匡正教學(xué)觀念，強(qiáng)化教學(xué)過(guò)程

錢(qián)德春

摘要：從一份九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷中一道有關(guān)概率概念理解試題的命制背景和內(nèi)容分析出發(fā)，透視師生理解偏差背后教師教學(xué)觀念偏差與教學(xué)過(guò)程弱化的問(wèn)題，從而提出改進(jìn)建議：改變教學(xué)觀念，著眼學(xué)生發(fā)展;重視教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)積累與內(nèi)化。

關(guān)鍵詞：概率試題 教學(xué)觀念 教學(xué)過(guò)程

2020年1月，筆者為某學(xué)校命制了一份九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷。其中的一道題及其答案如下：

有下列說(shuō)法：①概率為0的事件不一定是不可能事件;②試驗(yàn)次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率越接近概率;③事件發(fā)生的概率與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān);④在拋擲圖釘?shù)脑囼?yàn)中針尖朝上的概率為1/3，表示3次這樣的試驗(yàn)必有1次針尖朝上。其中，正確的是（C）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①④

這是一道有關(guān)概率概念理解的題目。閱卷前，有教師反映這道題的答案有誤，應(yīng)該是B。閱卷中，也發(fā)現(xiàn)有很多包括不少平時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)比較好的學(xué)生選B。這說(shuō)明他們對(duì)概率概念的理解有偏差。下面從這道題的命制背景和內(nèi)容分析出發(fā)，透視師生理解偏差背后的教學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而提出教學(xué)改進(jìn)建議。

一、試題命制背景

（一）現(xiàn)實(shí)社會(huì)發(fā)展需要

統(tǒng)計(jì)與概率是一門(mén)古老而又新興的學(xué)科，在科技與生產(chǎn)、人口與發(fā)展、保險(xiǎn)與金融、氣候與減災(zāi)、生物信息、社交網(wǎng)絡(luò)、風(fēng)險(xiǎn)決策、地震預(yù)測(cè)等多個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。在大數(shù)據(jù)時(shí)代背景下，統(tǒng)計(jì)與概率成為現(xiàn)代社會(huì)不可或缺的重要工具之一。

（二）課堂教學(xué)增效需要

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將“統(tǒng)計(jì)與概率”作為課程內(nèi)容的四個(gè)重要部分之一。對(duì)初中學(xué)段的概率內(nèi)容，要求：“能通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率。知道通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來(lái)估計(jì)概率。”同時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)概率等重要內(nèi)容、方法、思想“需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握”。而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》相比2003年的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，也提高了“統(tǒng)計(jì)與概率”的比重與要求。

目前，不少教師對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)，沒(méi)有加以足夠的重視。教學(xué)過(guò)程一帶而過(guò)，新授課以習(xí)題練習(xí)、試題測(cè)試代替教學(xué)，甚至被上成數(shù)學(xué)計(jì)算課、公式技巧課，先“講”概率公式，再“用”概率公式。比如，直接讓學(xué)生用樹(shù)狀圖或表格列出所有等可能的情況，再計(jì)算概率。而沒(méi)有從概率的本質(zhì)人手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概率觀念的形成過(guò)程，理解概率是事件的固有、本質(zhì)屬性。

（三）學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展需要

2018年，江蘇省教育廳進(jìn)行了義務(wù)教育學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)。在八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量分析報(bào)告中，泰州市的學(xué)生在各個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力上不同水平的人數(shù)比例分布柱狀圖如圖1所示。從中可以看出：在數(shù)據(jù)分析能力上達(dá)到“優(yōu)秀”水平的學(xué)生人數(shù)比例僅為56%，是6個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力中最低的——事實(shí)上，從全省的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中也能得出這一結(jié)論。

基于此，筆者試圖通過(guò)這道有關(guān)概率概念理解的試題，引導(dǎo)教師正確認(rèn)識(shí)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，改變教學(xué)觀念和教學(xué)行為，將“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)落到實(shí)處。

二、試題內(nèi)容分析

本題說(shuō)法③正確，說(shuō)法④錯(cuò)誤。對(duì)此，選B的師生沒(méi)有疑義。概率是事件固有的、本質(zhì)的屬性。事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)，無(wú)論是否進(jìn)行這種試驗(yàn)，也無(wú)論試驗(yàn)多少次;試驗(yàn)的目的在于用事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)概率。所以，說(shuō)法③正確。而說(shuō)法④很容易通過(guò)拋擲圖釘?shù)脑囼?yàn)找到反例，加以否定。

本題說(shuō)法①正確，說(shuō)法②錯(cuò)誤。對(duì)此，選B的師生的理解截然相反。他們覺(jué)得：概率為0的事件一定是不可能事件;試驗(yàn)次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率越接近概率。下面，我們來(lái)分析這兩個(gè)說(shuō)法：

