數(shù)學單元起始課教學設(shè)計的原則和方法

王華

摘? ?要 單元起始課教學為整個單元的學習提供了相關(guān)背景、知識框架、邏輯體系和應用價值。單元起始課的教學設(shè)計應遵循整體性原則、持續(xù)性原則、多樣性原則和適切性原則，基本方法是運用結(jié)構(gòu)思維類比式設(shè)計、運用本質(zhì)思維歸納式設(shè)計、運用整體思維分解組合式設(shè)計和運用普適思維演繹式設(shè)計。

關(guān)鍵詞 單元起始課? 教學設(shè)計 基本原則? 基本方法

單元起始課是數(shù)學教學內(nèi)容的重要組成部分，為整個單元的學習提供了相關(guān)背景、知識框架、邏輯體系和應用價值。在實際教學中，教師盡管知道起始課的價值，但苦于教材只有章引言、章頭圖等有限的課程資源，教師難以有效地組織教學內(nèi)容和開展教學活動，因而起始課教學總是得不到應有的重視。那么，如何有效地進行單元起始課的教學設(shè)計呢？單元起始課教學設(shè)計的基本原則有哪些？有什么操作性強的設(shè)計方法嗎？本文討論單元起始課過程組織設(shè)計的基本原則和方法。

一、單元起始課教學設(shè)計的基本原則

1.整體性原則

單元起始課教學設(shè)計的整體性原則主要表現(xiàn)在三個方面：第一，知識內(nèi)容的整體性。起始課的教學設(shè)計須要將本單元零散的數(shù)學知識、思想方法加以整合，從整體上加以把握，讓學生初步感知整個單元的知識結(jié)構(gòu)。第二，學生認知的整體性。起始課的教學應當結(jié)合學生的心理特點和認知規(guī)律形成整體思維，既讓學生知道本單元學什么，又讓其明白為什么學和怎么學，從而統(tǒng)領(lǐng)單元教學。第三，教學安排的整體性。在單元整體思維的統(tǒng)領(lǐng)下，起始課既是單元教學的第一步，又是統(tǒng)攬全局的重要一步，教學中的每一步和每一個環(huán)節(jié)都應置于單元教學的整個系統(tǒng)之中考慮。

2.持續(xù)性原則

單元起始課應為單元教學奠定基調(diào)，引發(fā)后續(xù)教學的持續(xù)性研究，即單元起始課教學設(shè)計應關(guān)注持續(xù)性原則。其主要表現(xiàn)在三個方面：第一，知識層面。起始課的教學設(shè)計應為整個單元提供知識框架，并揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有利于后續(xù)每一個子知識的“精致”教學。第二，方法層面。起始課的教學設(shè)計不能局限于事實性、概念性知識層面，更應關(guān)注學生用怎樣的思維方式、思想方法來完成整個單元的學習。因為對學生而言，“怎么學比學什么更重要”，唯有這樣才能滋生可持續(xù)的學習力。第三，價值層面。起始課教學設(shè)計應強調(diào)學習的必要性，揭示知識背后的育人價值，促進學生形成持續(xù)而穩(wěn)定的數(shù)學素養(yǎng)。

3.多樣性原則

多樣性原則是單元起始課教學設(shè)計的重要原則，其主要表現(xiàn)為教學設(shè)計的方法是多樣的，原因在于：不同的教學內(nèi)容處理的方法是不盡相同的;不同的教師對單元起始課的目標定位、內(nèi)容理解是不同的;不同的學生所具備的認知基礎(chǔ)、學習方式、學習能力也是不完全一致的。顯然用唯一的標準去設(shè)計單元起始課是不合適的，根據(jù)單元規(guī)模的大小、新知產(chǎn)生的方式以及學生接受的方式等，可以多樣化設(shè)計教學。

4.適切性原則

適切性原則是指教師在單元起始課教學設(shè)計的過程中應找到一種適合教師自身特點的建構(gòu)方式，并使這一方式最大限度適合學生的學情，以實現(xiàn)知識和能力在教學中的融合。適切性原則主要考慮以下三個方面：第一，根據(jù)課程標準，合理設(shè)置教學目標，組織適切的教學內(nèi)容;第二，根據(jù)內(nèi)容特點，在理解數(shù)學的前提下選擇合適的教學方式;第三，根據(jù)學生情況，創(chuàng)設(shè)符合學生認知的教學活動。適切性原則是單元起始課教學設(shè)計最為重要的原則，它是多樣性原則的根本原因之所在。

