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    中考數(shù)學(xué)動態(tài)幾何題靜態(tài)化思考

    2020-06-27 14:12:12黃德輝
    考試周刊 2020年40期
    關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué)

    摘?要:本文通過對2014年質(zhì)檢題及近幾年中考試題中的動態(tài)幾何題的分析,研究對策,尋找變化中圖形的性質(zhì)和特征,抓住變化圖形中的不變量,化動為靜,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)。

    關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);動態(tài)幾何題;靜態(tài)思考

    運動與變化是動態(tài)觀,在解數(shù)學(xué)問題尤其是幾何圖形問題時,經(jīng)常要用這種觀念來審視或分析問題,這其實就是解題的辯證觀,因為運動與靜止,固定與變化等,既對立又統(tǒng)一,我們利用這種對立統(tǒng)一就能使問題易于解決,對培養(yǎng)思維的靈活性很有好處,二期課改后數(shù)學(xué)中的壓軸題逐步向數(shù)形結(jié)合,動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展,題意創(chuàng)新,目的是考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,特別是動態(tài)幾何,讓考生感到特別煩惱,我們教師必須在教學(xué)中研究對策,把握方向,讓動態(tài)中的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向靜態(tài)中思考,更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng),本文就今年龍巖質(zhì)檢題及歷年各地中考題談?wù)勛约旱挠^點。

    一、 點在線上運動問題

    (2014年龍巖質(zhì)檢題20)(如圖)在△ABC中,點D、E分別在邊BC、AC上,連結(jié)AD、ED,且∠1=∠B=∠C。

    (1)請找出圖中一對相似三角形:______________________。

    (2)若AE=3,EC=2,求線段的AD的長(精確到0.01)。

    本題是在新教材九年級上《相似形》的改編,典型的一線三角(三等角)的問題。該題幾乎未提動點問題,其實質(zhì)上是動態(tài)幾何問題,在∠1=∠B=∠C的條件上,點D在線段BC上運動,從而帶動了點E在線段AC上運動,在整個運動過程中,△ABD,△ADE,△DEC,△ADC中的其中兩個角都一直在變化中,因此就不能再去確定另一組角相等,此時我們必須在運動中尋找相對的靜態(tài)量,不難發(fā)現(xiàn)∠DAE(∠CAD)是△CAD和△DAE的公共角,雖然點D在BC上運動時,這個公共角也在變化之中,但始終是一個等量,從而得到△DAE∽△CAD。

    (2014年龍巖質(zhì)檢題24)(如圖)將一塊三角板放在邊長為1的正方形ABCD上,并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動,一直角邊始終經(jīng)過點B,另一直角邊與射線DC相交于點Q,設(shè)AP=x。

    (1)當(dāng)點Q在邊CD上時,線段PQ與線段PB有怎樣的數(shù)量關(guān)系?試證明你觀察得到的結(jié)論。

    (2)是否存在點P(P不與A重合),使△PCQ為等腰三角形?若存在,請求出相應(yīng)的x的值;若不存在,請說明理由。

    (3)設(shè)以點B,C,P,Q為頂點的多邊形的面積為y,試確定y與x之間的出發(fā)關(guān)系式。

    此考題可以從三個方面去入手:

    方案(一):過點P作PM⊥AB,PN⊥DC,垂足分別為M,N(此時M,N,P三點共線),由于點P在AC上滑動,線段PB,PQ長度也隨之發(fā)生了變化,此時必須在動中尋靜,在整個運動的過程中,正方形ABCD和三角板EPF始終不會發(fā)生變化,即∠FPE都為直角,從而恒有∠1+∠2=90°也就可得∠MBP=∠2,∠1=∠NQP的結(jié)論(靜態(tài)量),還有由正方形的性質(zhì)也可得到△AMP和△CNP也是等腰直角三角形,雖然等腰三角形大小會隨點P的運動發(fā)生變化,但其形狀不變,因此也就容易得到的結(jié)論(靜態(tài)量)從而證得△BMP≌△PNQ。

    方案(二):過點P作PM⊥BC,PN⊥DC,由于線段AC是正方形ABCD的對角線,不論P點在線段AC上如何運動,四邊形PNCM都為正方形,始終都有∠MPN=90°。又因為∠EFP始終也是直角,即∠1+∠MPQ=∠2+∠MPQ=90°從而得到∠1=∠2的結(jié)論(靜態(tài)量),易證得△PNQ≌△PMB即PB=PQ。

    方案(三):本題由于沒有說明點P不能與點A重合,①當(dāng)點P與A重合時,PB=AB,PQ=AD,容易得到PQ=PB,②當(dāng)點P與線段AC的中點O重合時,PB=OB,PQ=OC此時也可得到PQ=PB,但我們不能以特殊情況去說明一般性的結(jié)論,當(dāng)點P滑動到線段AC的中點之前,

    都恒有∠FPE=∠BCD=90°(靜態(tài)量),在四邊形BFGC中都存在著∠BPQ+∠BCQ=180°,從而構(gòu)成了以BQ為直徑,P,Q,C,B,四點共圓,再由正方形的性質(zhì)可得∠1=∠2=45°,即PQ,PB所對的劣弧都為45°的?。ㄍ瑘A中等弧對等弦)證得PQ=PB。