（一）概率為0的事件一定是不可能事件嗎？

我們知道，概率計(jì)算有古典概型與幾何概型之分。它們的相同之處是等可能性，即隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果是等可能的。但它們又有各自的特征：

古典概型的特征是有限性，即所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果只有有限個(gè)。例如，拋硬幣只有2種基本結(jié)果，擲骰子只有6種基本結(jié)果。這時(shí)，某事件發(fā)生的概率就等于該事件發(fā)生可能出現(xiàn)的基本結(jié)果數(shù)（通常記為優(yōu)）除以相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果數(shù)（通常記為n）。因此概率為0時(shí)，該事件發(fā)生可能出現(xiàn)的基本結(jié)果數(shù)一定為0，即該事件不可能發(fā)生。

幾何概型的特征是無(wú)限性，即所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果有無(wú)限個(gè)。對(duì)此，蘇科版初中數(shù)學(xué)教材雖然在九年級(jí)上冊(cè)第4章第3節(jié)《等可能條件下的概率（二）》中只用一個(gè)“轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，指針指向”的例題做了簡(jiǎn)單的說(shuō)明，并且沒(méi)有給出一般化的概念和算法（這一內(nèi)容正常情況下是放在高中教學(xué)的），但是在后面的閱讀材料《一類事件概率的計(jì)算》中做了進(jìn)一步解釋：

如下頁(yè)圖2，在正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接OA、OB。如果正方形ABCD內(nèi)每一點(diǎn)被取到的可能性都相同，分別求△OAB是鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形的概率。

該問(wèn)題就是典型的幾何概型問(wèn)題：①正方形ABCD內(nèi)有無(wú)限個(gè)點(diǎn);②每一點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。一般的計(jì)算方法為：

設(shè)試驗(yàn)結(jié)果落在某個(gè)區(qū)域S中每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等，用A表示事件“試驗(yàn)結(jié)果落在S中的一個(gè)小區(qū)域M中”，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=M的面積/S的面積。

據(jù)此，事件“△OAB是鈍角三角形”“△OAB是直角三角形”和“△OAB是銳角三角形”發(fā)生，分別相當(dāng)于點(diǎn)O恰好落在區(qū)域S中以AB為直徑的半圓內(nèi)、上、外……其中，P（△OAB是直角三角形）=AB的面積/正方形ABCD的面積=0?？梢?jiàn)，事件“△OAB是直角三角形”發(fā)生的概率是0。但這并不意味著這個(gè)事件不會(huì)發(fā)生。事實(shí)上，它可以發(fā)生。也就是說(shuō)，概率為0的事件不一定是不可能事件。

（二）試驗(yàn)次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率越接近概率嗎？

這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)拋擲硬幣的試驗(yàn)來(lái)尋求答案。在相同條件下重復(fù)拋擲均勻的硬幣，推想計(jì)算可得“正面朝上”的概率為0.5。而實(shí)際試驗(yàn)時(shí)，拋10次，可能有5次“正面朝上”，即頻率為0.5;拋20次，可能有9次“正面朝上”，即頻率為0.45。顯然，并非試驗(yàn)次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率越接近概率。

其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題從蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中也能找到答案。八年級(jí)下冊(cè)第8章第3節(jié)《頻率與概率》中有兩個(gè)表格。第一個(gè)表格（見(jiàn)表1）是自18世紀(jì)以來(lái)一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家做“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)”獲得的數(shù)據(jù)。教材由此得到結(jié)論：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，“正面朝上”的頻率在0.5附近擺動(dòng)。第二個(gè)表格（見(jiàn)表2）是某批足球質(zhì)量檢驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)。教材由此提出引導(dǎo)學(xué)生思考的問(wèn)題，然后得到結(jié)論：通常，在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定。

由此可見(jiàn)，此類試驗(yàn)必須具備兩個(gè)要素：一是相同條件下（“重復(fù)試驗(yàn)”就是強(qiáng)調(diào)等可能性），二是試驗(yàn)次數(shù)足夠多。得到三個(gè)結(jié)論：一是“在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)”，二是“趨于穩(wěn)定”，三是無(wú)論是否進(jìn)行試驗(yàn)，概率是確定的。

此外，還可以通過(guò)2017年北京市中考數(shù)學(xué)卷第10題，說(shuō)明教材中的結(jié)論。具體題目如下：

下頁(yè)圖3顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒卧囼?yàn)的結(jié)果。下面有三個(gè)推斷：①當(dāng)投擲次數(shù)是500時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以，“釘尖向上”的概率是0.616;②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618;③若再次用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的概率一定是0.620。其中合理的是（ ）

