數(shù)學思想方法在解題中的應(yīng)用

和汝軍

摘 ?要：中小學數(shù)學思想方法的教學，體現(xiàn)了“由淺到深、由易到難、由少到多”等特點，從具體到抽象的質(zhì)的飛躍，教師要有意識地培養(yǎng)學生用數(shù)學思想方法去分析問題、解決問題，并逐步形成數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)，使學生具有數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法和數(shù)學基礎(chǔ)知識相比較，數(shù)學思想方法有較高的地位和層次，數(shù)學思想方法是數(shù)學思想和方法的統(tǒng)稱，數(shù)學思想是指數(shù)學思維活動和數(shù)學研究活動中解決數(shù)學問題的基本想法和基本觀點。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思想;數(shù)學方法;數(shù)學教學

現(xiàn)在幾乎沒有人會懷疑數(shù)學的意義和它的價值，數(shù)學是必須學習的重要基礎(chǔ)學科。也許對走出校門的大部分人來說，很多具體的數(shù)學計算方法和具體的數(shù)學內(nèi)容可能會忘得一干二凈，但是數(shù)學思想和數(shù)學方法會對他一生的許多決策產(chǎn)生具大的影響，那些刻骨銘心的數(shù)學精髓將伴他終生。

一、數(shù)學思想方法的含意和內(nèi)容

數(shù)學思想方法是數(shù)學思想和方法的統(tǒng)稱，數(shù)學思想是指數(shù)學思維活動和數(shù)學研究活動中解決數(shù)學問題的基本想法和基本觀點。小學數(shù)學教材中數(shù)學思想滲透了以下幾種：分類思想、集合思想、對應(yīng)思想、函數(shù)思想、符號化思想等等;中學數(shù)學常用的數(shù)學思想有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想。數(shù)學方法是指學習和研究數(shù)學的手段和方式，包括數(shù)學理論的學習和研究的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的性質(zhì)、運用規(guī)律的方法、數(shù)學理論運用于實際的方法。

二、數(shù)學思想方法的重要意義

思想是數(shù)學的靈魂，方法是數(shù)學的行為，無論是數(shù)學概念的建立、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學問題的解決，乃至于整個數(shù)學大廈的構(gòu)建，都首先歸功于數(shù)學思想方法。因此，在數(shù)學教學過程中，數(shù)學教師要不失時機地向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法，“授人以魚，不如授人以漁”，教師學習數(shù)學思想方法的重要意義就在于：

（1）教師學習數(shù)學思想方法，有助于了解和掌握數(shù)學科學的思想和理論方法;

（2）教師了解了數(shù)學思想方法的基本內(nèi)容，可以按數(shù)學思想方法指示的方法去安排教材、有機地組織教學、就能有的放矢地調(diào)動學生思維活動的積極性，搞好數(shù)學教學活動;

（3）教師可以從整體上了解中小學所使用數(shù)學思想方法，從而深入地把握數(shù)學教學內(nèi)容;

（4）教師學習并掌握了數(shù)學思想方法以后，就可以用科學的思想方法來指導實踐、認識事物、認識世界、認識社會、解決數(shù)學問題。

三、數(shù)學思想方法的舉例

（一）數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合是一個重要的數(shù)學思想方法，包含了“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面的內(nèi)容。其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：（1）能將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形符號結(jié)合起來，把抽象思維與形象思維結(jié)合起來;（2）會用代數(shù)的方法去研究幾何問題，會根據(jù)圖形的性質(zhì)及幾何知識去處理代數(shù)問題。

（二）分類討論思想方法

當面臨的問題不宜用一種方法處理或同一種形式敘述時，就把問題按照一定的原則或標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。分類討論的思想方法實質(zhì)是把問題“分而治之，各個擊破”，其一般規(guī)則及步驟是：（1）確定同一分類標準;（2）恰當?shù)貙θw對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復又不遺漏”;（3）逐類討論，按一定層次討論，逐級進行;（4）綜合概括，歸納得出正確結(jié)論。

（三）函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值的問題是通過解方程來實現(xiàn)的……不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y=f（x），就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f（x）-y=0.可以說，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。

（四）等價轉(zhuǎn)化思想方法

世界數(shù)學大師J·波利亞強調(diào)：“不斷地變換你的問題”，“我們必須一再地變換它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止。”解題的過程實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化的過程，因此轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學問題的重要的數(shù)學思想方法。等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種十分重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。在歷年小、中、高考數(shù)學試卷中，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.

（五）數(shù)學模型思想

所謂數(shù)學模型，是指用數(shù)學語言把實際問題概括地表述出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學模型是對客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一種反映。它可以是方程、函數(shù)或其他數(shù)學式子，也可以是一個幾何基本圖形，可以利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法就是數(shù)學模型方法。

（六）統(tǒng)計思想

從局部觀察資料的統(tǒng)計特征，推斷整個系統(tǒng)的狀態(tài)，或判斷某一論斷能以多大概率保證其正確性或算出錯誤判斷的概率，由局部到整體，由特殊到一般。

四、結(jié)束語

總之，在數(shù)學教學活動中，只要切切實實把握好常用的典型的數(shù)學思想和方法，同時注意在不同階段滲透中小學數(shù)學思想的過程，依據(jù)現(xiàn)行課本內(nèi)容和學生的認知水平和能力，從開始就有計劃地不斷進行滲透，就一定能提高學生的學習效率和數(shù)學能力，才能培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維能力。

參考文獻：

[1]《中學代數(shù)研究》 張奠宙 宋乃慶等著 高等教育出版社 ISBN7-04-017761-7.

[2]《中學幾何研究》 張奠宙 宋乃慶等著 高等教育出版社 ISBN7-04-017762-5.

[3]《數(shù)學競賽研究教程》單墫著 江蘇教育出版社 ISBN7-5343-1706-1.