    二、 繞定點旋轉(zhuǎn)的問題

    研究歷年來各地區(qū)的動態(tài)幾何壓軸試題,就能明確中考數(shù)學(xué)試題熱點的形成和命題的動向,在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向,動態(tài)幾何題最突出的特點就是圖形是運動的,變化的,解決動態(tài)問題時:首先需要把動態(tài)問題靜態(tài)化,化為幾個靜態(tài)的過程,“以靜制動”抓住變化中的“不變量”以不變應(yīng)萬變。

    (2013年莆田中考題25)在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AB邊上一點,點M,N分別在BC,AC邊上,且DM⊥DN,作MF⊥AB于點F,NE⊥AB于點E。

    (1)特殊驗證:如圖1,若AC=BC,且D為AB的中點,求證:DM=DN,AE=DF。

    (2)拓展探究:若AB≠AC。

    ①如圖2,若D為AB的中點,(1)中的兩個結(jié)論有一個仍成立,請指出并加以證明。②如圖3,若BD=kAD,條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”其他條件不變,請?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明。

    此考題雖然沒有提到“動”字,但實質(zhì)也是一道動態(tài)幾何題,即∠NDM繞著點D轉(zhuǎn)動,點M,N分別在BC,AC邊上運動,而∠NDM始終為直角,此類型在前面我們也探究過,不難發(fā)現(xiàn)恒有∠1+∠2=90°,又因為MF⊥AB,NF⊥AB從而推得∠1=∠FMD,∠2=∠END(靜態(tài)量),接著可能較多學(xué)生就想方設(shè)法去證△DEN≌△MFD而錯誤,應(yīng)注意考慮條件,△ABC為等腰三角形,點D又是底邊AB上的中點,(即三線合一)。因此連接CD,易得到∠CDA=∠CDB=90°(靜態(tài)量),從而證得△CDM≌△ADN,即DN=DM,再去證得△DEN≌△MFD即NE=DF,又因為△AEN始終也為等腰三角形(靜態(tài)量)所以AE=NE即AE=DF成立。

    第(二)小題在第(一)小題的基礎(chǔ)上改編,也屬于動態(tài)幾何題,還是應(yīng)該從動中尋靜,(如圖)不妨過點D作DQ⊥AC,DP⊥BC,從而四邊形QDPC恒為矩形(靜態(tài)量)就不難得到∠1=∠2,易證△DQN∽△DPM,即DNDM=DQDP。易證△DEN∽△MFD得DNDM=ENFD,所以DQDP=ENFD從而PBPD=ENFD。易證

    △AEN∽△DPB得AENE=DPBP所以ENFD=AENE即AE=FD。

    (2013年三明中考題22)如圖1,AB是半圓O的直徑,以O(shè)A為直徑作半圓C,P是半圓C上的一個動點(P與A、O不重合),AP的延長線交半圓O于點D,其中OA=4。

    (1)判斷線段AP與PD的大小關(guān)系,并說明理由。

    (2)連接OD,當(dāng)OD與半圓C相切時,求弧AP的長。

    (3)過點D作DE⊥AB,垂足為E(如圖2)設(shè)AP=x,DE=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍。

    此考題是以點P在半圓C上運動,帶動了點D在半圓O上的運動,從而形成了線段AD繞點A轉(zhuǎn)動的問題。

    方案(一):連接PQ,OD,不論如何繞A怎樣轉(zhuǎn)動,始終有幾個量是恒定的,即∠APO=90°(直徑所對的圓周角是直角)(靜態(tài)量),在半圓O中半徑相等即AO=DO(靜態(tài)量),不難就想到了等腰三角形的性質(zhì)(三線合一),證得AP=PD。

    方案(二):連接PO,BD,不論如何繞A怎樣轉(zhuǎn)動都恒有∠APO=∠APB=90°(直徑所對的圓周角為直角)(靜態(tài)量)從而得到PO∥BD,又因為點O為線段AB的中點,根據(jù)平行線的性質(zhì),點P也是線段AP的中點,證得AP=PD。

    (2)(3)題略。

    總之,動態(tài)幾何題是以幾何知識和幾何圖形為背景,滲透運動變化,反映了“運動”與“靜止”,“固定”與“變化”的內(nèi)在聯(lián)系,通過幾何圖形的變化,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察,想象和探索的過程,考查學(xué)生創(chuàng)新意識的重要題型,解決這類問題應(yīng)抓住變化中圖形的性質(zhì)和特征,化動為靜,讓動態(tài)問題向靜態(tài)化中去思考。

    參考文獻(xiàn):

    [1]林金鐘.談一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的命制過程[J].福建教育,2012(46).

    [2]周淑萍,蔡德清.基于課標(biāo)的初中數(shù)學(xué)校本作業(yè)的設(shè)計與說明[J].福建教育,2013(19).

    作者簡介:黃德輝,福建省漳平市,福建省漳平第三中學(xué)。

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