這道題提供了真實(shí)的試驗(yàn)背景（素材）。結(jié)合圖3，利用上述“兩個(gè)要素”和“三個(gè)結(jié)論”，不難判斷其正確答案應(yīng)為B。

現(xiàn)在回到文章開(kāi)頭試題的說(shuō)法②，可知它缺少“相同條件下”和“試驗(yàn)次數(shù)足夠多”的條件。而且，即使?jié)M足條件，結(jié)論也應(yīng)該是頻率“在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定”，而不是“越接近概率”。

三、師生理解偏差背后的教學(xué)問(wèn)題

為什么師生會(huì)出現(xiàn)上述理解偏差呢？除了教師學(xué)科素養(yǎng)和研究精神的缺乏之外，從教學(xué)的層面看，還能透視出一些一般性問(wèn)題：

（一）教學(xué)觀念偏差：功利思想較濃

數(shù)學(xué)來(lái)源于對(duì)生活與生產(chǎn)中有關(guān)現(xiàn)象的研究，又回到生活與生產(chǎn)中去。數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，提升學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)文化，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

但是，不少教師功利思想較濃，長(zhǎng)期以來(lái)，只圍繞考試進(jìn)行教學(xué)，考什么就教什么，脫離所教內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，把學(xué)生當(dāng)作考試的機(jī)器、知識(shí)的容器。筆者曾將上述教材中的閱讀材料和表格呈現(xiàn)給該學(xué)校的一些學(xué)生，他們毫無(wú)印象、一臉茫然。這說(shuō)明他們從未接觸過(guò)這些內(nèi)容，進(jìn)而說(shuō)明教師在進(jìn)行“選擇性教學(xué)”。這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知碎片化，理解不深入，數(shù)學(xué)視野得不到拓寬，實(shí)踐能力得不到提升，學(xué)習(xí)興趣不高，更不用說(shuō)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展和理性精神的形成了。

（二）教學(xué)過(guò)程弱化：“短平快”為王

俗話說(shuō)，百聞不如一見(jiàn)，百見(jiàn)不如一做。誠(chéng)然，教學(xué)時(shí)，不可能所有知識(shí)都讓學(xué)生經(jīng)歷、復(fù)制前人的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明過(guò)程。但是，對(duì)于適合探究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容，應(yīng)該盡可能為學(xué)生提供自主探究、獨(dú)立思考、相互交流的時(shí)間和空間。

然而，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，一些教師更傾向于走捷徑，對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理一帶而過(guò)，缺少引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程，更多地讓學(xué)生機(jī)械、反復(fù)地操練，試圖達(dá)到立竿見(jiàn)影的效果。殊不知，如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷操作、體驗(yàn)、思考和感悟的過(guò)程，如何達(dá)到真正地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)目標(biāo)呢？當(dāng)遇到概念等的理解或面臨新情境、新問(wèn)題時(shí)，又怎能避免“敗走麥城”的結(jié)局呢？

四、教學(xué)改進(jìn)的建議

（一）匡正教學(xué)觀念，著眼學(xué)生發(fā)展

中學(xué)數(shù)學(xué)教師不考慮應(yīng)試肯定不現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也離不開(kāi)做題以及知識(shí)和技能的應(yīng)用。但學(xué)生是活生生的人，是一個(gè)個(gè)生命個(gè)體，讓學(xué)生會(huì)做題、得高分不是教學(xué)的全部。德國(guó)哲學(xué)家雅斯貝爾斯認(rèn)為，教育是“一棵樹(shù)搖動(dòng)另一棵樹(shù)，一朵云推動(dòng)另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂”的事情，它的本質(zhì)是促進(jìn)人的全面發(fā)展。

為此，數(shù)學(xué)教師要樹(shù)立正確的教學(xué)觀念，淡化功利思想，做到“有所為，有所不為”?！坝兴鶠椤奔慈嫘耘c引導(dǎo)性：充分利用教材豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、歸納、舉例、論證、反思等學(xué)習(xí)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、經(jīng)驗(yàn)、情感、態(tài)度的同步發(fā)展?！坝兴粸椤奔催x擇性與開(kāi)放性：留出足夠的時(shí)間與空間，讓學(xué)生抓住學(xué)習(xí)重點(diǎn)，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，消除認(rèn)知疑點(diǎn);注意活動(dòng)內(nèi)容和方式的開(kāi)放性，讓學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、建構(gòu)、解決，自主成長(zhǎng)，從而讓學(xué)生的生命之花綻放。

（二）強(qiáng)化教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)積累和內(nèi)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程?！蔽谋局小斑^(guò)程”這個(gè)詞出現(xiàn)了196次，這說(shuō)明“過(guò)程”何等重要！人的認(rèn)知是一個(gè)波浪式前進(jìn)、螺旋式上升的過(guò)程。我們的教學(xué)過(guò)程應(yīng)成為助力學(xué)生前進(jìn)與上升的“慢”過(guò)程，針對(duì)合適的內(nèi)容，為學(xué)生搭建探究、思考、交流的“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生生長(zhǎng)知識(shí)、發(fā)展能力。

