幾何畫板在二次函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

王邱玉

摘要：利用幾何畫板探究函數(shù)問題在教學(xué)上有很大的價(jià)值。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)好二次函數(shù)，對(duì)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)圓周曲線有一定的幫助。通過設(shè)計(jì)一系列的例題，從所有學(xué)生掌握的基礎(chǔ)題型出發(fā)，再通過幾何畫板探究分析動(dòng)態(tài)問題，隨著題目的改變，不斷發(fā)展學(xué)生的探索和推理能力，題目的層層深入符合學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律，這對(duì)二次函數(shù)學(xué)習(xí)的通性通法有很大的幫助。同時(shí)，還能引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造思想去解決多種問題。

關(guān)鍵詞：幾何畫板;二次函數(shù)最值問題;數(shù)形結(jié)合

一、幾何畫板在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用的可行性、必要性與教學(xué)價(jià)值分析

函數(shù)的性質(zhì)是通過圖象歸納總結(jié)出來的，因此，用好圖象是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵。圖象能使抽象的數(shù)學(xué)問題變得具體、形象，使復(fù)雜的“數(shù)”通過直觀的“形”來表示。因此，我們?nèi)裟芾煤脭?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，就可有效解決函數(shù)問題。

現(xiàn)今計(jì)算機(jī)技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用已越來越普遍，計(jì)算機(jī)技術(shù)的運(yùn)用不僅可以有效提高教學(xué)效率，還可很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。作為優(yōu)秀的教學(xué)軟件，幾何畫板可以動(dòng)態(tài)計(jì)算、展示幾何模型及幾何對(duì)象運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，正是實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的有效輔助教學(xué)工具。幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合，可以使教學(xué)內(nèi)容更生動(dòng)形象，并且富有多樣性與趣味性，有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)尤其是函數(shù)知識(shí)體系。在“浙教版”九年級(jí)上冊(cè)第一章二次函數(shù)的閱讀材料部分“探索函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”的教學(xué)中，我向?qū)W生引入了幾何畫板。幾何畫板可動(dòng)態(tài)研究參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象變化的影響，其在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用已勢(shì)在必行。

從教上看，幾何畫板能更便捷地將數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，便于教師的教學(xué);從學(xué)上看，學(xué)生通過幾何畫板的演示，一方面可以更清晰明了地理解函數(shù)及動(dòng)態(tài)問題，另一方面有利于他們清晰地把握問題，由靜到動(dòng)，利用幾何畫板學(xué)會(huì)探究函數(shù)的方法，學(xué)會(huì)研究新問題的方法。通過幾何畫板在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，學(xué)生能夠提高分析問題的能力，逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，逐步具備探究新問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

二、二次函數(shù)最值問題研究的必要性

考綱要求學(xué)生能確定簡單實(shí)際問題中的函數(shù)的自變量的取值范圍及函數(shù)值范圍，能結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論，利用函數(shù)解決實(shí)際問題。近幾年各地的中考試題也往往圍繞二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過聯(lián)系實(shí)際問題和含參問題考查函數(shù)的最值。

在教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生其實(shí)都知道數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要方法，也知道圖象很重要，但總是不習(xí)慣或者說不知道該如何用圖象來解決問題。因此，利用幾何畫板幫助學(xué)生分析此類問題，并培養(yǎng)學(xué)生具備通過數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的能力已迫在眉睫。教師應(yīng)通過研究二次函數(shù)的最值問題，使學(xué)生掌握解決函數(shù)問題的通性通法。

三、幾何畫板在二次函數(shù)最值問題中的應(yīng)用淺析

（一）分析緣起

分析緣起于2015年天津中考第25題：

已知二次函數(shù) y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）.

（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，求二次函數(shù)的最小值;

（2）當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式;

（3）當(dāng)c=b2時(shí)，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.

第一小題是直接考查二次函數(shù)的最值，學(xué)生可利用公式或?qū)⒑瘮?shù)變形為頂點(diǎn)式求取，較為簡單。第二小題需要求解參數(shù)b，其中關(guān)鍵條件為“只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)”，“此時(shí)”即考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，根據(jù)圖象可知“此時(shí)”即為函數(shù)最值。解決此小題需要通過函數(shù)圖象來幫助記憶函數(shù)的性質(zhì)，難度中等。而第三小題不僅給定了自變量的取值范圍，同時(shí)還在取值范圍中增加了參數(shù)，大大提高了難度，但若是能通過幾何畫板對(duì)問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，問題便迎刃而解。

此題的核心考點(diǎn)為二次函數(shù)的最值問題，難點(diǎn)除了增加了參數(shù)，還在于函數(shù)本身的最值并不一定處于自變量的取值范圍內(nèi)。因此，學(xué)生若不能通過圖象來分析自變量的取值范圍與函數(shù)圖象的關(guān)系，而是僅僅通過背公式來求解，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（二）設(shè)計(jì)理念