二、單元起始課教學設(shè)計的基本方法

1.運用結(jié)構(gòu)思維類比式設(shè)計

數(shù)學有其獨特的思維品質(zhì)和結(jié)構(gòu)內(nèi)涵，從某種意義上說，數(shù)學就是一種結(jié)構(gòu)。從結(jié)構(gòu)思維的角度看，起始課需要學生明晰章節(jié)的學習內(nèi)容，將學習內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，從而快速找到學習的切入點，避免耗時低效，并全面解答為什么學和怎么學的問題。那么，如何將新知識結(jié)構(gòu)化？學生的已有認知是重要的資源，通過對已經(jīng)掌握的數(shù)學對象的研究內(nèi)容及方法的回顧，發(fā)現(xiàn)新知與舊知在部分研究內(nèi)容和方法上存在著明確的聯(lián)系，具有類似的性質(zhì)，因而可以將舊知作為類比源，類比已掌握知識的結(jié)構(gòu)去建構(gòu)新知，從而將學習內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，具體操作見圖1。

例如，分式的章節(jié)起始課。學生在分式的學習之前已經(jīng)掌握分數(shù)及其運算，頭腦中有了分數(shù)相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)，這為分式的學習奠定了良好的認知基礎(chǔ)，提供了學習經(jīng)驗。教師可以從蘇科版教材章頭圖的長方形面積、火車行駛兩個情境出發(fā)，提出相關(guān)的問題，獲得一串式子：，讓學生經(jīng)歷表示分式的抽象活動，發(fā)現(xiàn)一類新的代數(shù)式，體會從分數(shù)到分式的概念形成過程，并尋找分式的共同特征。設(shè)計“等寬長方形”操作活動，將若干張全等的長方形紙片依次拼接成較大的長方形，讓學生體會分式值的不變性，并回顧分數(shù)的基本性質(zhì)，“看見”分式的基本性質(zhì)。進一步結(jié)合“乒乓球與網(wǎng)球”的實際情境，在發(fā)現(xiàn)乒乓球與網(wǎng)球有很多規(guī)則上的相似之處的基礎(chǔ)上，提出“網(wǎng)球有哪些規(guī)則”的問題，促使學生類比、參照乒乓球規(guī)則。運用這種結(jié)構(gòu)思維，學生感受了分式不僅與分數(shù)形式相同，而且分式有類似于分數(shù)的性質(zhì)的過程，自然形成了分式類比分數(shù)學習的基礎(chǔ)，進而借助分數(shù)的學習構(gòu)建分式的內(nèi)容結(jié)構(gòu)（見圖2）。

當然，運用類比思想研究問題時，不僅要關(guān)注兩類事物的相同點，而且要考慮它們的不同點。正如網(wǎng)球之于乒乓球有其獨特之處，分式與分數(shù)雖數(shù)式通性，但分式由于其式的特性，常常用于建模，構(gòu)成刻畫現(xiàn)實世界的模型——方程，此處學生便需要借助整式方程的內(nèi)容加以類比。

2.運用本質(zhì)思維歸納式設(shè)計

在紛繁的學習內(nèi)容中析出研究對象的本質(zhì)是重要的數(shù)學能力，運用本質(zhì)思維可以使簡單的學習內(nèi)容變得深刻起來。深刻意味著起始課的教學不僅僅是讀懂了教材內(nèi)容、掌握了內(nèi)容結(jié)構(gòu)，更重要的是將內(nèi)容看穿、看透、一針見血、入木三分，抓住事物的本質(zhì)以達到綱舉目張的教育效果。那么，如何析出研究對象的本質(zhì)？首先，將研究對象分類，即將研究對象納入一定的系統(tǒng)和級別，形成有內(nèi)在層級關(guān)系的“子類”系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而進一步明確了數(shù)學對象所含事物之間的邏輯關(guān)系。其次，從特例出發(fā)，預見并獲取研究對象的本質(zhì)，并在“子類”系統(tǒng)中圍繞本質(zhì)研究內(nèi)容。最后，從特殊到一般歸納獲得整章的研究思路和內(nèi)容（見圖3）。

例如，一元二次方程解法的起始課。蘇科版教材的解法教學介紹了直接開方法、配方法、公式法和因式分解法，從4種解法的內(nèi)在一致性看，直接開方法和配方法同根同源，目標是將一元二次方程化為（2ax+b）2=b2-4ac的形式，求根公式則是開方后整理所得。統(tǒng)領(lǐng)這些方法的本質(zhì)是什么？事實上，須運用平方差公式將x2=a（a≥0）變形為（x+）=0，（2ax+b）2=b2-4ac（b2-4ac≥0）變形為[（2ax+b）+]=0。也就是通過因式分解化一元二次方程為一元一次方程，即降次。這與因式分解法的解法本質(zhì)邏輯連貫、前后一致，學生容易從整體上把握4種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系。直接開方或配方都只是操作層面的技巧，目的是為了化二次為一次，“降次”才是解決問題的根本，也會為今后學習高次方程求解奠定基礎(chǔ)。

