳架

    張麗杰 周 瑩

    (廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,541004)

    數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用范圍很廣,是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、分析、綜合等能力的重要題材,是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備的基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn),因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于這部分僅有初中學(xué)的簡(jiǎn)單函數(shù)作為基礎(chǔ),所以新課的引入非常重要.

    所謂“六何”,可看成由對(duì)知識(shí)來(lái)龍去脈及總結(jié)反思的發(fā)問(wèn)而構(gòu)成的認(rèn)知鏈,即“從何→是何→與何→如何→變何→有何”認(rèn)識(shí)鏈.[1]值得注意的是,“六何”認(rèn)知鏈并不是簡(jiǎn)單的單向進(jìn)行,而是多種開(kāi)端,多種組織方式,可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況,靈活運(yùn)用.本節(jié)教學(xué)將選取“從何、是何、如何、變何、有何”展開(kāi)設(shè)計(jì).

    一、創(chuàng)設(shè)情境,感悟“從何”

    如圖1,一個(gè)堆放鉛筆的V形三腳架的最下面一層放1支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支鉛筆,最上面一層放100支.問(wèn)這個(gè)三腳架一共有多少支鉛筆?

    圖1

    圖2

    由圖1,有S100=1+2+…+100, ①

    由圖2,有S100=100+99+…1. ②

    設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生生活引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,為后面的公式推導(dǎo)打下基礎(chǔ).

    二、探討發(fā)現(xiàn),體驗(yàn)“是何”

    1.類比歸納

    師:大家觀察一下③式,能否根據(jù)它得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式呢?

    設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特殊推出一般公式,培養(yǎng)學(xué)生觀察、總結(jié)歸納能力.

    2.精益求精

    師:由特殊類比出一般的公式是否缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性呢?下面我們一起來(lái)證明④式的合理性.

    已知等差數(shù)列{an}.

    設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,提高學(xué)生邏輯推理能力.

    3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一

    其中,a1為等差數(shù)列{an}的首項(xiàng),an為尾項(xiàng),n為項(xiàng)數(shù).

    三、數(shù)學(xué)應(yīng)用,把握“如何”

    例1 計(jì)算下列等差數(shù)列的和:

    解析 (1)a1=101,an=60,n=42;

    (2)a1=2,an=2n+4,n=n+2.

    代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一即可.

    說(shuō)明 通過(guò)上述兩個(gè)例題我們發(fā)現(xiàn),要想正確運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式一,就必須找對(duì)項(xiàng)數(shù)n.

    設(shè)計(jì)意圖 對(duì)本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固練習(xí),加深對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解.

    四、變換條件,探究“變何”

    1.漸入佳境

    等差數(shù)列2,4,6,… 中前多少項(xiàng)的和是9 900?

    說(shuō)明 此時(shí),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)直接應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式已經(jīng)不能夠計(jì)算出結(jié)果,那么就應(yīng)該對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行變形.經(jīng)過(guò)觀察,我們發(fā)現(xiàn),只能對(duì)an進(jìn)行變形,使an=a1+nd,則等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可變形為

    即為等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的變形公式.

    對(duì)于上述問(wèn)題有

    解之得n=99.

    2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式二

    其中,a1為等差數(shù)列{an}的首項(xiàng),d為公差,n為項(xiàng)數(shù).

    設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)實(shí)例,讓學(xué)生明白,當(dāng)已知公式不適用時(shí),可以將公式變形來(lái)解決問(wèn)題.

    3.總結(jié)方法

    在本節(jié)課開(kāi)始時(shí),計(jì)算三腳架所含鉛筆個(gè)數(shù)過(guò)程中,我們將①式反序相加得到 ②式,再將①②相加,得到最終結(jié)果.在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和過(guò)程中,可以依舊采取相同的方法得到了最終結(jié)果.故把這種方法叫做倒序相加法.

    五、反思提升,歸納“有何”

    今天你學(xué)會(huì)了什么?你有什么收獲與體會(huì)?

    兩個(gè)公式:

    一種方法:倒序相加法.

    馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為任何事物都是普遍聯(lián)系的,反對(duì)孤立片面的觀點(diǎn).“六何”認(rèn)知鏈將課堂教學(xué)完整地呈現(xiàn)出來(lái),以整體視角把握知識(shí)結(jié)構(gòu),通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng),調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣,將數(shù)學(xué)課堂變成充滿思考的探究“實(shí)驗(yàn)室”,正蘊(yùn)含了這樣的哲學(xué)思想.整個(gè)過(guò)程,通過(guò)提出分析解決問(wèn)題,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“從何”、“是何”、“如何”、“變何”、“有何”的認(rèn)知過(guò)程,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解,依托六個(gè)任務(wù),各環(huán)節(jié)之間環(huán)環(huán)相扣,步驟清晰,層次分明.

    等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是高中階段一個(gè)重要的內(nèi)容,學(xué)生也是第一次接觸,所以應(yīng)該充分考慮到學(xué)生的接受能力及他們的認(rèn)知水平.本節(jié)課從生動(dòng)有趣的實(shí)際問(wèn)題引入,通過(guò)對(duì)一般規(guī)律的探索,逐步學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.再通過(guò)例題,進(jìn)一步理解和體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和倒序相加法的內(nèi)涵.通過(guò)上述過(guò)程,逐步形成用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,從而培養(yǎng)學(xué)生“邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算”等核心素養(yǎng).

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