通過改編課本例題，我設(shè)計(jì)了一個(gè)課前小測(cè)：“某農(nóng)場(chǎng)擬建四間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長20 m），中間用三道墻隔開。已知計(jì)劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50 m，求這四間飼養(yǎng)室的總占地面積的最大值。”批改之后，我對(duì)學(xué)生的解答情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)解析式正確率高達(dá)87%，取值范圍正確率為56%，最值正確率為48%，利用圖象解決的同學(xué)為8%。

由以上數(shù)據(jù)我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的問題其實(shí)主要體現(xiàn)在沒有關(guān)注到取值范圍，能正確求出取值范圍的學(xué)生往往最終能正確求解，這是由于他們關(guān)注到了取值范圍與最值之間的關(guān)系。但是可惜的是，這兩項(xiàng)的正確率較低。歸根結(jié)底，大部分學(xué)生在求解二次函數(shù)的最值問題時(shí)，仍停留在套取公式的階段，而不能真正理解最值是如何產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)的。更可惜的是，能利用圖象來解決最值問題的學(xué)生少之又少。如果能利用圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，更好地分析函數(shù)自變量的取值范圍及對(duì)稱軸是否在自變量取值范圍內(nèi)對(duì)最值產(chǎn)生的影響，學(xué)生便能較好地解決二次函數(shù)的最值問題。學(xué)生其實(shí)都知道數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要方法，也知道圖象很重要，但總是不習(xí)慣或者說不知道該如何用圖象來解決問題。

為解決這一問題，我將題目層層剖析，追本溯源，以培養(yǎng)學(xué)生利用圖象，通過數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來解決函數(shù)問題的能力和習(xí)慣。由此，我設(shè)計(jì)了一系列的題目，一方面培養(yǎng)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的能力和習(xí)慣;另一方面，通過研究二次函數(shù)的最值問題，使學(xué)生掌握解決該問題的通性通法。

（三）課堂實(shí)踐

首先，我們回歸到問題的本質(zhì)，在給定自變量取值范圍下求解二次函數(shù)的最值，我設(shè)計(jì)了例題1：請(qǐng)分別求出在下列條件下，函數(shù)y=x2-4x+2的最小值和最大值：（1）x取任意實(shí)數(shù);（2）-2≤x≤3;（3）-2≤x≤1.

在解決例1的第（2）（3）兩問時(shí)，學(xué)生往往容易被思維定式主導(dǎo)，直接考慮最小值在頂點(diǎn)處求得、最大值在端點(diǎn)處求得，而未考慮對(duì)稱軸是否在取值范圍內(nèi)，因此出錯(cuò)率極高。此時(shí)，我們?nèi)裟芾脦缀萎嫲?，通過對(duì)取值范圍進(jìn)行動(dòng)態(tài)變化，就能讓學(xué)生直觀地看到自變量的取值范圍對(duì)函數(shù)圖象和函數(shù)最值的影響。因此，我在幾何畫板中制作了y=x2-4x+2的函數(shù)圖象，并設(shè)計(jì)了一段取值范圍為-2≤x≤a的對(duì)應(yīng)函數(shù)，將數(shù)據(jù)a進(jìn)行拖動(dòng)，使學(xué)生看到自變量取值范圍是如何影響函數(shù)最值的。

通過幾何畫板的觀察及之后的探討分析，一方面，學(xué)生可以體會(huì)到用圖象解決最值問題的便利性與必要性;另一方面，學(xué)生在探究解題時(shí)會(huì)思考該如何用圖象以及在使用圖象時(shí)應(yīng)關(guān)注什么，即對(duì)稱軸與取值范圍的關(guān)系。

之后，我將例1進(jìn)行了兩次變形，將題目由靜到動(dòng)進(jìn)行了變形。一個(gè)是在取值范圍上增加參數(shù)，即例2：當(dāng)-2≤x≤a時(shí)，求函數(shù)y=x2-4x+2的最值（可用a表示）;另一個(gè)是在解析式上增加參數(shù)，即例3：當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，求函數(shù)y=x2-4mx+2的最小值（可用m表示）。

這兩個(gè)板塊的設(shè)計(jì)意圖有以下三點(diǎn)。首先，我希望通過不斷地重復(fù)強(qiáng)化，讓學(xué)生逐漸習(xí)慣用圖象來解決問題;其次，也讓學(xué)生感悟到無論題目如何變化，解決這類問題的方法是不變的，利用圖象可以幫助我們化難為易、化繁為簡;再次，層層遞進(jìn)，逐漸增加題目的難度，更設(shè)置了終結(jié)挑戰(zhàn)題，以滿足不同能力學(xué)生的需求，讓所有學(xué)生都能獲得提高。