在解一元二次方程之前，學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的解法。若考慮到二次式是由兩個一次因式相乘所得，可以讓學生構(gòu)造形如（x+a）（x+b）=0的一元二次方程，這個方程的“式結(jié)構(gòu)”表述的信息就是“若兩個因式的乘積為零，則至少有一個因式為零”的結(jié)論[1]。從而將一元二次方程（x+a）（x+b）=0轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程x+a=0，x+b=0來解，即達到降次的目的，并將這一本質(zhì)作為解一元二次方程的思想基礎(chǔ)。接下來，分別求解：（1）對于缺少常數(shù)項的一元二次方程x2+px=0，可以利用提公因式法，將方程轉(zhuǎn)化為“兩個一次因式積為零”的形式，從而求解。（2）對于缺少一次項的一元二次方程x2+q=0，可以利用平方差公式，將方程轉(zhuǎn)化為“兩個一次因式積為零”的形式，從而求解。（3）對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0，如果x2+px+q恰好是完全平方式，則可以利用完全平方公式，將方程轉(zhuǎn)化為“兩個一次因式積為零”的形式，從而求出方程的解;如果x2+px+q不是完全平方式，則可先通過配方法，再利用平方差公式，將方程變形為“兩個一次因式積為零”的形式，從而求出方程的解。（4）對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程ax2+bx+c=0，可先將二次項系數(shù)化為1，再通過配方法及平方差公式，將方程變形為“兩個一次因式乘積為零”的形式，進而得到一元二次方程的求根公式（見圖4）。

3.運用整體思維分解組合式設(shè)計

整體思維又稱系統(tǒng)思維，即整體是由各個局部按照一定的秩序組織起來的，要求以整體和全面的視角把握研究對象。在觀察、分析和處理研究對象時，應注重研究對象本身固有的完整性、統(tǒng)一性和關(guān)聯(lián)性，以普遍聯(lián)系的觀點看待數(shù)學問題。那么，如何利用整體思維建構(gòu)起始課呢？面對一些較為復雜的數(shù)學問題，不能一下子以整體的形式解決，首先需要對主題進行任務分解，將其轉(zhuǎn)化為一個個“子任務”加以研究，其次圍繞若干“子任務”設(shè)置相應的問題，之后通過對問題的解答完成相應任務，最后將所有“子任務”重新組合、整體關(guān)聯(lián)，達成總?cè)蝿?，從而實現(xiàn)起始課的教學（見圖5）。

例如，冪的運算起始課。根據(jù)數(shù)的運算的研究經(jīng)驗，可以知道冪的運算也應該存在“加、減、乘、除、乘方”運算，而蘇科版教材“冪的運算”一章只介紹了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的除法。從整體上看，其缺少了冪的加法和冪的減法運算的研究，另外，冪的乘法和冪的除法運算中缺少對同底數(shù)冪乘法和除法學習必要性的闡釋，讓人感覺學習的發(fā)生非常的突兀。

基于整體思維的考量，起始課可以將冪的運算分解為冪的加法、冪的減法、冪的乘法、冪的除法和冪的乘方五種運算，通過“觀察—思考—猜想—驗證—證明”的思路逐一研究。（1）冪的加法的研究，初步感受“觀察—思考—猜想—驗證—證明”的研究思路。通過對式子am+bn運算結(jié)果的討論，明確底數(shù)、指數(shù)不同的兩個冪相加，只能先算冪，再求和。進而通過控制變量法研究式子am+an、am+bm及am+am運算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)當冪的指數(shù)與底數(shù)均相同時，可以使用合并同類型法則加以計算。（2）冪的減法的研究。利用冪的加法的研究經(jīng)驗，可以將減法運算分為四種情況：am-bn、am-an、am-bm及am-am，前面三種只能先算冪再求差，而當冪的指數(shù)與底數(shù)均相同時可以利用合并同類型法則加以計算。（3）冪的乘法和乘方的研究，熟練掌握“觀察——思考——猜想——驗證——證明”的研究思路。利用冪的加法、減法的研究經(jīng)驗，可以將冪的乘法運算分為四種類型：am·bn、am·an、am·bm及am·am，其中am·bn只能先算冪，再求積。而式子am·an可以根據(jù)乘方的意義加以計算，得出“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的結(jié)論。式子am·bm是指數(shù)相同，底數(shù)不同，根據(jù)乘方的意義可以得到：am·bm=（ab）m，反過來得到（ab）m=am·bm。接著研究式子am·am，其底數(shù)相同，指數(shù)相同，通過乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法法則都可得到am·am=（am）2=a2m，推廣得到（am）n=amn，即獲得了冪的乘方運算法則。（4）冪的除法的研究，自覺運用“觀察—思考—猜想—驗證—證明”的研究思路。冪的除法也能分成四種類型：am÷bn、am÷an、am÷bm及am÷am，學生有了前面一系列的研究經(jīng)驗，能夠自主得出am÷bn只能先算冪，再求商。根據(jù)乘方的意義得出：am÷an=am-n，am÷bm=（）m，進而研究am÷am的情形。綜合前面的研究，將“子任務”進行組合、刪選，確定本章研究的重點是特定條件下的冪的運算及其相關(guān)法則，如同底數(shù)冪的乘法、除法以及冪的乘方等內(nèi)容，從而整體把握“冪的運算”整章內(nèi)容。