例如，教學(xué)“頻率與概率的關(guān)系”時(shí)，要設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)讓學(xué)生真正做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)，在試驗(yàn)活動(dòng)中加深對(duì)頻率與概率關(guān)系意義的理解，感悟概率的本質(zhì)，同時(shí)積累研究性學(xué)習(xí)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如拋擲硬幣的試驗(yàn)，要舍得花時(shí)間組織學(xué)生開(kāi)展操作、觀察、思考、交流、評(píng)價(jià)等活動(dòng)。

1.拋擲試驗(yàn)。四人一組，分別負(fù)責(zé)：拋擲硬幣;觀察拋擲是否“規(guī)范”，即姿勢(shì)是否相同，拋擲角度和力度是否相同，確?！跋嗤瑮l件下”的“等可能性”;記錄拋擲次數(shù)n，正面朝上的頻數(shù)m;計(jì)算正面朝上的頻率m/n。繼而完成表3。

2.數(shù)據(jù)分析。根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)繪制試驗(yàn)的“頻率一次數(shù)”圖。根據(jù)圖中曲線的變化趨勢(shì)，對(duì)試驗(yàn)次數(shù)n、正面朝上的頻數(shù)m以及頻率m/n進(jìn)行分析，對(duì)頻率與概率的關(guān)系做出判斷。

3.交流討論。將自己的判斷和同伴分享、交流，在生生互動(dòng)、教師點(diǎn)評(píng)中對(duì)概率相關(guān)問(wèn)題形成正確的認(rèn)識(shí)與理解。

通過(guò)這樣一個(gè)過(guò)程，學(xué)生自然能夠深化對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)觀念的認(rèn)識(shí)、對(duì)相關(guān)知識(shí)和方法的理解，并能夠舉例說(shuō)明自己對(duì)問(wèn)題的理解，同時(shí)也為相關(guān)的探究活動(dòng)積累了基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

另一方面，我們知道，經(jīng)驗(yàn)是人對(duì)活動(dòng)的個(gè)體體驗(yàn)，具有不穩(wěn)定性、可變性和差異性?！敖?jīng)歷”不等于“獲得”，經(jīng)驗(yàn)也不代表能力。鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不應(yīng)該‘為動(dòng)手而動(dòng)手，而應(yīng)當(dāng)更加重視對(duì)于操作層面的必要超越，努力實(shí)現(xiàn)‘活動(dòng)的內(nèi)化?！币虼?，數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，由“經(jīng)歷”向“獲得”轉(zhuǎn)化，將不穩(wěn)定的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的能力。

例如，學(xué)生經(jīng)歷了拋擲硬幣的試驗(yàn)，并通過(guò)觀察、分析，歸納了試驗(yàn)的特點(diǎn)與結(jié)論后，可以讓學(xué)生仿照這個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)，并通過(guò)分析做出自己的判斷。這是一個(gè)“理解-遷移-創(chuàng)新”的學(xué)習(xí)過(guò)程，是由淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。

最后，需要說(shuō)明的是，雖然幾何概型的一般化概念和算法正常情況下是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，但是在初中階段，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如下學(xué)習(xí)過(guò)程，從而理解“概率為o的事件不一定是不可能事件”——

教學(xué)蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第4章第2節(jié)《等可能條件下的概率（一）》，學(xué)生掌握了古典概型（教學(xué)中不必提到該詞語(yǔ)）的概率計(jì)算公式P（A）=m/n后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考公式中m、n和P（A）的范圍。學(xué)生很容易根據(jù)其意義發(fā)現(xiàn)：m、n是自然數(shù)，0≤m≤n，0≤P（A）≤1。于是，教師指出并引導(dǎo)：這說(shuō)明m、n有下限，即最小值，那么它們有沒(méi)有上限，即最大值呢？對(duì)此，學(xué)生稍作思考（教師可以稍加提示），不難發(fā)現(xiàn)：作為事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的基本結(jié)果數(shù)和相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果數(shù)，m和n都可能沒(méi)有上限，即有無(wú)限個(gè)，比如轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)和擲飛鏢的試驗(yàn)。這時(shí)，教師可以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突：這樣的情況，事件A發(fā)生的概率該如何計(jì)算呢？在學(xué)生充分探索后（無(wú)論是否得到正確的解決方案，但通常會(huì)有一些學(xué)生能夠得到），教師可以讓學(xué)生閱讀教材中的閱讀材料《一類事件概率的計(jì)算》，并嘗試做一做轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)和擲飛鏢的試驗(yàn)……