例2看似與例1的幾何畫板演示一樣，那么為何要設(shè)計(jì)例2呢？這并不是多此一舉。要知道，學(xué)生在考試時(shí)是不可能利用幾何畫板來解決問題的，因此，幾何畫板在教學(xué)中的作用主要是讓學(xué)生直觀感悟圖象，并理解動(dòng)態(tài)變化對(duì)圖象所帶來的影響。在用完幾何畫板之后，一定要及時(shí)地讓學(xué)生進(jìn)行相似題的練習(xí)，從而將幾何畫板中感悟到的直觀經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為自身的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這樣才能使學(xué)生真正學(xué)會(huì)用圖象解決最值問題。

當(dāng)例3展示給學(xué)生時(shí)，它又給學(xué)生帶來了新的難點(diǎn)沖擊。它從自變量范圍的變化轉(zhuǎn)變成了解析式的變化。此時(shí)，我們就要再一次引入幾何畫板。這次，我在幾何畫板中制作了y=x2-4mx+2的函數(shù)圖象，并設(shè)計(jì)了一段取值范圍為-2≤x≤1的對(duì)應(yīng)函數(shù)。在幾何畫板中我們可以清楚地看到，這個(gè)動(dòng)態(tài)函數(shù)的變化實(shí)際上主要源于對(duì)稱軸x=2m的變化，因此我們可以將x=2m進(jìn)行拖動(dòng)。

我通過這次幾何畫板的演示，一方面，通過不斷地重復(fù)強(qiáng)化，讓學(xué)生逐漸習(xí)慣用圖象來解決問題;另一方面，也讓學(xué)生感悟到無論題目如何變化，解決函數(shù)問題的方法是不變的，利用圖象可以幫助我們化難為易、化繁為簡。

對(duì)應(yīng)地，我又設(shè)計(jì)了一個(gè)變式：當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1的最大值為4，試著求m的值。讓學(xué)生真正內(nèi)化通過幾何畫板所掌握的利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解決函數(shù)最值問題。

經(jīng)過一系列層層遞進(jìn)、步步深入的訓(xùn)練，學(xué)生已能初步利用圖象來分析問題，并能抓住問題變化過程中的不變性，通過研究對(duì)稱軸與自變量取值范圍之間的關(guān)系來突破解決問題的難點(diǎn)。根據(jù)之前兩次利用幾何畫板觀察分析問題的經(jīng)驗(yàn)，我們可以發(fā)現(xiàn)前文提到的2015年天津中考第25題的第（3）小題可以分三類進(jìn)行作圖討論，分別是：對(duì)稱軸在取值范圍左側(cè)，對(duì)稱軸在取值范圍內(nèi)，對(duì)稱軸在取值范圍右側(cè)。接下來，可以根據(jù)圖形分別求出三種情況下的函數(shù)最小值，根據(jù)已知最小值為21即可求出b的值，進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式。

四、總結(jié)

我們不難發(fā)現(xiàn)，利用幾何畫板幫助學(xué)生分析二次函數(shù)的最值問題，不僅能培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的能力和習(xí)慣，還能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。筆者設(shè)計(jì)一系列的例題，從所有學(xué)生掌握的基礎(chǔ)題型出發(fā)，再通過幾何畫板不斷探究分析新的動(dòng)態(tài)問題。隨著題目的改變、深入，一方面能滿足不同層次學(xué)生的需求;另一方面，層層深入的改變更符合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律，在課堂中不斷發(fā)展學(xué)生的探索和推理能力，這對(duì)二次函數(shù)學(xué)習(xí)的通性通法有很大的幫助。

一系列的探究過程，能夠引領(lǐng)學(xué)生利用幾何畫板分析函數(shù)問題及動(dòng)態(tài)幾何問題。這樣，我們通過研究二次函數(shù)的最值問題，不僅可以使學(xué)生掌握解決最值問題的方法，更可使學(xué)生掌握解決、探究函數(shù)問題的通性通法，為學(xué)生研究動(dòng)態(tài)問題（含幾何動(dòng)態(tài)問題）打開了新的思路，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓周曲線也會(huì)有幫助。

此外，利用幾何畫板教學(xué)，有利于學(xué)生對(duì)問題有清晰的把握。通過由靜到動(dòng)地利用幾何畫板探究函數(shù)問題，學(xué)生學(xué)會(huì)了研究新問題的方式。通過幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用，學(xué)生能夠提高分析問題的能力，逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，逐步具備探究新問題的能力，最終形成“數(shù)學(xué)建?！钡暮诵乃仞B(yǎng)。

我們平時(shí)在教學(xué)中可以多利用幾何畫板讓學(xué)生形象直觀地感知復(fù)雜抽象的數(shù)，幫助學(xué)生構(gòu)建函數(shù)及幾何的知識(shí)體系，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)自己探究數(shù)學(xué)問題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。這對(duì)教學(xué)實(shí)踐有極其重要的意義，對(duì)學(xué)生后續(xù)的探究學(xué)習(xí)有著極其深遠(yuǎn)的影響。

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（責(zé)任編輯：韓曉潔）