4.運用常規(guī)思維演繹式設(shè)計

數(shù)學教學須“示以思維之道”，從而讓學生學會思維，這就要求教學應示以學生普適性的研究方法，站在數(shù)學系統(tǒng)的角度有序思考，形成基本的研究套路，這既是數(shù)學學科本身的要求，也是學生思維發(fā)展的需要。那么，如何采取常規(guī)性的研究方法向?qū)W生示以思維之道呢？幾何教材的呈現(xiàn)方式總是表現(xiàn)出一定的邏輯順序，循著“定義—性質(zhì)—特例—聯(lián)系”的研究路徑展開[2]，在研究平面幾何問題時，應將邏輯性思考的過程建立成體系，并將此思維過程可視化，形成研究幾何對象的普適性方法，用演繹的方式構(gòu)建學習這一類型知識的體系（見圖7）。

例如，三角形的章節(jié)起始課。借助前面“角”的研究，學生可以建立研究“三角形”的先行組織者，即按照“定義—性質(zhì)—特例—聯(lián)系”的研究路徑展開，并且清楚幾何圖形的組成要素是點、線和角等，而組成要素之間的關(guān)系往往從元素間的位置關(guān)系入手[3]。在此基礎(chǔ)上，循著幾何研究的普適性方法，第一，經(jīng)歷定義三角形的完整過程。（1）定義。抽象出構(gòu)成三角形的基本元素為線段，元素間的位置關(guān)系是三條線段“不在同一直線”及“首位順次相接”，從而獲得三角形的定義。（2）表示。為了方便表示及更好地表達三角形的本質(zhì)，結(jié)合文字語言、圖形語言，強調(diào)符號語言的使用。（3）分類。為了對三角形進行分門別類的研究，既可以按邊的相等關(guān)系分類，也可以按內(nèi)角的大小分類。第二，“得知圖形有邊有角，自然而然的就會想到，它們之間有沒有什么關(guān)系，這就是性質(zhì)研究?！毙再|(zhì)的研究應當“回到定義”，從定義上看，三角形的三邊的位置關(guān)系為首尾相接，顯然不是任意三條線段都能首尾相接，因此有必要研究邊之間的大小關(guān)系，即三角形的兩邊之和大于第三邊。第三，學生可以展望三角形其他的性質(zhì)，即三角形的角之間的關(guān)系、邊角之間的關(guān)系，以及三角形的相關(guān)元素（外角、角平分線、中線和高線等）之間的關(guān)系，從而明白三角形的性質(zhì)、概念是第一層次，要素的關(guān)系是第二層次，要素與相關(guān)要素的關(guān)系是第三層次。有了這些研究經(jīng)驗，進一步展望三角形特例（要素或要素關(guān)系的特殊化）以及聯(lián)系，并且讓學生知道它們也可以按照類似的邏輯演繹。

單元起始課教學是單元教學的重要環(huán)節(jié)，在其設(shè)計時，整體性的教學設(shè)計必須引領(lǐng)教學持續(xù)深入地推進，多樣性的教學設(shè)計必須符合適切性的設(shè)計原則，也就是說單元起始課教學應根據(jù)實際的教學內(nèi)容選擇最合適的設(shè)計方法，邏輯連貫、持續(xù)深入地推進單元整體教學。單元起始課教學設(shè)計是基于單元的“學材再建構(gòu)”，其不應停留在教學法的層面，更重要的是進行數(shù)學教學的創(chuàng)新處理，如運用結(jié)構(gòu)思維類比式設(shè)計、運用本質(zhì)思維歸納式設(shè)計、運用整體思維分解組合式設(shè)計和運用普適思維演繹式設(shè)計等，關(guān)注從數(shù)學教育到教育數(shù)學的轉(zhuǎn)化，真正實現(xiàn)學科育人。從這個意義上來講，教師須要理解學科知識，尊重學生的認知規(guī)律，樹立育人意識，開拓數(shù)學單元起始課教學的更大研究空間。

參考文獻

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【責任編輯? 郭振玲】